Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-02 Границя _ неперервн_сть в_дображень в просторах

.doc
Скачиваний:
127
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
167.94 Кб
Скачать

2

Глава 5

Функції векторного аргументу

2. Границя і неперервність відображень в

Розглянемо тепер відображення з в ( в ). Такі відображення називаються функції векторного аргументу, або функції багатьох змінних (вектор-функції векторного аргументу). Усі наведені раніше твердження справджуються для подібних відображень. Далі ми будемо досліджувати лише подібні функції та досліджувати властивості, що притаманні лише їм.

Теорема 1.

(Тип збіжності в )

Послідовність векторів збігається до елементу при тоді і тільки тоді, коли при .

Доведення. Нехай в , то

, але тоді .

Теорема доведена.

Теорема 2.

(Больцано-Вейєрштрасса)

З кожної обмеженої послідовності точок метричного простору можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Доведемо спочатку для . Якщо - обмежена, то і обмежені (послідовності координат) існують збіжні підпослідовності: і збіжність в еквівалентна по координатній збіжності збіжна. Аналогічно .

Теорему доведено.

Теорема 3.

(Вейєрштрасса)

Якщо неперервна на компакті , то вона обмежена на ньому і досягає верхньої та нижньої меж.

Доведення. За теоремою 2 попереднього параграфу, компакт все слідує.

Теорему доведено.

Поняття границі для функції в деякій граничній для точці визначається у відповідності до теорії відображень з ЛНП в ЛНП , а тому (за Гейне) ми можемо записати : . При цьому збіжність означає одночасне прямування до нуля різниці по кожній координаті, тобто (як ми раніше доводили збіжність у цьому просторі покоординатна). При цьому незалежно одна від одної. Така границя називається подвійною (або кратною) і позначається як ми звикли , або . Поряд с такими границями природно розглянути й так звані повторні границі, такого типу, як , де . Таким чином існує різних повторних границь.

В загальному випадку нема безпосереднього зв’язку між подвійними та повторними границями (між їх значеннями, скінченими чи нескінченними, існуванням та не існуванням тощо). Достатньо розглянути відповідні приклади, що буде зроблено на відповідних практичних заняттях. Нижче ми наведемо теорему, що відновлює при певних обмеженнях цей зв’язок у випадку функції двох змінних, яка легко узагальнюється на випадок довільного .

Теорема 4.

(Зв’язок подвійних та повторних границь)

Нехай для функції точка є граничною для множини , тоді, якщо виконуються умови: 1) ; 2) : , то .

Крім того, якщо при виконанні умов 1), 2), ще виконується умова:

3) : , то

.

Доведення. Зрозуміло, що достатньо довести лише першу частину теореми. Наведемо лише ідею доведення, більш строго все це проводиться методом від супротивного. Розглянемо довільну послідовність : , і послідовність значень : . Тоді маємо: .

Теорема доведена.