Вопросы к экзаменам / Opornye_konspekty_lektsij_MMTF

1.

Задачи для повторения и углубления знаний по математическому анализу.

Лекция 1. Интеграл Пуассона, Методы интегрирования функций: дифференцирование по параметру и сведение интеграла к дифференциальному уравнению.

Лекция 2. Интеграл Эйлера и интегралы Фрулани.

Лекция 3. Разложение функций в ряд Фурье и применение полученных разложений для вычисления некоторых сумм.

Лекция 4. Применение разложений в ряд Фурье для вычисления интегралов.

Лекция 5. Преобразование Фурье и его свойства.

Лекция 6. Теорема о свёртке.

Лекция 7. Применение преобразования Фурье к решению интегральных уравнений и вычислению интегралов.

2.

Элементы теории обобщенных функций.

Лекция 8. Понятие обобщенной функции. – функционные последовательности. Функциональное представление обобщенных функций.

Лекция 9. Носитель обобщенной функции. Действия над обобщенными функциями.

Лекция 10. Дифференцирование обобщенных функций, умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию.

Лекция 11. Понятие многомерной обобщенной функции. Свертка обобщенных функций.

Лекция 12. Преобразование Фурье обобщенных функций.

3.

Операторные методы в классических задачах математической физики

Лекция 13. Оператор эволюции. Решение задачи Коши для уравнения первого порядка и уравнения теплопроводности.

Лекция 14. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения.

Лекция 15. Решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве.

Лекция 16. Функция Грина уравнения Пуассона.

4.

Геометрия гильбертова пространства. Линейные операторы в гильбертовом пространстве.

Лекция 17. Аксиоматика линейного (векторного) пространства, Метризованное линейное пространство, нормированное линейное пространство. Гильбертово пространство.

Лекция 18. Неравенство Шварца, теорема о проекции.

Лекция 19. Пространство линейных непрерывных функционалов. Теорема Рисса.

Лекция 20. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Собственные векторы и собственные значения оператора.

Лекция 21. Норма оператора. Понятие проекционного оператора.

Лекция 22. Унитарные операторы. След оператора.

5.

Вариационные методы

Лекция 23. Экстремум функционала (метод Эйлера), задача о брахистохроне.

Лекция 24. Вариация функционала, вариационная производная (метод Вито Вольтерра).

Лекция 25. Уравнения движения пробной точечной частицы в римановых пространствах.

Лекция 26. Уравнения движения струны в римановых пространствах.