Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x₁, x₂, …, x_{i - 1}.

Пусть получена эквивалентная система (4.2). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, чтоk-ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:

(4.5)

Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 4.2. Методом Зейделя решить систему уравнений

Решение.

Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в таблице.

Таблица

Нахождение корней линейной системы методом Зейделя

i
0	1,2000	0,0000	0,000
1	1,2000	1,0600	0,9480
2	0,9992	1,0054	0,9991
3	0,9996	1,0001	1,0001
4	1,000	1,000	1,000
5	1,000	1,000	1,000

Точные значения корней: х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Ответ: х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Индивидуальные задания

Задание 1. Методом итераций решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов.

№ 1.

№ 2.

№ 3.

№ 4.

№ 5.

№ 6.

№ 7.

№ 8.

№ 9.

№ 10.

№ 11.

№ 12.

№ 13.

№ 14.

№ 15.

№ 16.

№ 17.

№ 18.

№ 19.

№ 20.

№ 21.

№ 22.

№ 23.

№ 24.

№ 25.

№ 26.

№ 27.

№ 28.

№ 29.

№ 30.

Задание 2. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.

№ 1. № 2.

№ 3. № 4.

№ 5. № 6.

№ 7. № 8.

№ 9. № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16.

№ 17. № 18.

№ 19. № 20.

№ 21. № 22.

№ 23. № 24.

№ 25. № 26.

№ 27. № 28.

№ 29. № 30.

Решение слау средствами MathCad Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств

Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать на Mathcad блок given в сочетании с функцией Find.

Внимание! В блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.

Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова given.

При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=

Перед словом given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных.

Блок given не пригоден для поиска индексированных переменных.

Если мы хотим найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.

Признаком окончания системы служит функция Find, если мы хотим найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и мы хотим найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.

В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution – решение не найдено.

Зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.

Если необходимо найти решение при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую функцию

Обратите внимание! В этом случае не нужно задавать начальные приближения перед началом блока given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)

Подобным же образом можно решать системы, зависящие от параметра.