17.2. Основные понятия о дискретных системах управления

Основной особенностью дискретных систем является дискретизация (квантование) непрерывного сигнала, т.е. замена непрерывной функции x(t) дискретными значениями x₁,x₂,…,x_n. Дискретизация (квантование) непрерывного сигнала может осуществляться по времени, по уровню или по времени и по уровню.

Д

Рис.17.1. Дискретизация сигнала по времени

искретизация сигнала по времени состоит в замене не-прерывного сигнала дискрет-ными значениями, взятыми в определенные, заранее задан-ные моменты времени (рис. 17.1). Обычно эти моменты времени равноудалены друг от друга на величинуТ, которая называется периодом дискретности. В этом случае последовательность определяется формулой

.

Д

Рис.17.2. Дискретизация сигнала по уровню

искретизация по уровню предполагает замену непрерывного сигнала числовой последователь-ностьюx₁,x₂,…,x_n, элементы которой могут принимать лишь заранее определенные, обычно равноотстоящие друг от друга значения. Моменты времени, в которые происходит смена уровней, опре-деляются видом непрерывного сигнала x(t) и заранее не известны, что показано на рис.17.2.

В цифровых системах осуществляется дискретизация по времени и по уровню, т.е. совмещаются изложенные выше два способа задания последовательности . При этом непрерывный сигнал заменяется дискретной последовательностьювзятой в заданные моменты времени, и каждый элемент этой последовательности округляется до ближайшего к нему значения уровня из числа разрешенных (рис.17.3).

Обычно принимают следующую классификацию дискретных систем:

• импульсные системы, в которых осуществляется дискретизация хотя бы одной переменной по времени;

• цифровые системы, в которых осуществляется дискретизация сигналов и по времени и по уровню.

П

Рис.17.3. Цифровое представление сигнала

ри дискретизации по времени непрерывная функция заменяется решетчатой функцией, которая образуется дискретами, выделенными из непрерывной функции в определенные моменты времениnT,n=1,2,…. Однако на практике нельзя реализовать решетчатую функцию с бесконечно малым временем существования каждого выделенного значения. При конечном времени работы технических устройств получается последовательность импульсов определенной длительности, промодулированная выделенными дискретами непрерывной функции. В теории дискретных систем принято выделять реальный импульсный элемент (РИЭ), осуществляющий дискретизацию и модуляцию. Модуляция заключается в умножении входной величины x(t) на немодулированную последовательность импульсов, каждый из которых представляет собой мгновенный импульс единичной высоты в моменты времениnT,n=1,2,… (рис.17.4). Назовем это идеальное устройство импульсным модулятором. В этом случае можно записать дискретную функцию времени, называемую также решетчатой

, (17.1)

где: - немодулированная последовательностьс периодом квантования по времениТ.

Рис.17.4. Немодулированная последовательность мгновенных единичных импульсов

Отметим, что рассматривается в теории линейных не-прерывных САУ в качестве типового воздействия и обладает следующими свойствами [3-1]

(17.2)

Тогда немодулированная последовательность импульсов

(17.3)

и последовательность импульсов на выходе импульсного модулятора

, (17.4)

что справедливо при выполнении условия x(t)=0 при .

Заметим, что замена в (17.3) и (17.4) интегрирования суммированием объясняется тем, что решетчатая функция имеет конечное и счетное число дискрет.

Обратим внимание на то, что в дальнейшем будет использовано идеальное импульсное звено (ИИЗ), на выходе которого генерируется последовательность , поступающая на вход линейного звена с передаточной функцией, на выходе которого должны формироваться реальные импульсы [3-1].

Напомним, что передаточная функция линейного непрерывного звена или системы находится как отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин, найденных при нулевых начальных условиях.

При определении временных характеристик линейных непрерывных звеньев и систем используются два типовых воздействия:

единичная ступенчатая функция

(17.5)

изображение по Лапласу, которой

(17.6)

и единичный импульс см. (17.2).

При этом , а поэтому в силу свойств преобразования Лапласа

. (17.7)

Реакция линейного звена или системы, имеющей передаточную функцию W(p), на 1(t) и при нулевых начальных условиях соответственно равны

- переходная функция,

- весовая функция (называемая также импульсной переходной функцией).

Следовательно, если реальное импульсное звено генерирует импульсы S(t), то это звено можно представить в виде последовательного соединения идеального импульсного звена и формирующего линейного с передаточной функцией W_ф(р)=S(р).

При анализе линейных непрерывных систем используются методы дифференциальных уравнений, преобразование Лапласа и частотные методы. Анализ линейных дискретных систем может проводиться, по существу, такими же методами, только вместо дифференциальных уравнений используются разностные уравнения, дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование.

Понятие о разностных уравнениях. В дискретных системах в качестве временной функции выступает решетчатая функция x(kТ)=х[k]. Для удобства записи в дальнейшем будем использовать указанную более компактную форму записи дискрет.

Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее первой разностью (аналог первой производной для непрерывных систем)

Вторая разность (аналог второй производной для непрерывных систем).

(17.8)

т.е. вторая разность есть разность первых разностей. Подставляя в (17.8) выражения для первых разностей, получим

(17.9)

Аналогично получим

(17.10)

Разность m-го порядка

(17.11)

Выражая конечные разности через дискреты функции, получим

,

где: - коэффициент бинома Ньютона.

Если линейная стационарная непрерывная система описывается дифференциальным уравнением

(17.12)

то соответствующая ей дискретная система описывается разностным уравнением (уравнением в конечных разностях) с постоянными коэффициентами.

(17.13)

с начальными условиями

Выражая конечные разности через дискретные значения функций в соответствии с формулой (17.11), уравнение (17.13) можно записать в форме рекуррентного разностного уравнения.

(17.14)

при начальных условиях

где: а коэффициентывыражаются через коэффициенты уравнения (17.13).

Если рекуррентное разностное уравнение (17.14) в явном виде содержит ит.е., то порядок разностного уравнения (17.14), равно как и порядок исходного разностного уравнения (17.13) равенr. В общем случае (напоминаем, чтоn-порядок дифференциального уравнения непрерывной системы). Объясняется это тем, что в процессе преобразования уравнения (17.13) к виду (17.14) функции x[k] или x[k+1] и т.д. могут взаимно уничтожаться. Таким образом, порядок разностного уравнения может отличаться от старшей разности.