Lektsii_Rubleva_1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-05 Формула Тейлора
.doc
Глава 5
Функції векторного аргументу
5. Формула Тейлора
Теорема 1. |
(Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа) |
|
|
Нехай функція - раз диференційована в деякому околі точки . Тоді справджується формула: |
|
|
, |
(1) |
|
Яка називається формулою Тейлора, а вираз |
|
|
(2) |
|
|
Називається залишковим членом у формі Лагранжа. |
Доведення. Нехай і при фіксованому розглянемо функцію , . Тоді . За умовами теореми має похідну при можемо записати формулу Тейлора для функції однієї змінної :
, (3)
Де .
Внаслідок лінійної залежності аргументу від компонент , то та . Якщо тепер ці рівності підставити в (3) ми одержимо потрібну формулу (1).
Теорема доведена.
Теорема 2. |
(Локальна формула Тейлора) |
|
|
Нехай функція - раз диференційована в точці . Тоді при , де справджується формула: |
|
|
, |
(4) |
|
Яка називається формулою Тейлора із залишковим членом у формі Пеано. |
Доведення проведемо за індукцією.
При маємо: .
припустимо, що (4) справджується , тобто маємо рівність:
. (5).
Розглянемо функцію:
, (6)
де .
Розглянемо похідні: , . Враховуючи, що - це -лінійна симетрична форма від змінних , одержимо:
, (7)
де , .
Для кращого розуміння наведеного вище розглянемо простий приклад для функції трьох змінних:
.
, де .
Продовжимо далі наше доведення. З формули (7) остаточно ми маємо:
. (8)
За припущенням , , а тому за формулою скінчених приростів Лагранжа , :
. (9)
З того, що :
Теорема доведена.