3. Виды систем счисления.

В данное время существует два вида систем счисления:

1. Непозиционные (числа обозначаются буквами алфавита)

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в коде числа. В этих системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе.

Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков:

1. Для записи больших чисел приходиться вводить новые цифры.

2. Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции

Пример. Число 554 выглядит в римской системе счисления следующим образом:

554 = BLIV.

2. Позиционные (значение символа, зависит от места, которое он занимает в записи числа). Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в коде числа. В обычной системе счисления для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9). Поэтому ее называют десятичной.

Достоинство любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.

Французский математик Пьер Саймон Лаплас (1749— 1827) такими словами оценил "открытие" позиционной системы счисления: "Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения, но форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна".

На данный момент насчитывается около 20 всевозможных систем счисления.

Чаще применяют позиционную систему счисления с фиксированным основанием. В этих системах для записи числа достаточно конечного множества знаков. При этом сдвиг цифры на одно место влево влечет за собой увеличение ее числового значения в

g раз, где g – некоторое число, g > 1. Число g называют основанием системы.

4. Системная запись натурального числа (разложение числа на множители). Понятие. Схема Горнера.

Системной записью натурального числа N по основанию g называют представление этого числа в виде суммы:

N = a_ngⁿ + … + a₁g¹ + a₀g⁰ + a_-1g^-1 + … + a_-mg^-m,

где a_n,…a₀ - числа, принимающие значения 0,1,…g-1,

n (m) – количество целых (дробных) разрядов числа N. Запись в развернутом виде доказывает позиционность.

Пример 1: Разложить на множители число 367₁₀.

367 = 3 * 100 + 6 * 10 + 7 = 3 * 10² + 6 * 10¹ +7 * 10⁰

5. Таблица соответствий десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Десятичная система счисления	Двоичная система счисления	Восьмеричная система счисления	Шестнадцатеричная система счисления
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10