7. 7. Евклидово пространство

Евклидовым пространством называется линейное пространство над полем R,в котором определено скалярное умножение, ставящее в соответствие каждой паре векторов,скаляр, причем выполнены условия:

1. =;

2. (+)=() +();

3. > 0.

Стандартное скалярное произведение вычисляется по формулам

(₁, … , _n) (₁, … , _n) = ₁₁ + … + _n_n.

Векторы иназываются ортогональными, записывается, если их скалярное произведение равно 0.

Система векторов называется ортогональной, если векторы в ней попарно ортогональны.

Ортогональная система векторов линейно независима.

Процесс ортогонализации системы векторов , … ,заключается в переходе к эквивалентной ортогональной системе , … ,, выполняемом по формулам:

=;

, где,k = 2, … , n.

П р и м е р 7.1. Ортогонализировать систему векторов

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Р е ш е н и е. Имеем== (1, 2, 2, 1);

, === 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, == =1;

==1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

У п р а ж н е н и е 7.1. Ортогонализировать системы векторов:

а) = (1, 1, 0, 2),= (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

б) = (1, 2, 1, 1),= (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

П р и м е р 7.2. Дополнить систему векторов = (1,-1,1,-1),

= (1,1,-1,-1), до ортогонального базиса пространства.

Р е ш е н и е. Исходная система ортогональна, поэтому задача имеет смысл. Так как векторы заданы в четырехмерном пространстве, то требуется найти еще два вектора. Третий вектор = (x₁, x₂, x₃, x₄)определяем из условий= 0,= 0. Эти условия дают систему уравнений, матрица которой образована из координатных строк векторови. Решаем систему:

~~.

Свободным переменным x₃ и x₄ можно придать любой набор значений, отличный от нулевого. Полагаем, например, x₃ = 0, x₄ = 1. Тогда x₂ = 0, x₁ = 1, и = (1, 0, 0, 1).

Аналогично находим = (y₁, y₂, y₃, y₄).Для этого к полученной выше ступенчатой матрице добавляем новую координатную строку и приводим к ступенчатому виду:

~~.

Для свободной переменной y₃ полагаем y₃ = 1. Тогда y₄ = 0, y₂ = 1, y₁= 0, и = (0, 1, 1, 0).

Нормой вектора евклидова пространства называется неотрицательное действительное число.

Вектор называется нормированным, если его норма равна 1.

Чтобы нормировать вектор, его следует разделить на его норму.

Ортогональная система нормированных векторов называется ортонормированной.

У п р а ж н е н и е 7.2. Дополнить систему векторов до ортонормированного базиса пространства:

а) = (1/2, 1/2,1/2,1/2),= (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

б) = (1/3,-2/3, 2/3).

8. 8. Линейные отображения

Пусть UиV– линейные пространства над полемF.Отображениеf: U  Vназывается линейным, еслии.

П р и м е р 8.1. Являются ли линейными преобразования трехмерного пространства:

а) f(x₁, x₂, x₃) = (2x₁, x₁ – x₃, 0);

б) f(x₁, x₂, x₃) = (1, x₁ + x₂, x₃).

Р е ш е н и е.

а) Имеем f((x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃)) = f(x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃) =

= (2(x₁ + y₁), (x₁ + y₁) – (x₃ + y₃), 0) = (2x₁, x₁ – x₃ , 0) + (2y₁, y₁ - y₃, 0) =

= f((x₁, x₂, x₃) + f(y₁, y₂, y₃));

f((x₁, x₂, x₃)) = f(x₁, x₂, x₃) = (2x₁, x₁ – x₃, 0) = (2x₁, x₁ – x₃, 0) =

=  f(x₁, x₂, x₃).

Следовательно, преобразование является линейным.

б) Имеем f((x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃)) = f(x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃) =

= (1, (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂), x₃ + y₃);

f((x₁, x₂, x₃) + f(y₁, y₂, y₃)) = (1, x₁ + x₂, x₃) + (1, y₁ + y₂, y₃) =

= (2, (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂), x₃ + y₃)  f((x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃)).

Следовательно, преобразование не является линейным.

Образом линейного отображения f: U V называется множество образов векторов изU,то есть

Im (f) = {f()   U}.

Ядром линейного отображения f: U V называется множество векторов изU, отображающихся в, то есть

Ker (f) = { U f() = }.

Im (f) иKer (f) являются подпространствами в пространствахVи Uсоответственно. Их размерности называются рангом и дефектом линейного отображенияfи обозначаютсяrank f и def f соответственно.

Ранг и дефект линейного отображения f: U V связаны соотношением

rank f + def f = dim U.

Пусть задано линейное отображение f: U V, и, … ,;, … ,– базисы пространствU и V соответственно.Пусть

f() = ₁₁+…+_m1;

………………………………

f() = _1n+…+_nm.

Матрицей линейного отображения f называется матрица

A = .

Образ любого вектора можно найти с помощью матричного умножения: f() =А, гдезаписан в виде столбца.

П р и м е р 8.2. Найти ранг, дефект, базисы образа и ядра линейного отображения f, заданного матрицей

А = .

Р е ш е н и е. Образ отображения порождается образами базисных векторов, расположенных по столбцам матрицы А. Поэтому базис образа – это базис системы столбцов. Находим его приведением матрицы к ступенчатому виду:

~~.

Заключаем, что базис Im f образуют векторы (1, 2, 2), (2, 5, 3) и (1, 3, 2). Следовательно, rank f = 3. Исходное пространство имеет размерность 4 (число столбцов матрицы), поэтому def f = 4 – rank f = 1.

Ядро отображения – это множество решений уравнения А=, базис ядра – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных уравнений. Матрица системы уже приведена к ступенчатому виду. Полагаем

x₃ = a, тогда x₄ = 0, x₂ = -a, x₁ = -a, = (-a, -a, a, 0) = a(-1, -1, 1, 0). Таким образом, базис ядра образует вектор (-1, -1, 1, 0).

З а м е ч а н и е. Если будет получено, что def f = 0,то ядро будет нулевым пространством и не имеет базиса.

У п р а ж н е н и е 8.1. Найти ранг, дефект, базисы образа и ядра линейного отображения f, заданного матрицей:

а) А = ; б) А = ; в) А = .