Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Тульский государственный педагогический университет

им. Л.Н.Толстого

Решение задач по алгебре

Для 3 курса озо

Факультета математики

И информатики

Тула 2000

Рецензент -

канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа

ТГПУ им. Л. Н. Толстого И. В. Денисов

Решение задач по алгебре для 3 курса ОЗО факультета математики и информатики

Методические рекомендации предназначены для студентов 3 курса ОЗО факультета математики и информатики. Приведены основные теоретические сведения, необходимые для решения задач. Разобраны решения типовых заданий. Приведены упражнения для решения на практических занятиях. Даны задания для контрольных работ.

Составитель -

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ТГПУ им. Л. Н. Толстого

Ю. А. Игнатов

© Ю. Игнатов, 2000 г.

1. Разложение на простые множители

Целое число aназывается кратным числуb, илиaделится наb, что записывается в видеab, если существует такое целое числоc, чтоa = bc. В этом случаеbназывается делителемa, что записывается в видеba.

Целое число pназывается простым, если оно отлично от1 и не имеет делителей, отличных от1,p.

Целое число aназывается составным, если оно может быть разложено в произведение двух целых чисел, отличных от 0,1.

Каноническим разложением числа aна простые множители называется представление его в виде

,

где  = 1, p₁, …, p_k - различные простые числа, ₁, …, _k > 0.

Теорема 1.Составное натуральное числоaимеет простой делитель, не превосходящий.

П р и м е р 1.1. Разложить на простые множители числа: а) 919; б) 833.

Р е ш е н и е. а) Имеем = 30, … Выписываем все простые числа, не превосходящие 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Для каждого из них проверяем, является ли оно делителем числа 919. Убеждаемся, что 919 не делится ни на одно из этих чисел, значит, по теореме 1 является простым.

б) Имеем = 28,… Выписываем все простые числа, не превосходящие 28: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Проверяя их по порядку, получаем 833 = 7119. Далее находим= 10,… Поэтому нам осталось проверить на делимость числа, не превосходящие 10. При этом начинать надо с 7, так как на предыдущие числа 119 делиться не может. Следовательно, остается проверить одно число 7. Убеждаемся, что 119 = 717. В итоге получаем разложение 833 =7²19.

Упражнение1.1. Разложите на простые множители числа 831; 781; 1331; 703.

2. НОД и НОК

Наибольшим общим делителем целых чисел a₁, … , a_kназывается такой их общий делитель, который кратен любому их общему делителю.

Наибольший общий делитель чисел a₁, … , a_k обозначается НОД(a₁, … , a_k) или (a₁, … , a_k). Он определяется с точностью до знака.

Если (a₁, … , a_k) =d, то существует линейное представление

d = x₁a₁+ … +x_k a_k ,

где x₁ ,… x_k - некоторые целые числа.

Для нахождения НОД двух целых чисел и его линейного представления используется алгоритм Евклида, основанный на следующих теоремах.

Теорема 2.1(о делении с остатком). Для любых двух целых чиселaиb, гдеb> 0, существует единственная параq,r, такая что

a = bq + r, 0 r < b.

Теорема 2.2. Если a = bq + r, то (a,b) = (b,r).

Пример 2.1. Найти НОД(75, 27) и его линейное представление.

Решение. Строим цепочку делений с остатком. Для этого делим с остатком первое число на второе, затем делитель на получившийся остаток, и так далее, пока не получим нулевой остаток. Последний ненулевой остаток и есть искомый НОД.

75 = 272 + 21;

27 = 211 + 6;

21 = 63 + 3;

6 = 32.

Следовательно, НОД(75, 27) = 3.

Для нахождения линейного представления выражаем НОД из предпоследней строки, в которой он появился как остаток. Далее в получившееся выражение последовательно подставляем выражения для остатков, получившихся в предыдущих строках, двигаясь снизу вверх:

3 = 21 – 63 = 21 – (27 – 21)3 = 214 – 273 = (75 – 272)4 – 273= 754 – 2711.

Итак, НОД(75, 27) = 3 = 754 – 2711.

Упражнение2.1. Найдите НОД и его линейное представление: (124, 168); (215, 95).