МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського

Фізичний факультет

Кафедра комп’ютерної інженерії і моделювання

Методи математичної фізики

методичний посібник

по дисципліні «Теорія функції комплексної змінної»

для студентів денної форми навчання

напряму підготовки 6.040203 «Фізика»

освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр»

Укладач:

старший викладач Козік Г.П.

Розглянуто і рекомендовані на засіданні кафедри комп’ютерної інженерії і моделювання

протокол № 9 від 19.05.2011 р.

Сімферополь, 2011

Занятие № 1

Тема: Комплексные числа; их представление.

1. Выполнить действия:

1) , 3),

2) , 4).

Пример. Выполнить действия: .

Решение.

.

2. Найти модули и аргументы чисел (и- действительные числа):

1) , 4), 7),

2) , 5), 8),

3) , 6), 9).

Пример.Найти модуль и аргумент числа.

Решение.

3. Представить в показательной форме комплексные числа:

1) , 4), 6),

2) , 5), 7).

3)

Пример.Представить в показательной форме комплексное число.

Решение.

.

4. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости:

1) , 5), 8),

2) , 6), 9),

3) , 7), 10).

4) ,

Пример.Найти все значения корнейи построить их на

комплексной плоскости.

Решение.

Занятие № 2

Тема: Комплексные числа, тригонометрическая форма записи. Комплексная переменная.

5. Найти все значения.

1) 3)

2) 4)

Пример. Найти все значения .

Решение.

VI. Найти корни уравнения и построить их на комплексной плоскости.

.

VII. Выразить:

1. через ,

2. через ,

3. через ,

4. через .

Указание: использовать формулу Муавра.

VIII. Начертить в комплексной плоскости линии заданные уравнениями:

1) , 2), 3), 4), 5), 6), 7).

Пример.Начертить в комплексной плоскости линию заданную

уравнением: .

Решение.

равносторонняя гипербола

IX. Найти геометрические образы:

1) , 5), 9),

2) , 6), 10),

3) , 7), 11).

4) , 8) ,

Пример. Найти геометрический образ.

Решение.

Занятие № 3

Тема: Элементарные функции комплексного переменного.

1. Определить вещественную и мнимую части функции:

1) , 2).

2. Проанализировать:

1. В какую линию плоскости преобразуется окружность

функцией ?

2. В какую линию плоскости преобразуется прямая

с помощью функции ?

3. Найти область, в которую функция преобразует полосу

между прямой и.

4. Определить, в какую область функция отобразит угол

5. Найти площадь области, на которую с помощью функции

отобразится прямоугольник:

а)

б)

1. Тригонометрические функции.

1) Определить вещественную и мнимую части функции ,

чисел:

а) , б), в).

2) Вычислить:

а) , в),

б) , г).

Пример. Вычислить .

Решение.

.

3) Найти вещественную и мнимую часть:

а) , б).

Пример. Найти вещественную и мнимую часть .

Решение.

.

Занятие № 4

Тема: Элементарные функции комплексной переменной.

2. Доказать:

1) , 3),

2) , 4).

Использовать выражения:

, .

3. Доказать:

1) , 4),

2) , 5).

3) ,

Указание: использовать выражения

, .

Занятие № 5

Тема: Простейшие отображения.

1. Найти неподвижную точку линейного отображения для случаев:

1) , 2), 3).

2. Найти линейное отображение с неподвижной точкой

переводящее точку , в точку.

3. Найти дробно - линейную функцию, отображающую полуплоскость

в круг так, чтобы точки границы, 0,перешли в точки окружности –1,, 1.

Примечание: использовать дробно - линейную функцию в виде

.

4. Проанализировать отображение, осуществляемое функцией ,

где ;- комплексные числа.

5. Построить функцию, отображающую на верхнюю полуплоскость угол

с вершиной в точке, одна из сторон которого составляет с действительной осью угол.

Занятие № 6

Тема: Аналитичность функций.

1. Проверить на аналитичность следующие функции:

1) , 2).

II. Построить аналитическую функцию , если

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7)

8) Определить при которых-

аналитична.

Пример. Построить аналитическую функцию , если

Решение.

Условие Коши – Римана:

Находим:

; .

С одной стороны:

,

но с другой стороны , таким образоми

Итак, имеем:

Наконец, построим функцию :

, т.к. , то. Окончательно для:

.