Занятие № 10. Тема: Нули и полюса.

1. Найти нули функции и их порядок.

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

II. Найти особые точки и их характер. Найти вычеты.

1) ; 2);

3) ; 4);

5) , указание: разложить в ряд в окрестности;

6) , указание: разложить в ряд в окрестности;

7) ; 8);

9) , использовать разложение в ряд;

10) ;

11) , использовать разложение в ряд.

Пример.Найти особые точки и их характер для функции

.

Решение.

Определим нули знаменателя

;;

;.

Вычисляем производные от знаменателя

при.

Таким образом, имеем в точках ,полюса первого порядка.

Занятие № 11 Тема: Вычисление контурных интегралов с использованием теоремы Коши о вычетах

Пример.Вычислить интеграл- окружность.

Решение.

Подынтегральная функция может быть представлена в виде

,

откуда видно, что она имеет полюс в точке третьего порядка и полюса в точкахпервого порядка.

Все полюсы лежат внутри контура интегрирования, поэтому, используя теорему Коши о вычетах, имеем

Вычислим вычеты:

.

.

Наконец имеем:

.

Вычислить интегралы.

1) - окружность;

2) - окружность;

3) - окружность;

4) - ромб с вершинами в точках

;

5) - линия;

6) - линия;

7) - линия;

8)- окружность;

9)- прямоугольник с вершинами в точках:

.

Указание: в последних двух примерах для вычисления вычетов использовать разложение подынтегральной функции в ряд Лорана.

Вычисление интегралов вида

.

Применить замену .

1) (ответ);

2) ;

3) ,- вещественные;

4) - комплексное число;

ответ:

Занятие № 12.

Тема: Вычисление интегралов вида.

Несобственные интегралы, указанные в заглавии, могут быть вычислены на основе следующей леммы Жордана:

Пусть функция является аналитичной в верхней полуплоскостивсюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и существуют такие положительные числа, что для всех точек верхней полуплоскости, удовлетворяющих условию, имеет место оценка

,

тогда

,

где контур интегрирования представляет собой полуокружностьв верхней полуплоскости.

Если функция может быть продолжена в верхнюю полуплоскость и ее аналитическое продолжение удовлетворяет условиям леммы и не имеет особых точек на действительной оси, тогда

где - особые точки функциив верхней полуплоскости.

Используя рассмотренные утверждения, вычислить следующие несобственные интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) указание: воспользоваться заменой

.

Используя лемму Жордана, вычислить следующие несобственные

интегралы:

1)

2) . Рассмотреть случаи, когда;

(ответы: );

3) (ответ:);

4)

использовать вспомогательную функцию (ответ:);

5) ; (ответ:);

6) ; указание: в интеграле выполнить замену.

Пример.Вычислить несобственный интеграл..

Решение.

Замечаем, что

Осуществим аналитическое продолжение подынтегральной функции, после чего получаем . Эта функция имеет в верхней полуплоскости одну особую точку. Кроме того, функцияудовлетворяет условиям леммы Жордана, т.к.

Поэтому

.

Примечание: если задан , то используя четность подынтегральной функции, получаем ответ:.

Литература:

1. Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного, - Наука: М. 1990г.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.: - М.: Наука. 1973г.

3. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной, - Наука: М. 1970

24