Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.

9.10. 11.12.13.

9.3. Непрерывность функции

1^. Функцияf(M) называется непрерывной в точке, если выполнены условия : 1)f(M) определена в точкеM₀; 2) существует;

3) .

2^. Функцияf(M) называетсянепрерывной в областиU, если она непрерывна в каждой точке областиU.

3^ . Если в точкеM₀нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, тоM₀называетсяточкой разрывафункцииf(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.

Теорема 9.1(Вейерштрасса). Если множествоU, принадлежащее области определения функцииf, является замкнутым и ограниченным, а функцияfнепрерывна наU, тоfдостигает наUсвоих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точкии, что для любой точкивыполняется неравенство

Пример 3.Найти точки разрыва функций: а)

б)

а) Область существования функцииесть множество точек плоскостиOxy, координаты которых удовлетворяют условиюили- внутренность круга радиусас центром в точкеO(0;0). Функцияне определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е., отсюдаили. Таким образом, функцияz(x,y) разрывна на окружности.

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространствеOxyzточки разрыва функции образуют поверхность– конус.

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функций двух переменных:

14.15.16.

Найти точки разрыва функций трех переменных:

17. 18.

19^.Исследовать непрерывность функции приx = 0,y = 0:

1) . 2) .

3) .

9.4. Частные производные и дифференцируемость функции

1^. ПустьM(x₁,…,x_k,…,x_n) – произвольная фиксированная точка из области определенияDфункциии точкаЕсли существует предел

,

то он называется частной производной первого порядкаданной функции по переменнойx_kв точкеMи обозначаетсяили, или.

Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме x_k, рассматриваются как постоянные.

2^.Частными производными второго порядкафункциипо соответствующим переменным называются частные производные от ее частных производных первого порядка, они обозначаются:=,и т.д. Аналогично определяются частные производные порядка выше второго.

Теорема 9.2Если смешанные производныенепрерывны, то они совпадают:.

Таким образом, результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования при условии, что возникающие при этом “смешанные” частные производные непрерывны.

Пример 4.Найти частные производные первого и второго порядков от функции.

 Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: ,

. Дифференцируя вторично, получим:

,

,

,

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций:

20. .21. .22. .23. .

24. .25.Найти, если.

9.5. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

1^.Полным приращениемфункциив точке, соответствующим приращениям аргументов, называется разность. (5.1)

2^.Функцияfназываетсядифференцируемой в точкеМ, если существуют такие числа, что всюду в окрестности точкиМполное приращение

функции можно представить в виде

,

где .

Теорема 9.3 (Необходимое условие дифференцируемости функции.) Если функцияfдифференцируема во внутренней точке, то существуют частные производные

Теорема 9.4.(Достаточное условие дифференцируемости функции). Если частные производныесуществуют и непрерывны во внутренней точке, то функция дифференцируема вМ. Для дифференцируемой в точкеМфункцииf полное приращение(5.2)

3^. Дифференциалом df первого порядкафункциив точкеназывается главная часть полного приращения (5.2), линейная относительно:

. (5.3)

Подставив в (5.2) , получим

l = 1,2,…,nиили. Тогда дифференциал функцииf выражается через дифференциалы независимых переменных:

. (5.4)

Функции uиvнескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:

,,. (5.5)

4^.Дифференциалом 2-го порядкафункцииназывается дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменныхпри фиксированных (т.е. постоянных):

. Вообще,дифференциал m – го порядка функции f:

(5.6)

Пример 5.Найти полное приращение и дифференциал функциив точке.

 По формуле (5.1) =.

Дифференциал dfесть главная часть полного приращения, линейная относительно:.

Пример 6.Найти дифференциал функции.

Первый способ. По формуле (5.4):,

.

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

+

.

Пример 7.Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции.

 По формуле (5.4): . По формуле (5.6) приm= 2 иm= 3, считаяdxиdyпостоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

=

