Lektsii_Rubleva_1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-03 Диференц_ювання ФБЗ

6

Глава 5

Функції векторного аргументу

3. Диференціювання функцій векторного аргументу

Далі будемо вести мову лише про функції , і нагадаємо, що всі норми в просторі еквівалентні, а тому, коли ми пишемо знак , це означає, що можна використовувати будь-яку із норм.

Якщо для функції в точці - граничній для існує

, (1)

де - лінійне відображення (лінійна форма), то називається диференційованою в точці .

З формули (1) слідує, що:

. (2)

Якщо функція є диференційованою в точці , то лінійна форма , називається повним диференціалом функції в точці і позначається , таким чином

, . (3)

Нехай стандартний базис простору , тоді лінійній формі відповідає матриця-рядок , а довільний можна подати у вигляді: з лінійності : , так як . А тому повний диференціал набуває вигляду:

, (4)

і приріст функції в околі точки можна подати у вигляді:

, (5)

де перший доданок є значення диференціала при .

Якщо функція диференційована в точці , то матриця-рядок лінійної форми називається повною похідною функції в точці і позначається . Згідно цього визначення:

. (6)

Теорема 1.	(Зв’язок неперервності та диференційованості функції)
	З диференційованості в точці функції слідує її неперервність в цій точці.

Доведення цієї теореми безпосередньо слідує з формули (2).

Функція диференційована в області , якщо вона диференційована в кожній точці .

Частинною похідною функції в точці називається границя , якщо вона існує, інше позначення .

Теорема 2.	(Про зв’язок диференційованості та частинних похідних)
	Якщо диференційована в точці , то вона має в цій точці скінченні частинні похідні по усім змінним і
	,	(7)

Доведення теореми слідує з формули (5).

Таким чином лінійна форма єдина і зв’язок повної похідної та частинних похідних очевидний: , .

Зворотного зв’язку немає, тобто з існування частинних похідних не завжди слідує диференційованість.

Приклад 1.	Дослідити на диференційованість функцію в точці .
	; треба перевірити, що . Але при : не виконується умова (5).

Таким чином для диференційованої функції та її приросту можна записати умову:

(8)

Нехай , точка така, що , де деякий одиничний вектор. Якщо існує скінчена границя , то ми назвемо її похідною функції в точці в напрямі і позначимо .

Градієнтом диференційованої функції в точці називається вектор і позначається .

Теорема 3.	(Зв’язок похідної в напрямі та градієнта)
	Якщо функція диференційована в точці , то вона має похідну в будь-якому напрямі і має місце рівність:
		(9)

Доведення теореми. З диференційованості в точці має місце рівність:

Теорему доведено.

Аналізуючи формулу (9) можна зробити такі висновки:

1) в напрямі вектора функція зростає швидше, ніж в будь-якому іншому напрямі, швидкість зростання дорівнює ;

2) аналогічно, найбільше спадання функції в напрямі (антиградієнт).

Теорема 4.	(Формула скінчених приростів Лагранжа)
	Якщо неперервна в , ; існують в деякому околі , то має місце формула:
	,	(10)
	де , ; ; ; ...; ; .

Доведення теореми. ...

...+.

Теорему доведено

Теорема 5.	(Достатні умови диференційованості)
	Для того, щоб була диференційована в точці , достатньо, щоб частинні похідні , існували в деякому околі , а в точці були неперервними.

Доведення. Із існування: в околі та їх неперервності в точці слідує, що : . Зафіксував і, нехай, . З формули (10) слідує, що . Розглянемо при диференційована в точці .

Теорему доведено.

Приклад 2.	Покажемо, що остання умова не є необхідною:

Теорема 6.	(Диференційованість складної функції)
	Нехай , , причому кожна компонента диференційована в точці , а , така, що , і диференційована в точці . Тоді композиція диференційована в точці , а частинні похідні обчислюються за формулою:
	, .	(11)

Доведення. З диференційованості в точці запишемо приріст таким чином:

. (12)

Аналогічно, з диференційованості в точці , запишемо:

. (13)

Підставимо (12) в (13), одержимо:

. (14)

Зрозуміло, що

враховуючи це в формулі (14), та міняючи місцями порядок додавання, одержимо для приросту формулу:

. (15)

З чого слідує формула (11) і диференційованість функції в точці .

Теорему доведено.

Приклад 3.		;
	;
	;

Дуже цікавий та важливий випадок при умові, що всі залежать від одного параметра (тобто функція однієї змінної), : , . Тоді формула (11) набуває вигляду:

.

(16)

Функція називається однорідною степені на множині , якщо : виконується рівність:

(17)

Теорема 7.	(Ейлера про однорідну функцію)
	Якщо - диференційована в області однорідна функція степені , то
	, .	(18)

Доведення. Якщо записати рівність (17) у вигляді , де - змінна величина, а - фіксована, то

. (19)

Використаємо для формулу (16) та одержимо:

, (20)

де , .

З формул (19), (20) остаточно одержимо, що , покладемо в останній формулі і одержимо (18).

Теорема доведена.

Згадаємо визначення повного диференціалу, як лінійної форми :

, якщо покласти , тоді , , з чого ми маємо:

. (21)

Диференціали , називаються диференціалами незалежних змінних.

Якщо розглянути диференціал на векторі (вектор зсуву), то ми одержимо звичайну формулу для диференціалу.