Для машиностроения Мех.мат / Лекция №21-механика
.DOCЛекция №21
Тема: Сложное сопротивление
Вопросы:
-
Общий метод решения задач при сложном сопротивлении.
-
Косой изгиб.
-
Внецентренное растяжение (сжатие).
-
Совместное действие кручения и изгиба.
1. Общий метод решения задач при сложном сопротивлении.
Если в поперечных сечениях бруса возникают два или более внутренних усилия, учитываемых при расчете на прочность, то это случай сложного сопротивления. Поперечный изгиб не является сложным сопротивлением, так как расчет балок в основном ведут по изгибающему моменту, а поперечная сила игнорируется.
Порядок решения задач при сложном сопротивлении следующий:
1. Методом сечений определяют внутренние усилия, строят их эпюры и находят опасные сечения. Опасным является сечение, где одно из внутренних усилий имеет максимальное значение.
2. Для опасного сечения определяют напряжения отдельно от каждого внутреннего усилия и строят эпюры. По эпюрам напряжений находят опасную точку (точки). За опасную принимается точка, где суммарные нормальные или касательные напряжения максимальны.
3. Для опасной точки составляется условие прочности. Если в опасной точке возникают только нармальные или только касательные напряжения, то суммарное напряжение сравнивается с допускаемым. Если в опасной точке возникает и касательное и нормальное напряжения, то для составления условия прочности нужно воспользоваться какой-то гипотезой прочности.
4. Перемещения определяют отдельно от каждого внутреннего усилия, а затем их слаживают с учетом направления.
2. Косой изгиб
Изгиб называют косым, если плоскость изгибающего момента не проходит ни через одну из главных осей сечения.
Пусть к свободному концу стержня приложена сила F, не совпадающая ни с одной из главных осей и проходящая через центр тяжести сечения (рис. 1). Если направление силы не будет проходить через центр тяжести, то помимо изгибающих моментов будет создаваться и крутящий момент. Этот случай мы рассмотрим чуть позднее.
По правилу
параллелограма разложим силу F на
составляющие
,
перпендикулярные соответственно осям
X и Y. В произвольном сечении на расстоянии
z
от правого конца балки будут возникать
изгибающие моменты:
Рис. 1
т.е. косой изгиб наблюдается, когда в сечении возникают два изгибающих момента.
Из формул (1)
следует, что значения изгибающих моментов
прямо пропорциональны z.
При z=0;
и при z=l
.
Строим эпюры моментов
и
.
Момент
действует в
горизонтальной плоскости, поэтому его
значения откладываем по оси X. Из эпюр
и
видно, что опасным будет сечение в
заделке балки, так как
и
максимальны.
Для опасного сечения АВСД (см. рис. 2) определим напряжения и построим их эпюры. От изгибающего момента возникают нормальные напряжения, определяемые по формулам:
От изгибающего
момента
напряжения будут:
Рис. 2
от момента
:
Эпюру
строим справа от сечения, эпюру
– внизу. Анализируя эпюры
видим, что наибольшие растягивающие
напряжения будут возникать в точке С,
а сжимающие – в точке А (опасные точки).
Условие прочности для опасной точки будет иметь вид:
Для определения перемещений определяют отдельно прогибы от Мх и Му и затем их слаживают и определяют общий прогиб
f =
где U и V - соответственно прогибы от Мy и Мx.
3. Внецентренное растяжение (сжатие)
В реальных условиях
часто сжимающая или растягивающая сила
приложены не в центре тяжести сечения,
а с каким-то смещением, например, на
рисунке 3,а точка приложения силы F имеет
координаты
.
а)
б)
Рис.3
Возьмем произвольное сечение на высоте z (оно заштриховано) и определим внутренние усилия. Силу F можно перенести в центр сечения, но при этом нужно добавить два момента (см. рис.3 б)
Сила F, приложенная к центру сечения вызовет продольную силу, равную ей:
N=F
Поскольку внутренние усилия не зависят от z - высоты сечения, то в любом сечении они будут одинаковы. Можно сказать, что все сечения стержня равноопасны. Определим напряжения от каждого внутреннего усилия и построим их эпюры. От продольной силы N возникают нормальные напряжения, одинаковые во всех точках сечения:
От изгибающих
моментов
и
соответственно:
Эпюры нормальных напряжений представлены на рисунке 6.
Рис. 4
Из эпюр напряжений видно, что наибольшие напряжения возникают в точке С (опасная точка). Для нее составим условие прочности:
Составим уравнение нулевой линии, т.е. линии, на которой суммарные напряжения равны нулю:
или, подставив формулы (6-8), получим:
;
Внутренние силы
выразим через внешнюю силу
;
Тогда получим:
;
или
;
Заменим
и
,
(10)
где ix,iу – радиусы инерции сечения, м.
Окончательно уравнение нулевой линии будет:
;
(11)
Это уравнение
прямой в отрезках, так как эта прямая
отсекает отрезки на осях X
и Y
соответственно знаменателям под
переменными. Так при х=0;
(12) а, при у=0;
(13). Поскольку
в этих формулах стоит знак "минус",
то у
и
,
а также х
и
лежат по разные стороны от центра тяжести
сечения.
Все полученные зависимости справедливы и для случая внецентренного сжатия. Некоторые материалы не могут сопротивляться растягивающим усилиям. Поэтому при внецентренном сжатии нельзя допустить, чтобы какие-либо точки сечения испытывали растяжение. В этой связи важно определить зону приложения нагрузки (ядро сечения), обеспечивающую во всех точках сечения только сжатие.
Рассмотрим прямоугольное сечение. Для него согласно формуле
;
,
где
и
– соответственно ширина и высота
сечения. По формуле (10) получим:
(14)
Это значение
подставим в формулу (12):
(15)
Пусть нулевая
линия будет проходить по самому краю
сечения, т.е. линии ВС (см. рис.5, а). В этом
случае в сечении будут только сжимающие
напряжения, а на линии ВС напряжения
будут равны нулю. При этом
.
По формуле (15) определим
:
Отложим эту точку на оси Y сечения.
а) б)
Рис. 5
Аналогично, для случая, если нулевая линия будет проходить по стороне СД прямоугольника, получим:
;
Поскольку, как мы уже отмечали, для уравнения прямой в отрезках достаточно найти значения точек на осях координат, соединим эти точки.
Учитывая симметрию сечения отложим и положительные значения h/6 и b/6, что соответствует, если нулевые линии будут проходить по прямым АД и АВ.
Соединив полученные точки прямыми, определим ядро сечения (заштриховано), представляющее собой ромб.
Определим ядро сечения для круглого сечения (рис.5, б). Для круга согласно формуле:
и
По формуле (10):
Формула (12) примет вид:
При у=
,
получим:
или диаметр ядра сечения будет d/4.
4. Совместное действие кручения и изгиба
Рассмотрим случай совместного действия кручения и изгиба на стержень круглого сечения (см. рис.6).
Определим внутренние усилия и построим их эпюры. Крутящий момент будет возникать на участке от заделки стержня до сечения, где приложен внешний момент Tе
T=Tе.
Принимаем это направление Т за положительное (четких правил знаков для крутящих моментов нет) и строим эпюру Т.
Рис. 6
От силы F будет возникать изгибающий момент, наибольшее значение которого будет в заделке:
Строим эпюру изгибающих моментов. Из эпюр Т и М видно, что опасное сечение будет в заделке. Поэтому расчет на прочность будем проводить для этого сечения.
Для опасного сечения определим напряжения и построим их эпюры (см. рис. 7).
Рис. 7
Согласно формулам:
;
и формулам:
;
.
Опасными будут
точки 1 и 2. Для них и нужно составить
условие прочности, т.е. учитывать
и
.
Индексы max
в дальнейшем опустим, чтобы упростить
написание. Совместное действие кручения
и изгиба приходится учитывать чаще
всего при точном расчете валов машин и
грузоподъемных механизмов, поэтому
расчет ведут по допускаемым напряжениям.
Поскольку в опасной точке возникает
касателльное и нормальное напряжение,
то непосредственно, как в случаях косого
изгиба или внецентренного растяжения,
составить условие прочности нельзя.
Нужно вначале определить главные
напряжения и затем использовать
соответствующую для данного материала
теорию прочности. Определим главные
напряжения. В поперечном сечениии
возникают касательные напряжения
и нормальные
.
Согласно закону парности касательных
напряжений в продольных сечениях будут
возникать касательные напряжения,
равные по величине и обратные по знаку
(закон парности касательных напряжений).
Элемент представлен на рис. 8.
Рис. 8
Главные напряжения определяют по формуле
.
В данном случае
;
;
У главных напряжений
обязательно
.
Поэтому:
;
;
Валы, как правило, изготавливают из стали, т.е. пластичного материала. Для пластичного материала можно применить гипотезу наибольших касательных напряжений.
Подставив значения
и
,
получим:
(16)
Вместо
и
подставим
их максимальные значения:
(17)
Для круглого сечения имеем:
и
т.е.
.
В формуле (17) заменим
на
:
(18)
Если использовать энергетическую гипотезу прочности, то получим:
(19)
Формула (19) отличается
от формулы (16) только тем, что в ней
а не
.
Поэтому можно сразу записать окончательную
формулу.
(20)
Формулы (18) и (20) используют для уточненных расчетов валов.