МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Арифов Л.Я., Гопман А.Б.

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Методическое пособие по изучению учебной дисциплины ”Теоретическая механика” для студентов 2 курса дневной формы обучения 6.070100 ”Физика” образовательно – квалификационного уровня ”бакалавр” профессионального направления подготовки 0701 ”Физика”.

Симферополь 2004

Печатается по решению научно – методического совета ТНУ им. В.И.Вернадского

С первой половины 17-го века, когда Рене Декарт впервые ввел координаты (получившие название декартовых) для определения точек пространства, системы координат получили широкое применение в физике и математике. Они позволили использовать мощные аналитические методы для выражения законов физических явлений и их исследования. Более того, оказалось, что координатные методы несут в себе огромный эвристический заряд. Трудно представить себе без координатных методов появление таких разделов науки, как аналитическая геометрия, риманова геометрия и многих других в математике, или лагранжева механика, электродинамика и других физических теорий. Координатные методы являются основным инструментом и в теоретической механике. Приведем для примера, помимо декартовых координат, координаты сферические, цилиндрические, эллиптические для реального 3-х мерного пространства, или обобщенные координаты в конфигурационном и фазовом пространствах механической системы.

1. – Мерное векторное пространство.

Определение 1. Пусть векторы принадлежат множеству. Множествоназывается векторным пространством, если на нем определены бинарная операция, обозначаемая знаком “ + “, и операция умножения элементов множества на действительные числаобозначаемая символом ““, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Имеется нуль-вектор

такой, что

,

;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. , .

Аксиома 1 является определением суммы двух векторов, обладающей свойством ассоциативности (аксиома 2) и симметрии относительно перестановки слагаемых векторов (аксиома 3). Аксиома 5 определяет умножение векторов на действительные числа, обладающее свойством ассоциативности (аксиомы 68).

Определение 2. Векторы называются линейнонезависимыми, если равенство

(1.1)

выполняется тогда и только тогда, когда

.

Определение 3. Максимальное число линейнонезависимых векторов называется размерностью векторного пространства.

Следствие 1. Если – размерность векторного пространства, то для любыхвекторовсуществуют не равные нулю числатакие, что

. (1.2)

Следствие 2. Если векторовявляются линейнонезависимыми, то любой векторможет быть представлен в виде

, (1.3)

где хотя бы одно из чисел не равно нулю. В этом случае говорят, что равенство (1.3)

представляет собой “разложение” вектора полинейнонезависим векторам.

Следствие 3. Если существует один набор линейнонезависимых векторов, то существует неограниченное множество наборов излинейнонезависимых векторов.

Примеры векторных пространств

1. Множество всех “обычных” векторов, определяемых в трехмерном евклидовом пространстве посредством длины вектора и его направления.

2. Множество всех вещественных матриц типа . Размерность такого пространства равна.

3. Множество всех вещественных непрерывных функций , определенных на интервале,бесконечномерное пространство.

равный Когда, модуль вектораравен

Упражнение.

Показать, что множества, указанные в примерах 2 и 3 , удовлетворяют всем аксиомам векторного пространства.

2. Мерное метрическое пространство

Если в мерном векторном пространстве определить дополнительную операцию, называемую скалярным произведением векторов, то векторное пространство превращается в- мерное метрическое пространство. В этом случае говорят, что векторное пространство снабжено метрикой.

Определение 1. Любым двум векторам поставим в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением векторови, обозначаемое, каки удовлетворяющее следующим аксиомам:

1.

2.

3.

Скалярное произведение в общем случае не обязано быть положительным числом. Если, то говорят, что вектор имеет “норму” или “модуль”В случае, когда, ноне является нуль-вектором, говорят, что- изотропный вектор.

Определение 2. Метрика пространства называется положительно определенной, если для любого , не являющегося нуль-вектором,итолько для нуль-вектора. В противном случае, метрика пространства называется индефинитной.

Определение 3. Векторы иназываются ортогональными, если

Следствие. Всякий изотропный вектор ортогонален себе.

Определение 4. Мерой угла между направлениями любых двух неизотропных векторов и является величина

(2.1)

Заметим, что в пространстве с индефинитной метрикой правая часть равенства (2.1) по модулю может превышать единицу. Поэтому это равество следует понимать как формальное определение функции . В пространстве с положительно определенной метрикой правая часть (2.1) совпадает с традиционным определением тригонометрической функции.

Примеры метрических пространств, используемых в физике.

1.Трехмерное евклидово пространство с положительно

определенной метрикой. Классическая физика.

2. Четырехмерное пространство-время Минковского с

индефинитной метрикой. Специальная теория

относительности.

3. Четырехмерное риманово пространство-время с

индефинитной метрикой. Общая теория

относительности.

4. Пространство скоростей в специальной теории

относительности совпадает с трехмерным пространством

Лобачевского - Боияи с положительно определенной

метрикой.

Упражнение.

Показать, что в пространстве с положительно

определенной метрикой область изменения правой части выражения (2.1) совпадает с интервалом .