6. 6. Линейные пространства. Подпространства. Размерность и базис

Подмножество линейного пространства образует подпространство, если оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения на скаляры.

П р и м е р 6.1. Образует ли подпространство в плоскости множество векторов, концы которых лежат: а) в первой четверти; б) на прямой, проходящей через начало координат? (начала векторов лежат в начале координат)

Р е ш е н и е.

а) нет, так как множество не замкнуто относительно умножения на скаляр: при умножении на отрицательное число конец вектора попадает в третью четверть.

б) да, так как при сложении векторов и умножении их на любое число их концы остаются на той же прямой.

У п р а ж н е н и е 6.1. Образуют ли подпространство следующие подмножества соответствующих линейных пространств:

а) множество векторов плоскости, концы которых лежат в первой или третьей четверти;

б) множество векторов плоскости, концы которых лежат на прямой, не проходящей через начало координат;

в) множество координатных строк {(x₁, x₂, x₃) x₁ + x₂ + x₃ = 0};

г) множество координатных строк {(x₁, x₂, x₃) x₁ + x₂ + x₃ = 1};

д) множество координатных строк {(x₁, x₂, x₃) x₁ = x₂ ²}.

Размерностью линейного пространства L называется числоdim L векторов, входящих в любой его базис.

Размерность суммы и пересечения подпространств связаны соотношением

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U  V).

П р и м е р 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

Р е ш е н и е. Каждая из систем векторов, порождающих подпространства Uи V, линейно независима, значит, является базисом соответствующего подпространства. Построим матрицу из координат данных векторов, расположив их по столбцам и отделив чертой одну систему от другой. Приведем получившуюся матрицу к ступенчатому виду.

~~~.

Базис U + V образуют векторы, , , которым в ступенчатой матрице соответствуют ведущие элементы. Следовательно,dim (U + V) = 3.Тогда

dim (UV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Пересечение подпространств образует множество векторов, удовлетворяющих уравнению (стоящих в левой и правой частях этого уравнения). Базис пересечения получим с помощью фундаментальной системы решений системы линейных уравнений, соответствующей этому векторному уравнению. Матрица этой системы уже приведена к ступенчатому виду. Исходя из него, заключаем, что y₂– свободная переменная, и полагаем y₂= c. Тогда 0 = y₁ – y₂, y₁= c,. и пересечение подпространств образует множество векторов вида= с (3, 6, 3, 4). Следовательно, базис UV образует вектор (3, 6, 3, 4).

З а м е ч а н и я. 1. Если продолжить решать систему, находя значения переменных х, то получим x₂= c, x₁= c, и в левой части векторного уравнения получится вектор, равный полученному выше.

2. Указанным методом можно получить базис суммы независимо от того, являются ли порождающие системы векторов линейно независимыми. Но базис пересечения будет получен правильно, только если хотя бы система, порождающая второе подпространство, линейно независима.

3. Если будет установлено, что размерность пересечения равна 0, то пересечение не имеет базиса, и искать его не нужно.

У п р а ж н е н и е 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

а)

б)