ВМ_LABS / ЛР5_ЧР СОДУ[p]

Лабораторная работа № 5

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого поряд-

ка называется совокупность дифференциальных уравнений вида:

Задача Коши для данной системы дифференциальных уравнений формули- руется следующим образом: найти функции y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), удовлетворяю-

щие равенствам (1) и начальным условиям

Приведение дифференциального уравнения n-го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения n-го порядка

удовлетворяющее начальным условиям

где u0 , u0′, ..., u0(n) – некоторые числа.

Если уравнение (5) разрешимо относительно старшей производной u(n) (x),

Метод Эйлера решения векторного дифференциального уравнения (3)

состоит в последовательных расчетах по формуле

начиная с точки (x0 , y0 ), заданной начальными условиями x0 , y(x0 ) = y0 . Здесь h –

шаг интегрирования по независимой переменной x.

Для системы из двух уравнений векторная формула (10) представляется в виде двух следующих скалярных формул:

y1,m+1 = y1,m + h × f1 (xm , y1,m , y2,m ), y2,m+1 = y2,m + h × f2 (xm , y1,m , y2,m ).

Метод Рунге–Кутта 2-го порядка решения векторного дифференциаль-

ного уравнения (3) состоит в последовательных расчетах по формулам

Для системы из двух уравнений векторные формулы (11) представляются в виде следующих скалярных формул:

k1,1 = f1 (xm , y1,m , y2,m ), k1,2 = f2 (xm , y1,m , y2,m ),

2

k2,1 = f1 (xm + h, y1,m + hk1,1 , y2,m + hk1,2 ), k2,2 = f2 (xm + h, y1,m + hk1,1 , y2,m + hk1,2 ),

y1,m+1 = y1,m + h2 (k1,1 + k2,1 ), y2,m+1 = y2,m + h2 (k1,2 + k2,2 ).

Метод Рунге–Кутта 4-го порядка решения векторного дифференциаль-

ного уравнения (3) состоит в последовательных расчетах по формулам

начиная с точки (x0 , y0 ).

Для системы из двух уравнений каждая из векторных формул (12) представ- ляется в виде двух скалярных формул, так что вместо (12) будем иметь

3

Содержание отчета:

∙ручное решение;

∙решение в MS Excel;

∙программа решения на языке Turbo Pascal.

Задание. При решении задачи своего варианта осуществить переход от обыкно-

венного дифференциального уравнения второго порядка к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и, вос- пользовавшись методом Рунге–Кутта 4-го порядка, произвести расчеты не менее чем в 10-ти точках отрезка. Построить график полученного решения.

1.Решить задачу Коши y'' + y – H2x2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 для значения параметра H=1 на интервале [0, 4].

2.Решить задачу Коши y'' – y + e2x(y – y3) = 0, y(–1) = 0.103451, y'(–1) = 0.1 на интер- вале [–1, 1].

3.Решить ОДУ y'' + sin y = 0 при начальных условиях y(0) = π/2, y'(0) = 0 на ин- тервале [0, 5π].

4.Решить ОДУ y'' + y – y3 = 0 при начальных условиях y(0) = 0, y'(0) = 0 на интер-

вале [0, 5π].

5.Решить ОДУ y'' + y – y3 = 0 при начальных условиях y(0) = 0, y'(0) = 0 на интер-

вале [0, 5π].

6.Решить ОДУ y'' + 2δ (1 + γ(y')2)y' + y = 0 для значений параметров δ = 0.1, γ = 0.2 при начальных условиях y(0) = 1, y'(0) = 1 на интервале [0, 10].

7.Решить ОДУ y'' + y + γy3 = f cos ωt для значений параметров f = 1, γ = 0.2, ω = 1 при начальных условиях y(0) = 0, y'(0) = 0 на интервале [0, 10π].

ω = 2, δ = 0.1 при начальных условиях y(0) = 1, y'(0) = 0 на интервале [0, 10π].

10.Решить ОДУ y'' + (1+ m cos ωx) y = 0 для значений параметров m = 0.2, ω = 2 при начальных условиях y(0) = 1, y'(0) = 0 на интервале [0, 5π].

11.Решить ОДУ y'' – 3y' – x2 = 0 при начальных условиях y(0) = 0, y'(0) = 1 на ин- тервале [0, 5].

12.Решить ОДУ 4x2y'' + y = 0 при начальных условиях y(1) = 1, y'(1) = 0.5 на интер-

вале [1, 6].

13.Решить ОДУ ω-2y'' + y – k = 0 для значений параметров ω = 2, k = 5 при началь- ных условиях y(0) = 0, y'(0) = 0 на интервале [0, 2].

4