МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики и математических методов в экономике

КУРСОВАЯ РАБОТА

Определение и свойства меры лебега

Выполнил:

Миронов Роман Станиславович, студент группы ПМИ, II курса ФМОИиП,

очной формы обучения

Научный руководитель:

Богданова Елена Алексеевна

кандидат педагогических наук, доцент

кафедры ПМиММЭ

Мурманск

2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3 ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ, КАСАЮЩИЕСЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ……………………………………………………………………………………...5

1.1 Мера элементарных множеств……………………………………...…5

1.2 Лебегова мера плоских множеств……………………………...….....10

ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ТЕОРИИ МЕРЫ ЛЕБЕГА…………..……………………………………...........17

2.1 Измеримые множества по Лебегу……………………………………17

2.2 Множества меры нуль………………………………………………..24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ………27

ВВЕДЕНИЕ

Исходным понятием в теории Лебега служит понятие меры. Это понятие обобщает понятие длины, площади, объема, а также массы, вероятности и т.д.

Меру можно сопоставлять множествам произвольной природы, однако, чтобы положить, что рассматриваемое семейство множеств замкнуто относительно естественных операций над множествами – объединения и пересечения, причем как выясняется, теория может быть достаточно далеко продвинута, если эти операции можно выполнять не только в конечном, но и в счетном числе.

В отличие от теории интегрирования по Риману теория интегрирования по Лебегу, в наше время одинаково просто развивается независимо от числа переменных (и вообще, независимо от природы области определения). Кроме всего прочего, это позволяет рассматривать очень простые, но вполне содержательные модели, когда область определения – промежуток вещественной оси, интеграл Римана покрывается интегралом Лебега: функции, интегрируемые по Риману, интегрируемы по Лебегу и значения интегралов совпадают.

Следует сразу отметить, что имеется немало разных подходов к построению меры Лебега, но (при отсутствии ошибок) все они приводят к одному результату.Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Цель данной курсовой работы состоит в том, чтобы проведя анализ существующей литературы по данной тематике, выявить основные определения и свойства меры Лебега.

Объектом исследования является мера Лебега.

Предметом исследования является рассмотрение важных, теорем и замечаний, связанных с мерой Лебега.

Задачи курсовой работы:

- изучить основные понятия и свойства, связанные с объектом исследования;

- рассмотреть соответствующую литературу с целью изучения основных свойств и определений в теории меры Лебега;

- решить ряд математических задач, связанных с мерой Лебега.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: сравнительный анализ научной, математической и учебной литературы по проблеме исследования; изучение, анализ и обобщение основных аспектов, связанных с мерой Лебега.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и литературы.

В первой главе курсовой работы «Теоретические аспекты, касающиеся меры Лебега» рассматриваются основные теоретические вопросы о теории меры Лебега и её свойствах.

Во второй главе «Практические приложения основных теорем теории меры Лебега» приведены практические задачи.

Основной текст работы включает 28 страниц и список использованных источников и литературы содержит 14 наименований.