7. Логические операции

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ  Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬).   Высказывание ¬A истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример: A – «Я умею программировать», ¬A– «Я не умею программировать».

И    Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « ^. » (также приняты обозначения знаками Λ или &). Высказывание А Λ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Пример: A – «сдал зачеты», B – «сдал зачеты», A Λ B – «сдал сессию».

ИЛИ    Операция, выражаемая связкой «или», называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком V (используются также ǁ, ǀ, +, OR ). Высказывание А V В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.   Пример: A – «подключена мышь», B – «подключен джойстик», A V B – «подключены манипуляторы».

ЕСЛИ-ТО   Операция, выражаемая связками   «если ..., то»,  «из ... следует»,  «... влечет ...»,  называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком →. Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно. Пример: A – «любишь оперу», B – «любишь классическую музыку», А→В – «если любишь оперу, то любишь классическую музыку».

РАВНОСИЛЬНО   Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно ...», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаками  ↔ , ~, ≡.   Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Пример: A – «индикатор включения горит», B –«компьютер включен», А↔В – «индикатор включения горит тогда и только тогда, когда компьютер включен»

Импликацию можно выразить через  дизъюнкцию  и  отрицание: А →В = ¬A V В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А↔В = (¬A V В) Λ (¬В V А).

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и в последнюю очередь – импликация.

8. Логические законы

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

Закон	Для   ИЛИ	Для   И
Переместительный	x  y = y  x	x Λ y = y Λ x
Сочетательный	x  ( y z) =( x  y) z	x Λ ( y Λ z) =( x Λ y) Λ z
Распределительный	(x  y) Λ z = x Λ z y Λz	(xΛ y)z = (x z) Λ( yz)
Правила де Моргана	¬(x  y) =¬x Λ¬y	¬(x Λ y) =¬x ¬y
Идемпотенции	x  x = x	x Λ x = x
Поглощения	x  ( y Λ x) = x	x Λ ( y  x) = x
Склеивания	(x Λ y)  (¬x Λ y) = y	(x  y) Λ (¬x  y) = y
Операция переменной с ее инверсией	x  ¬x =1	x Λ¬ x =0
Операция с константами	x  0 = x; x  1=1	x Λ 1 = x; x Λ 0 = 0
Двойного отрицания	¬ ¬ x = x