Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пар 5-01 Метричн_ та нормован_ простори

.doc

Скачиваний:

199

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

670.72 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава 5

Функції векторного аргументу

1. Метричні та нормовані простори, границя та неперервність відображень

Нехай поле (або ). Векторним (лінійним) простором над полем називається впорядкована трійка (), яка складається з множини , елементи якої називаються векторами, операції додавання та операції множення на числа (скаляри) поля . Операції „+” та „” мають властивості, які називаються аксіомами векторного простору: ():

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)	.

Звідси як наслідки можна довести такі властивості:

Властивості.	(Векторного простору)
1)	;
2)	;
3)	.

Приклад 1.	(Приклади лінійних просторів)
1)	- простір усіх - вимірних векторів;
2)	- простір усіх послідовностей;
3)	- простір усіх збіжних послідовностей;
4)	- простір усіх збіжних до нуля послідовностей;
5)	- простір усіх послідовностей, у яких ;
6)	- простір усіх обмежених послідовностей;
7)	- простір усіх неперервних на функцій;
8)	- простір усіх разів неперервно диференційованих функцій на ;
9)	- простір усіх обмежених на функції.

Нехай векторний простір. Тоді відображення називається нормою в цьому просторі, якщо , виконуються аксіоми:

1)	;
2)	;
3)	(нерівність трикутника).

При цьому набір називається лінійним нормованим простором (ЛНП).

Приклад 2.	(Приклади ЛНП)
1)	, - простір . Чи можна використати ?
2)	- простори ;
3)	- простір ;
4)	- простір , ;
5)	а)	- простір ;
	б)	- простір , ;
6)	- простір ;
7)	- простір .

Вектор називається границею послідовності елементів ЛНП , якщо при , і позначається .

Теорема1.	(Неперервність норми)
	Якщо , то .

Доведення. З простої властивості норм маємо: .

Теорему доведено.

Нехай векторний простір, і в двома способами впроваджено норми: , . Вони називаються еквівалентними, якщо із збіжності в одній нормі слідує збіжність в іншій, та навпаки.

Теорема2.	(Достатня умова еквівалентності норм)
	Якщо у векторному просторі двома способами впроваджено норми: , і виконуються нерівності:
	,	(1)
	то ці норми еквівалентні.

Доведення очевидно з теореми про двох поліцаїв.

Приклад 3.	.
	З цього прикладу слідує, що норми в при - еквівалентні.

Функція , де векторний простір називається скалярним добутком, якщо , виконуються такі аксіоми:

1)	;
2)	;
3)	;
4)	;

Простір , в якому визначено скалярний добуток, називається евклідів.

Приклад 4.	Перевірити скалярні добутки:
1)	;
2)	;
3)	.

Теорема 3.	(Шварца)
	Якщо евклідів простір, то :
	.	(2)

Доведення.

Теорему доведено.

Наслідок.	(Зв’язок евклідових та нормованих просторів)
	В довільному евклідовому просторі можна визначити норму за формулою:
		(3)

Доведення. Аксіоми 1) і 2) очевидні, для 3) маємо:

Теорема доведена.

Приклад 5.

Скалярний добуток в : породжує норму (евклідова норма) . Скалярний добуток в породжує норму (простір ).

Теорема 4.	(Неперервність скалярного добутку)
	Якщо евклідів простір і то при .

Доведення очевидне.

Послідовність з ЛНП називається фундаментальною, якщо .

ЛНП називається повним, якщо кожна фундаментальна послідовність його елементів збігається в . Повний ЛНП називається банаховим простором.

Приклад 6.	Повнота простору .
	ФП числова ФП в нерівності зробимо перехід в він повний простір. Аналогічно доводиться, що також простори , - банахові простори.
Приклад 7.	Неповнота .
ФП, але в кожній точці - не повний простір.

Нехай довільна множина. Відображення називається метрикою, якщо виконуються аксіоми:

1)	;
2)	;
3)	.

Впорядкована пара називається метричним простором.

Теорема 5.	(Зв’язок метричного та нормованих просторів)
	Кожний ЛНП стає метричним, якщо в ньому метрику визначити за формулою:
		(4)

Доведення. Аксіоми 1), 2) - очевидні; перевіримо 3):

Теорему доведено.

Приклад 8.	(Метричних просторів)
1)	(простір );
2)	- дискретний простір.

Аналогічно ЛНП визначається поняття фундаментальної послідовності та повноти МП.

Теорема 6.	(Фундаментальність збіжної послідовності)
	Якщо послідовність точок МП збігається, то вона фундаментальна.