2.2 Множества меры нуль
В теории интеграла особую роль играют множества нулевой меры. Изучим их свойства.
Пусть Е — множество
нулевой меры, а F — его подмножество.
Тогда выполняются соотношения: 
которые означают,
что функция 
интегрируема и 
.
Поэтому справедливо следующее утверждение:
Теорема 9. [5] Всякое подмножество множества меры нуль измеримо, и его мера равна нулю.
Теорема 10. [5] Объединение конечного или счетного числа множеств нулевой меры измеримо и имеет нулевую меру.
Доказательство.
Пусть
,
где |
|=0 (случай объединения конечного числа
множеств можно свести к рассматриваемому,
положив 
при k > n). Положим
.
Очевидно, выполняется соотношение
,
при любом х. А так
как, по условию, 
,то из теоремы 7
вытекает, что 
измеримо и 
.
Но 
,
причем 
.Тогда
в силу теоремы 8 множество Е измеримо,
причем 
.
Из доказанного утверждения вытекает, в частности, что любое счетное множество — множество меры нуль: оно является объединением счетной совокупности точек, а мера каждой точки равна нулю.
В дальнейшем будем
говорить, что некоторое свойство
выполняется почти всюду на множестве
Е, если оно выполняется для всех 
,
за исключением, быть может, множества
меры нуль. Например, можно сказать, что
ступенчатая функция почти всюду (на
прямой) непрерывна, функция Дирихле
почти всюду (на прямой) равна нулю.
В курсе интегрального исчисления изучались различные условия интегрируемости функции по Риману. Понятие меры Лебега позволяет дать исчерпывающую характеристику класса интегрируемых по Риману функций. Лебег доказал, что для интегрируемости по Риману функции, ограниченной на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы функция была почти всюду непрерывна на этом отрезке.
Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены определения, свойства, теоремы и различные примеры касающиеся меры Лебега.
В ходе выполнения курсовой работы была достигнута поставленная цель и выполнены задачи исследования – проведен анализ существующей литературы с целью выявления и обобщения сведений об основных понятиях и свойствах меры Лебега, составлена практическая часть, содержащая в себе примеры по данной теме исследования. Меру можно сопоставлять множествам произвольной природы. Следует отметить, что имеется немало разных подходов к построению меры Лебега, но (при отсутствии ошибок) все они приводят к одному результату.
Выводы:
- Произведен анализ существующей литературы и источников.
- Изучены основные свойства и понятия меры Лебега.
- Показаны примеры решения задач по данной теме.
Список использованных источников и литературы