Ответы к задачам главы 3:

1. Функция имеет в точкеразрыв второго рода (бесконечный,в точкетакже имеет бесконечный разрыв второго рода.

2. Функция имеет в точкеустранимый разрыв,- разрыв второго рода (бесконечный).

3. Если , то; если, то. В точкеразрыв первого рода типа скачок.

4. В точке разрыв второго рода. Пределне существует при.

5. Функция имеет три точки разрыва. При - разрыв устранимый, при- разрыв второго рода (бесконечный).

6. При - разрыв второго рода (бесконечный).

7. При - разрывы второго рода (бесконечные).

8. При и- разрывы второго рода (бесконечные).

9. Нет. Если справа, то, еслислева, то.

10. Нет. Если справа, то, еслислева, то.

11. При - разрыв первого рода (скачок).

12. При - разрыв первого рода (скачок), в точкефункция непрерывна.

13. В точке функция непрерывна, в точке- разрыв первого рода (скачок).

14. В точке - разрыв первого рода (скачок), в точкефункция непрерывна.

Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций

Пусть есть приращение функциив точке, соответствующее приращению аргумента.Производной функции в точкеназывается предел .Числа иназываются соответственнолевой и правой производными функции в точке. Необходимым и достаточным условием существованияявляется существование и совпадениеи. Процесс нахождения производной называетсядифференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций

1. , гдеС - const. 2. ,.

3. ,;. 4.,;.

5. . 6.. 7.. 8..

9. . 10..

11. . 12.. 13.. 14..

Правила дифференцирования функций. Пусть идифференцируемые функции. Тогда:

1. . 2.. 3., где.

Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедливо равенство;.

Пример. Найти производную функции .

 Полагая и, имееми.

Тогда получаем: . #

Правило дифференцирования сложной функции справедливо для любого конечного числа композиций основных элементарных функций.

Пример. Найти производную функции.

 Используя таблицу производных и правила дифференцирования, получаем: =. #

Производная от логарифма функции , т.е.называетсялогарифмической производной, а операция дифференцирования – логарифмическим дифференцированием. Применение логарифмирования часто упрощает взятие производной, а в случае степенно-показательной функции оно необходимо.

Пример. Найти производную функции.

 Логарифмируя, получим . Находим производные левой и правой частей равенства:.

Тогда . #

Пример. Найти производную функции.

 . Дифференцируя обе части равенства, получим: ,

. #

Задачи для самостоятельного решения

Продифференцировать указанные функции.

1. . 2.. 3.. 4.. 5..

6. . 7.. 8.. 9..

10. . 11.. 12.. 13..

14. . 15.. 16.. 17..

18. . 19.. 20.. 21.. 22.. 23.. 24.. 25.. 26..

27. . 28.. 29.. 30..

4.2. Дифференцирование функций, заданных

неявно или параметрически

Функция называетсязаданной неявно уравнением на некотором множестве, если,. Для нахождения производной функциинеобходимо продифференцировать пообе части уравненияи затем полученное уравнение разрешить относительно.

Пример. Найти для функции, заданной неявно:.

Дифференцируя по обе части равенстваполучим:

; ;

, . #

Пусть заданы функции ,,и пусть на интервалефункцияимеет обратную. Тогда можно определить функцию, которая называетсяпараметрически заданной.

Теорема 1 (Производная обратной функции). Пусть функция возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки. Пусть, также,. Тогда в некоторой окрестности точкиопределена обратная функция , причемдифференцируема в точкеи. Более простая форма записи для произвольной точки, в которой выполнены условия теоремы:. Применяя теорему 1, получим: для функции, заданной параметрически:

Пример. Найти , если,.

 Так как ,, то. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные от подля неявно заданных функций.

31. . 32.. 33..

34. . 35.. 36.. 37..

Найти производные от подля функций заданных параметрически.

38. ,. 39..

40. . 41.. 42..

4.3. Производные высших порядков

Производной второго порядка от функции называется производная от ее первой производной, т.е..Соответственнопроизводной n-ного порядка называется производная от (n-1) - ой производной, т.е.

Пример. Найти производную порядка от функции.

 ,. Продолжая дифференцирование функции, получим:. #

Если функции иимеют производные доn-ного порядка включительно, то справедлива формула Лейбница:

Пример. Найти производную 5-го порядка от функции .



.

Имеем: ,,,

, ,,,

Подставляя полученные значения производных, находим:

. #

Пример. Найти производную второго порядка от функции.

 Дифференцируя уравнение по , получаем.

Отсюда , или.

Заменим наиз условия:. Дифференцируя последнее уравнение по, имеем:. Используя найденное длявыражение, получаем. #

Для функции , заданной параметрически,, производная второго порядка находится по формуле. Производная порядкаn определяется следующим образом: .

Пример. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически: .

 Найдем первую производную: . Тогда.#

Задачи для самостоятельного решения

43. 44.

45. 46.47.

48. 49.50.Найти.

51. 52.

53.

54. Применить формулу Лейбница для вычисления производной:.

4.4. Геометрический и механический смысл производной

Г

Рис. 1

еометрический смысл производной: производная функцииесть тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке, к положительному направлению оси абсцисс

. (Рис. 1).

Рис. 1.

Уравнение касательнойв точкеимеет вид.

Нормалью к графику функции в точкеназывается прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной в этой точке.

Ее уравнение: .

Углом между кривыми в их общей точке называется угол между касательными, проведенными к кривым в этой точке.

Механический смысл производной: Если закон движения материальной точки описывается функцией , тоесть скорость, а- ускорение этой точки в момент времениt.

Пример. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

 , . Тогда,.Составим уравнение касательнойи нормалик графику .:,:или:,:.

Пример. Написать уравнение касательной к кривой ,в точке.

 Вычислим . Тогда,,

. Уравнение касательной имеет вид: .

Пример. Найти угол под которым пересекаются кривые и

 Найдем точки пересечения кривых и. Из равенстванаходим точки пересечения,. Вычислим угловые коэффициентыикасательных к кривымив точке.,

Угол между касательными определяем по формуле

. В точке имеем соответственнои. Тогдаи.

Пример. Тело массой 4 движется прямолинейно по закону . Определить кинетическую энергию тела в момент времени.

 Найдем скорость в момент времени .,.

Тогда кинетическая энергия есть .