- •Глава 1. Действительные функции одного переменного
- •1.1. Основные понятия и определения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Некоторые типы функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная функция
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 1:
- •Глава 2. Предел функции
- •2.1. Предел функции. Основные понятия
- •2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Второй замечательный предел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 2:
- •Глава 3. Непрерывность функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 3:
- •Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций
- •Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедливо равенство;.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.5. Дифференциал
- •Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .
- •Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала, то естьи он обозначаетсяили.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.8. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 4:
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производных
- •5.1. Возрастание и убывание функций
- •5.2. Точки экстремума функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.4. Асимптоты графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.5 Общая схема исследования функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 5:
Глава 2. Предел функции
2.1. Предел функции. Основные понятия
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, за исключением быть может самой точки.
Число A называется пределом в точке и пишут, если для любогосуществуеттакое что, для любыхx таких, что выполняется;.
Число A называется пределом при , если для любогосуществует числотакое, что для любыхx таких, что выполняется.
Теорема 1. Пусть и. Тогда выполняется:
а) ; б);
в) .
Неопределенностями называются следующие предельные выражения: ,,,.Например, записьозначает, что это есть предельное выражение для функциипри стремлении(т.е.и).
2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
При вычислении предела дробно-рациональной функции
в т. применяется метод разложения многочленовна множители.
Пример. Вычислить предел.
.
Вычисление предела припроизводится методом деленияина, где. Получаем
Пример. Вычислить предел .
Разделим числитель и знаменатель дроби на .
.
Метод деления на x в старшей степени применим и к пределам функций, содержащих иррациональные выражения.
Пример. Вычислить .
Старшая степень x в числителе – вторая у выражения , а в знаменателе также вторая при произведенииx на . Тогда.
Часто при вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, применяется метод перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот.
Пример. Вычислить .
===.
Пример. Вычислить .
== ==(делим числитель и знаменатель наx) = .
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы.
1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10.. 11.. 12.. 13., (n и m – целые числа). 14.. 15.. 16.. 17.. 18.. 19.. 20..
2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
Функция называется бесконечно малой при (б.м.), если. Пустьи- б.м. при. Если, тоназываетсябесконечно малой более высокого порядка, чем и пишут,.
Если , тоиназываютсяб.м. одного порядка малости. Если , тоиназываютсяэквивалентными и это обозначается при. Если существует числоk, такое что , тоназывается б.м. порядкаk относительно .называется бесконечно большой (б.б.) при, если.
Теорема. - бесконечно малая при- бесконечно большая при.
Первый замечательный предел – это равенство или иначеsin x ~ x при .
Следующие б.м. величины при - эквивалентны:
x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~arctg x ~ ()~ln(1 + x); 1 – cos x ~ ,~x ln a.
Если ,б.м. прии,, тои.
Разность б.м. величин можно заменить в пределе на разность величин им эквивалентных, только если эти величины не эквивалентны между собой.
Пример. Вычислить .
tg x ~ sin x при , следовательно нельзя заменитьtg x и sin x на x:
==.
При вычислении пределов с использованием эквивалентных б.м. величин часто применяется метод замены переменной.
Пример. Вычислить .
= замена = = ==.
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы.
21.. 22.. 23.. 24.. 25.. 26.. 27.. 28.. 29.. 30.. 31.. 32.. 33.. 34.. 35.. 36.. 37..
Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при :
38.. 39.. 40.. 41.. 42..
Дана функция. Найти ей эквивалентную вида а) при; б) при.
43.. 44.. 45.. 46.. 47.. 48.. 49..