4. 4. Алгебра матриц

На множестве матриц определены операции сложения, умножения на скаляры, умножения матриц.

Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка. Сложение выполняется покомпонентно.

Умножать на скаляр можно любую матрицу. Умножение выполняется покомпонентно (то есть каждый элемент матрицы умножается на скаляр).

Умножать можно матрицу порядка mk на матрицу порядка kn, то есть длина строки первой матрицы должна быть равна длине столбца второй матрицы В произведении получится матрица порядка mn. Ее элемент, находящийся вi-ой строке иj-ом столбце, получается умножением элементовi-ой строки первой матрицы на соответствующие элементыj-ого столбца второй матрицы и сложением получившихся произведений.

П р и м е р 4.1.

==.

Матрицей, транспонированной к матрице А, называется матрица А^Т, строки которой совпадают с соответствующими столбцами матрицы А.

Обратной к квадратной матрице А называется матрица А^-1_­такая, что

АА^-1= А^-1А = Е, где Е – единичная матрица,

Е = .

Для нахождения обратной матрицы к матрице А строим новую матрицу, расположив рядом матрицы А и Е и отделив их друг от друга вертикальной чертой. Соответствующие строки матриц А и Е образуют единую строку новой матрицы. Элементарными преобразованиями строк приводим матрицу А к единичному виду. Тогда матрица Е преобразуется к А^-1.

П р и м е р 4.2. Найти матрицу, обратную к матрице

А = .

Р е ш е н и е. Объединяем матрицы А и Е и приводим матрицу А к единичной:

~~

~~~

~~.

Следовательно,

А^-1 =.

У п р а ж н е н и е 4.1 Найти обратную матрицу:

а); б); в).

У п р а ж н е н и е 4.2. Решить матричное уравнение:

X = .

5. 5. Определители

Определители второго и третьего порядка вычисляются по формулам

= ad – bc;

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂.

Для вычисления определителей более высокого порядка их порядок следует понизить. Для этого пользуются правилами:

1. если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольный скаляр, то ее определитель не изменится;

2. если строку (столбец) матрицы умножить на скаляр , то наумножится ее определитель;

3. если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то ее определитель поменяет знак;

4. определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен 0;

5. определитель матрицы А, у которой все элементы какой-либо строки (столбца), кроме, может быть, a_ij,равны 0, равен(-1)^i+ja_ijM_ij,гдеM_ij –определитель матрицы, полученной из А вычеркиваниемi-ой строки иj-го столбца.

Для понижения порядка определителя выбираем в нем какой-нибудь элемент, обычно равный 1. Используя строку, в которой он стоит, как опорную, с помощью правила 1) как в методе Гаусса заменяем остальные элементы столбца, в котором стоит выбранный элемент, на нули. После этого понижаем порядок определителя по правилу 5). Можно и поменять строки и столбцы ролями, делая нули не в столбце, а в строке.

П р и м е р 5.1. Вычислить определитель

.

Р е ш е н и е. Мы имеем элемент 1 на пересечении второй строки и второго столбца. Используя вторую строку, сделаем остальные элементы во втором столбце равными 0. Для этого к первой, третьей и четвертой строкам прибавляем вторую, умноженную на –2, -5, -3 соответственно. Получаем:

= =(-1)²⁺²==

= 42 + 12 + 0 – 18 – 16 – 0 = 20.

Перед вычислением определителя третьего порядка его упростили, прибавив ко второй строке третью, умноженную на –2.

У п р а ж н е н и е 5.1.Вычислить определители:

а) ; б); в).

Минором элемента a_ij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, полученной из А вычеркиваниемi-ой строки иj-ого столбца (в которых стоит элементa_ij).

Алгебраическим дополнением элемента a_ij квадратной матрицы А называется скаляр A_ij= (-1)^i+jM_ij, где M_ij– минор элемента a_ij.

Матрицу, обратную к матрице А, можно вычислить по формуле

A^-1 = A^-1 A^*,

где A^* – матрица, полученная из А заменой каждого элемента его алгебраическим дополнением и последующим транспонированием.

П р и м е р 5.2. Найти матрицу, обратную к

А = .

Р е ш е н и е. Имеем

A = 6 + 18 + 60 – 9 – 16 – 45 = 14;

A^* = ;

A^-1 = .

У п р а ж н е н и е 5.2. Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений:

а); б).