9.7.4. Наибольшее и наименьшее значения функции 2-х

переменных в замкнутой области

В 9.3 была сформулирована теорема Вейерштрасса (теорема 9.1), согласно которой всякая функция , непрерывная в замкнутой областиU, ограниченной ломанойГ=, достигает в этой области своих наибольшего – наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом.

1. Находим критические точки, принадлежащие U.

2. На каждом звене ломанойГсводим функциюfк функцииодной переменной и выделяем накритические точки функции.

3. Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вершинами ломаной Г.

4. Вычисляем значения функции в точках полученного списка и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут искомыми.

Пример 17.Найти наибольшее и наименьшее значения функциив областиD, заданной неравенствами.

 Область Dограничена частью параболыи отрезком прямойx= 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции:Решение системы:x =32,5,y = –13. Найденная критическая точкане принадлежитD.

2) Исследуем функцию на границе. а) На участке . Функциясводится к функции одной переменной.Находим критические точки функции:. Наx= 4 и точки. б) На линии. Функциясводится к функции,. Находим критические точки функции:,,,,. Наи получаем точки,.

3) Вершины ломаной в точках и. 4) Вычисляем значения функцииfв точках,,,. Итак,,.

9.7.5. Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

Если функция дифференцируемаn+1 раз в некоторой окрестноститочки, то для всякой точкисправедливаформула Тейлора

или, записав несколько членов в развернутом виде,

+(7.4)

…+

. Здесь-остаточный членв формуле Тейлора порядкаn. При этом,где- бесконечно малая функция прии, вид которой зависит от функцииfи точки.В форме Пеано , где. Приформула (7.4) называетсяформулой Маклорена.

Пример 18.Функциюразложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

Имеем. Вычислим последовательно частные производные данной функции:,

. Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке(2,-1):. По формуле (7.4) получаем искомое разложение

.

Пример 19.Функциюразложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

 Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

,,; ,

, . По формуле (7.4) имеем, где.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить приближенно:

50. .51..52..53..

54.Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основанияR=2,5м, высотуH= 4м и толщину стенокl=1 дм . Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.

55. В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см,r =10см, высотаh =30 см. Как приближенно изменится объем конуса, еслиRувеличить на 2 мм,r– на 3 мм иhуменьшить на 1мм.

56Найти уравнение касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:

а) в точке; б)в точке;

в) в точке (2,1,3); г)в точке (2,2,1);

д) в точках пересечения с осьюOz.

57. Найти углы, которые образуют нормаль к поверхности в точке (1,1,/4)cосями координат. Найти экстремумы функций 2-х переменных:

58. .

59..

60..61..

62..

63.Найти наибольшее и наименьшее значения функциив области.

64.Найти наибольшее и наименьшее значения функциив области.

65.Найти наибольшее и наименьшее значения функциив круге.

66. Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания Rи высотойH.

67. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок и внутренней емкостьюVтак, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.

68. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2,1).

69. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-его порядка включительно функцию .

70. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 3-го порядка включительно функцию .

71. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию , определяемую уравнением, если.