§ 25. Обобщение понятия степени. Степенная функция, ее свойства и график
|
|
|
|
|
|
|
П р о д о л ж. т а б л. 46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции у = хα (при α ≠ 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (y) |
|
E (y) |
четность |
|
возрастание и убывание |
|
|
и нечетность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y = x−2n = |
1 |
, |
n N) |
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х ≠ 0 |
(0; +×) |
четная |
возрастает на промежутке |
|
(–×; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
убывает на промежутке |
|
|
|
|
(0; +×) |
|
|
|
|
|
α — нецелое положительное число
|
[0; +×) |
[0; +×) |
ни четная, |
возрастает |
|
ни нечетная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α — нецелое отрицательное число
|
(0; +×) |
(0; +×) |
ни четная, |
убывает |
|
ни нечетная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАЗДЕЛ 3. Степенная функция
Объяснение и обоснование
Степенными функциями называют функции вида у = хα, где α — любое действительное число.
С некоторыми из таких функций вы уже ознакомились в курсе алгебры 7–9 классов. Это, например, функции у = х1 = х, у = х2, у = х3. При произволь ном натуральном α графики и свойства функции у = хα аналогичны извест ным вам графикам и свойствам указанных функций.
Описывая свойства степенных функций, выделим те характеристики функ ций, которые мы использовали в разделе 1: 1) область определения; 2) об ласть значений; 3) четность или нечетность; 4) точки пересечения с осями координат; 5) промежутки знакопостоянства; 6) промежутки возрастания и убывания; 7) наибольшее и наименьшее значения функции.
1. Функция вида y = xα (α — четное натуральное число). Если α — четное натуральное число, то функция у = х2п , п N, имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции у = х2.
Действительно, область определения функции у = х2п : D (y) = R, посколь ку значение этой функции можно вычислить при любых значениях х.
Функция четная: если f (х) = х2п, то f (–х) = (–х)2п = х2п = f (х). Таким образом, график функции у = х2п симметричен относительно оси Оу.
Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график функции y = x2n всегда проходит через начало координат.
На промежутке [0; +×) функция возрастает.
(Действительно, для неотрицательных значений x1 и x2 (x1 l 0, x2 l 0) при x2 > x1 получаем x22n > x12n, поскольку, как известно из курса алгебры 9 клас
са, при возведении обеих частей верного неравенства с неотрицательными членами в четную степень (с сохранением знака неравенства) получаем вер ное неравенство. )
На промежутке (–×; 0] функция убывает.
(Действительно, для неположительных значений x1 и x2 (x1 m 0, x2 m 0), если x2 > x1, то –x2 < –x1 (и теперь –x1 l 0, –x2 l 0). Тогда (–x2)2n < (–x1)2n,
таким образом, x22n < x12n, то есть f (x2) < f (x1). )
Для нахождения области значений функции у = х2п, п N, составим уравне
ние x2n = a. Оно имеет решения для всех а l 0 (тогда x = ± 2n a ) и только при
таких значениях а. Все эти числа и составят область значений функции. Сле довательно, область значений данной функции: у l 0, то есть Е (у) = [0; +×).
Таким образом, для всех действительных значений x значение у l 0. Наи меньшее значение функции равно нулю (y = 0 при x = 0). Наибольшего значе ния функция не имеет.
Отметим также, что при x = 1 значение y = 12n = 1.
§ 25. Обобщение понятия степени. Степенная функция, ее свойства и график
Учитывая свойства функции у = х2п, п N, получаем ее график (рис. 109).
2. Функция y = xα (α — нечетное натуральное число). Если α — нечетное натуральное число (α = 2n – 1, n N), то свойства функции y = х2n – 1, п N, аналогичны свойствам функции y = x3.
Действительно, область определения функции y = х2n – 1, п N: D (y) = R , поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях х.
Функция нечетная: если f (х) = х2п–1, то f (–х) = (–х)2п–1 = –х2п–1 = –f (х). Таким образом, график функции симметричен относительно начала коор динат.
Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график функции у = х2п – 1 всегда проходит через начало координат.
На всей области определения функция возрастает.
(Действительно, при x2 > x1 получаем x22n−1 > x12n−1, поскольку при возведе нии обеих частей верного неравенства в нечетную степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство. )
Для нахождения области значений функции у = х2п–1, п N, составим уравнение х2п–1 = a. Оно имеет решения для всех a R (при n = 1 получаем
x= a, а при n ≠ 1, п N, получаем x = 2n−1 a ). Таким образом, область значе ний данной функции: y R, то есть Е (у) = R = (–×; +×).
Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Промежутки знакопостоянства: при x > 0 значение y = x2n – 1 > 0, а при
x< 0 значение y = x2n – 1 < 0.
Отметим также, что при x = 1 значение y = 12n – 1 = 1.
Как известно из курса алгебры и геометрии, графиком функции y = x1 = x является прямая, проходящая через начало координат (рис. 110), а при дру гих нечетных натуральных α функция y = x2n + 1, п N, имеет график, анало гичный графику функции у = х3 (рис. 111).
3. Функция y = xα (α — нечетное отрицательное число). Если α — нечетное отрицательное число, то функция y = x–(2n – 1), п N, имеет свойства и график,
полностью аналогичные свойствам и графику функции y = 1 .
|
|
|
x |
y = x2n, |
y = x1 |
|
y = x2n+1, |
y = x |
3 |
n N |
|
n N |
|
|
|
а |
|
б |
Рис. 109 |
Рис. 110 |
|
Рис. 111 |
|
295 |
|
|
РАЗДЕЛ 3. Степенная функция
Действительно, область определения функции y = x−(2n−1) = 1 : х ≠ 0, то
x2n−1
есть D (y) = (–×; 0) (0; +×), поскольку значение этой функции можно вы числить при любых значениях х, кроме x = 0.
Функция нечетная: при х ≠ 0, если f (x) = x–(2n – 1), то
f (–х) = (–х)–(2п – 1) = –х–(2п – 1) = –f (х).
Таким образом, график функции симметричен относительно начала коор
|
динат. |
(y = x−(2n−1) = |
1 |
≠ 0), получаем, что |
|
Учитывая, что х ≠ 0 и y ≠ 0 |
|
x2n−1 |
|
|
|
|
график функции y = x–(2n – 1) не пересекает оси координат. На промежутке (0; +×) функция убывает.
( Действительно, для положительных значений x1 и x2 (x1 > 0, x2 > 0) при x2 > x1
получаем x2n−1 |
> x2n−1, тогда |
1 |
< |
1 |
, следовательно, x−(2n−1) < x−(2n−1). ) |
2 |
1 |
x2n−1 |
|
x2n−1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
На промежутке (–×; 0) функция также убывает. Это следует из того, что ее график симметричен относительно начала координат.
( Приведем еще и аналитическое обоснование: если x1 < 0, x2 < 0 и x2 > x1,
то –x2 < –x1 (и теперь –x1 > 0, –x2 > 0). Тогда по обоснованному выше |
(–x |
2 |
)–2(n – 1) > (–x |
)–2(n – 1), таким образом, |
−x−(2n−1) > −x−(2n−1). Отсюда |
|
1 |
|
2 |
1 |
x−(2n |
−1) < x−(2n−1). ) |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
Для нахождения области значений функции y = x–(2n – 1), п N, составим
–(2n – 1) |
|
1 |
= a. |
Оно имеет решения для всех а ≠ 0 |
уравнение x |
= a, то есть |
|
x2n−1 |
(тогда x = 2n−1 1a при n ≠ 1 и x = 1a при n = 1) и только при таких значениях а.
Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции: у ≠ 0, то есть Е (у) =(–×; 0) (0; +×).
Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Промежутки знакопостоянства: при x > 0 значения y = x–(2n – 1) > 0, а при
x < 0 значения y = x–(2n – 1) < 0.
|
y = x−(2n−1) = |
1 |
, |
|
|
x2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
n N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 112
Отметим также, что при x = 1 значе ние y = 1–(2n – 1) = 1.
Учитывая свойства функции
y= x–(2n – 1), п N, получаем ее график (рис. 112).
4.Функция y = xα (α — четное от рицательное число). Если α — четное отрицательное число, то функция
y= x–2n, п N, имеет свойства и гра
фик, полностью аналогичные свой
ствам и графику функции y = 1 .
x2
§ 25. Обобщение понятия степени. Степенная функция, ее свойства и график
Действительно, область определения функции y = x−2n = |
1 |
: х ≠ 0, то |
x2n |
есть D (y) = (–×; 0) (0; +×), поскольку значение этой функции можно вы числить при любых значениях х, кроме x = 0.
Функция четная: при х ≠ 0, если f (x) = x–2n, то f (–х) = (–х)–2п = х– 2п = f (х). Таким образом, график функции симметричен относительно оси Oy.
Учитывая, что при х ≠ 0 значение y = x−2n = |
1 |
x2n |
график функции у = х2п не пересекает оси координат. На промежутке (0; +×) функция убывает.
( Действительно, для положительных значений x1 иx2 (x1 > 0, x2 > 0) при x2 > x1
|
получаем x2n > x2n, тогда |
1 |
< |
1 |
, следовательно, x−2n < x−2n. ) |
|
x2n |
x2n |
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
На промежутке (–×; 0) функция возрастает. |
|
(Это следует из того, что ее график симметричен относительно оси Oy. При
ведем также и аналитическое обоснование: если x1 < 0, x2 < 0 и x2 > x1, то
–x2 < –x1 (и теперь –x1 > 0, –x2 > 0). Тогда по обоснованному выше (–x2)–2n > (–x1)–2n, следовательно, x2−2n > x1−2n. )
Для нахождения области значений функции y = х– 2п, п N, составим урав
|
|
1 |
= a. Оно имеет решения для всех a > 0 (тогда x = ± 2n |
1 |
|
|
нение х–2п = a, то есть |
|
|
x2n |
|
|
|
a |
|
и только при таких значениях а. Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции: y > 0, то есть Е (у) = (0; +×).
Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Отметим также, что при x = 1 значение y = 1–2n = 1.
Учитывая свойства функции y = x–2n, п N, получаем ее график (рис. 113).
5. Функция y = xα (α — нецелое положительное число). Если α — нецелое положительное число, то функция y = xα (α > 0, α — нецелое) имеет область определения: х l 0, то есть D (y) = [0; +×), поскольку значение степени с положительным нецелым показателем определено только для неотрицатель ных значений х.
|
Тогда область определения не |
|
|
|
|
|
симметрична относительно точки 0, и |
y = x−2n = |
1 |
, n N |
|
x2n |
|
функция не может быть ни четной, ни |
|
|
|
|
нечетной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку при х = 0 значение у = 0, |
|
|
|
|
|
то график функции у = xα (α > 0) всегда |
|
|
|
|
|
проходит через начало координат. |
|
|
|
|
|
При x > 0 значение y = xα > 0. |
|
|
|
|
|
Можно обосновать, что на всей об |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ласти определения функция y = xα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(α > 0) является возрастающей. |
Рис. 113 |
< x1−m.
Рис. 115
у = хα (α > 1, α — нецелое)
Рис. 114
у = хα
(0< α < 1)
РАЗДЕЛ 3. Степенная функция
Для нахождения области значений функции y = xα составим уравнение xα = a. Оно имеет решения для всех
= 1 )
а l 0 (тогда x aα и только при та
ких значениях а. Все эти числа и со ставят область значений функции. Та ким образом, область значений данной
функции: у l0, то есть Е (у) = [0; +×). Отметим также, что при x = 1 зна
чение y = 1α =1.
При изображении графика функции y = xα (α > 0, α — нецелое) следует учитывать, что при 0 < α < 1 график имеет вид, аналогичный графику y = x (рис. 114)*, а при α > 1 — аналогичный правой ветви графика y = x2 (рис. 115).
6. Функция y = xα (α — нецелое отрицательное число). Если α — нецелое отрицательное число, то функция y = xα (α < 0, α — нецелое) имеет область определения: x > 0 (D (y) = (0; +×)), поскольку значение степени с отрицатель ным нецелым показателем определено только для положительных значений х.
Тогда область определения несимметрична относительно точки 0, и функ ция не может быть ни четной, ни нечетной.
Учитывая, что при x > 0 значения y = xα > 0 (то есть х ≠ 0 и у ≠ 0), получаем, что график функции y = xα (α < 0) не пересекает оси координат.
На промежутке (0; +×) функция убывает, то есть для положительных
значений x1 и x2 (x1 > 0, x2 > 0) при x2 > x1получаем x2α < x1α.
( Докажем это, например, для случая, когда α — отрицательное рациональ
ное нецелое число (α = − m — нецелое, m N, п N). При положительных
n
значениях x1 и x2 (x1 > 0, x2 > 0) при x2 > x1 , учитывая результаты иссле дования функции y = xα при целом отрицательном α, получаем x2−m
Далее, учитывая то, что функция y = n t при положительных значениях t
|
|
m |
m |
|
является возрастающей, имеем n x−m < n x−m , тогда x− n |
< x− n |
. ) |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
Можно обосновать, что и в том случае, когда α — отрицательное ирра циональное число, функция y = xα также убывает на всей области определе ния (то есть при x > 0).
Для нахождения области значений функции y = xα составим уравнение
= 1 )
xα = a. Оно имеет решения для всех а > 0 (тогда x aα и только при таких значениях а. Все эти числа и составят область значений функции.
* Это более детально обосновано в учебнике для 11 класса.
§ 25. Обобщение понятия степени. Степенная функция, ее свойства и график
Таким образом, область значений заданной функции: у > 0, то есть
Е (у) = (0; +×). Отметим также, что при x = 1 зна
чение y = 1α = 1.
Учитывая свойства функции y = xα (α < 0), получаем ее график (рис. 116).
Особый случай. Если α = 0, то функция y = xα = x0 = 1 при х ≠ 0 (на помним, что 00 — не определено) и ее график — прямая y = 1 без точки (0; 1) (рис. 117).
y= хα (α < 0,
α— нецелое)
Примеры решения задач
Задача 1 Найдите область определения функции:
1 |
2) y = (x + 1)− |
1 |
1) y = (x − 3)3 ; |
2 . |
Р е ш е н и е |
К о м м е н т а р и й |
1
1) х – 3 l 0, то есть х l 3, значит, Учтем, что выражение a3 опреде
×
−1
2)x + 1 > 0, то есть x > –1, следова лено при a l 0, а выражение a 2 —D (y) = [3; + ).
|
тельно, |
|
D (y) = (–1; +×). |
|
только при a > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2 |
|
Постройте график функции: |
|
|
|
|
1) у = х5 + 1; |
|
1 |
|
|
|
|
2) y = (x + 2)3 . |
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
К о м м е н т а р и й |
|
|
|
|
1) Строим график функции у = х5, |
Графики данных функций можно |
|
а затем параллельно переносим его |
получить из графиков функций: |
|
вдоль оси Оy на +1. |
|
1) у = х5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
с помощью параллельного пере |
|
|
|
|
|
|
|
|
носа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) на +1 вдоль оси Оy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) на (–2) вдоль оси Оx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАЗДЕЛ 3. Степенная функция
2) Строим график функции
1
y = x3, а затем параллельно пере носим его вдоль оси Оx на (–2).
Вопросы для контроля
1.Пользуясь графиком соответствующей функции, охарактеризуйте свой ства функции вида у = xα , если: 1) α — четное натуральное число,
2)α — нечетное натуральное число, 3) α — нечетное отрицательное число,
4)α — четное отрицательное число, 5) α — нецелое отрицательное число,
6)α — нецелое положительное число.
2*. Обоснуйте свойства степенной функции в каждом из случаев, указанных в задании 1.
Упражнения
1. Найдите область определения функции:
1°) у = х7; |
|
2°) у = х–3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3°) |
y = (x − 1)2 ; |
|
|
|
|
− |
2 |
|
( |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
( |
|
|
)− |
9 |
|
|
|
7 |
; |
5) y = |
x |
2 |
− x |
)3 |
; |
6) |
y = |
x |
2 |
2 |
. |
4°) y = x |
|
|
|
|
|
|
|
− x + 1 |
|
2. Постройте график функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1°) y = x4; |
|
2°) у = х7; |
|
|
|
|
3) у = х–3; |
|
4) у = х–4; |
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5) y = x4 ; |
|
6) y = x4 ; |
|
|
|
|
7) y = (x + 1)4; |
8*) y = x5 − 3; |
9*) y = |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ; |
10*) y = | x5 – 1 |. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Постройте и сравните графики функций:
1)y = 3 x и y = x3; 2) y = 4 x и y = x4.
4.Решите графически уравнение:
1 |
1 |
5 |
1) x2 = 6 − x; 2) x− |
3 = x2; 3) x2 = 2 − x; |
Проверьте подстановкой, что значение x действительно является корнем уравнения.
5*. Докажите, что уравнения, приведенные в задании 4, не имеют других кор ней, кроме найденных графически.
§26 |
ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ |
К РЕШЕНИЮ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
26.1. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Напомним основные идеи, которые используются при решении уравнений с помощью свойств функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Конечная ОДЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ориентир |
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 3 + 2x2 = 4 6 − 2x +18. |
|
Если область допустимых значений |
|
x − 3l 0, |
|
|
Тогда x l3, |
|
ОДЗ: |
|
|
|
|
|
|
|
(ОДЗ) уравнения (неравенства или |
|
6 − 2x l0. |
|
|
|
x m3. |
|
системы) состоит из конечного чис |
Следовательно, ОДЗ: х = 3. |
|
ла значений, то для решения дос |
П р о в е р к а. х = 3 — корень |
|
таточно проверить все эти значе |
( |
0 + 18 = |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
ния. |
|
|
+ 18; 18 = 18 . |
|
Других корней нет, так как ОДЗ |
|
|
|
|
принадлежит только одно число. |
|
|
|
|
Ответ: 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Оценка значений левой и правой частей уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ориентир |
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = a, |
|
x2 − 5x + 6 = 4x − x2 − 4. |
|
|
|
Запишем заданное уравнение так: |
|
|
f (x) = g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) = a |
|
x2 − 5x + 6 = −(x2 − 4x + 4), |
|
|
f (x) l a |
|
|
|
|
|
x2 − 5x + 6 = − (x − 2)2 , |
|
|
g (x) m a |
|
|
|
|
|
f (x) = x2 − 5x + 6 l 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если требуется решить уравне |
|
|
|
g (x) = –(х – 2)2 m 0. |
|
|
Итак, заданное уравнение равно |
|
ние вида f (x) = g (x) и выяснилось, |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 5x + 6 = 0, |
|
что f (x) l a, g (x) m a, то равенство |
|
|
|
|
|
|
|
между левой и правой частями |
сильно системе |
|
( |
|
|
− 2 |
)2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
уравнения возможно лишь в слу |
|
|
|
− |
|
|
|
Из второго уравнения получаем |
|
чае, если f (x) и g (x) одновременно |
|
х = 2, что удовлетворяет и первому |
|
равны а. |
|
уравнению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
