3. Цепные дроби

Цепной, или непрерывной дробью называется выражение вида

,

где a₀ – целое, a₁, … , a_n – натуральные, a_n > 1. Для компактности цепную дробь записывают в виде [a₀; a₁, … , a_n].

Пример 3.1. Записать в виде цепной дроби число.

Решение. Коэффициенты цепной дроби – это частные, получающиеся в цепочке делений с остатком, организованной по алгоритму Евклида:

48 = 133 + 9;

13 = 91 + 4;

9 = 42 + 1;

4 = 14.

В итоге получаем = [3; 1, 2, 4].

Упражнение3.1. Запишите в виде цепной дроби число

k-ой подходящей дробью к цепной дроби A= [a₀;a₁, … ,a_n] называется цепная дробьA_k= [a₀;a₁, … ,a_k], где 0kn.

Определим индуктивно числа P_k,Q_k,k= 0, 1, … ,n:

P₀ = a₀,

P₁ = a₀a₁ + 1,

P_i+1 = P_ia_i+1 + P_{i –1} , i = 1,…, k–1;

Q₀ = 1,

Q₁ = a₁,

Q_i+1 = Q_ia_i+1 + Q_{i –1} , i = 1,…, k–1.

Теорема 3.1. Для любой подходящей дробиA_k,k= 0, 1, … ,n, к цепной дробиA= [a₀;a₁, … ,a_n] имеет место равенство.

Пример 3.2. Свернуть цепную дробьA= [2; 3, 1, 3].

Решение. Для нахождения числителей и знаменателей подходящих дробей строим таблицу:

i	0	1	2	3
ai	2	3	1	3
Pi	2	23 + 1 = 7	71 + 2 = 9	93 + 7 = 34
Qi	1	3	31 + 1 = 4	43 + 3 = 15

Таким образом, A= .

Упражнение3.2. Сверните цепную дробь: [3; 3, 2, 2]; [0; 2, 1, 4, 3].

4. Позиционные системы счисления

В десятичной системе счисления число в развернутом виде записывается как=a_k10^k +a_k-110^k-1 + … +a₀. Значение числа определяется не только значением его цифрa_k,a_k-1, … ,a₀, но и местом, позицией, которые они занимают в числе. Аналогично в произвольнойm-ичной системе имеем

=a_km^k +a_k-1m^k-1 + … +a₀. (1)

Черта над числом означает, что a_k,a_k-1, … ,a₀являются цифрами числа, а не множителями в произведении. Основание системыmобозначается в виде индекса.

Формула (1) позволяет перевести число из m-ичной системы в десятичную. Для этого ее преобразовывают к более удобному для вычислений виду:

=a_km^k +a_k-1m^k-1 + … +a₀= (…(a_km +a_k-1)m + …a₁)m+a₀.

Пример 4.1. Перевести число 5214₇в десятичную систему.

Решение. Имеем

5214₇ = ((57 + 2)7 + 1)7 + 4 = 1824.

Для перевода числа из десятичной системы в m-ичную пользуемся тем, что при делении числа, записанного вm-ичной системе, наmполучаем в частноми в остаткеa₀. Это позволяет последовательно определить все цифры числа, начиная с последнего.

Пример 4.2. Перевести число 3257₁₀в 8-ричную систему.

Решение. Имеем

3257 = 4078 + 1;

407 = 508 + 7;

50 = 68 + 2.

Следовательно, 3257₁₀= 6271₈.

Упражнение4.1. Переведите число из одной системы в другую: 364_710; 2032_510; 349_106; 143_1012; 1604_86.

Для перевода из m-ичной системы вn-ичную число предварительно переводим в десятичную систему. Но если одно из чиселm,nесть степень другого, то перевод упрощается. Например, для перевода из двоичной системы в четверичную и восьмеричную или обратно используем таблицы перевода цифр:

2-ичная	8-ричная
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

2-ичная	4-ричная
00	0
01	1
10	2
11	3

Пример 4.3. Осуществить перевод 305_82, 1001011_24.

Решение. Пользуясь первой таблицей, осуществляем перевод из 8-ричной в двоичную систему по цифрам:

305₈ = 011000101₂ = 11000101₂.

Для осуществления перехода из двоичной системы в 4-ричную цифры числа в двоичной системе разбиваем на пары, начиная справа, дописав при необходимости слева 0. Каждую пару переводим в 4-ричную цифру с помощью второй таблицы:

1001011₂ = 01001011 = 1023₄.

Упражнение4.2. Переведите число из одной системы в другую: 230_42; 101101011_28; 1203_48; 150_84.