Преимущества двоичной системы счисления:

• Простота совершаемых операций

• Возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера.

Недостаток двоичной системы счисления:

Быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число

Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти ПК. ПК с легкостью осуществляет перевод чисел из одной системы счисления в другую, а также выполняет все арифметические и логические операции с этими числами. Поэтому во многих случаях наличие двоичной формы внутреннего представления данных можно даже не заметить. При изучении принципов работы ЭВМ обойтись без двоичной системы счисления, конечно, не удастся.

Для представления двоичных чисел вне компьютера используют более компактные по длине чисел восьмеричную (для записи кодов чисел и машинных команд) и шестнадцатеричную (для записи адреса команд) системы счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил обозначения чисел.

2. История развития систем счисления.

Счисление, нумерация - это совокупность приемов представления натуральных чисел. В любой системе счисления некоторые символы служат для обозначения определенных чисел, называемых узловыми, остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких – либо операций из узловых чисел. Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических, а с появлением письменных обозначений числовых символов системы счисления стали различаться характером числовых знаков и принципами их записи.

2.1. Древние системы счисления

У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Еще

в 19 в. у многих племен Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа: 3 (два - один), 4 (два - два), 5 (два - два – один) и 6 (два – два – два). О всех числах, больших 6, говорили «много», не индивидуализируя их. С развитием общественно–хозяйственной жизни возникла потребность в создании систем счисления, которые позволяли бы и обозначать все большие совокупности предметов.

Одной из наиболее древних СС является египетская иероглифическая нумерация, возникшая еще за 2500 – 3000 лет до н. э. Это была десятичная непозиционная система счисления, в которой для записи чисел применялся только принцип сложения (числа, выраженные рядом стоящими цифрами, складываются).

Аналогичными системами счисления были греческая, геродианова, римская, сирийская и др.

Римские цифры–традиционное название знаковой системы для обозначения чисел, основанной на употреблении особых символов для десятичных разрядов:

I = 1 (один) С = 100 (сто)

V = 5 (пять) D = 500 (пятьсот)

X = 10 (десять) M = 1000 (тысяча)

L = 50 (пятьдесят)

Возникла около 500 г. до н. э. у этрусков и использовалась в Древнем Риме, иногда употребляется и в настоящее время. В этой системе счисления натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая – перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырехкратного повторения одной и той же цифры.

Например: IX = 9 (10 – 1 = 9) VI = 6 (5 +1 = 6)

XC = 90 (100 – 10 = 90) XIX = 19 (10 + 10 – 1 = 19)

CM = 900 (1000 – 100 = 900)

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой системе весьма неудобно. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов, в ряде других случаев.

Более совершенными системами счисления являются алфавитные:

• ионийская,

• славянская,

• еврейская,

• арабская,

• грузинская,

• армянская и т.д.

В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация, где числа записывались черточками.

1 = I 6 = ГI 100 = H

2 = II 7 = ГII 1000 = X

3 = III 8 = ГIII 10000 = M

4 = IIII 9 = ГIIII

5 = Г 10 = П

В III в. до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1—9 обозначались первыми девятью буквами алфавита.

Но первой алфавитной системой счисления принято считать ионийскую, возникшая в греческих колониях в Малой Азии в середине 5 в.до н. э. В алфавитных системах счисления числа от 1 до 9, а также все десятки и сотни обозначаются последовательными буквами алфавита (над которыми ставятся черточки, чтобы отличить записи чисел от слов). В таких системах счисления запись чисел гораздо короче, чем в предыдущих. Над числами, записанными в алфавитной нумерации легко производить арифметические действия. Однако в алфавитных система счисления нельзя записывать сколь угодно большие числа.

Греки расширили ионийскую нумерацию: числа 1000, 2000,…,9000 они обозначали теми же буквами, что и 1,2,…,9, но ставили штрих внизу слева. Однако эта система счисления оказалась непригодной уже для астрономических вычислений эпохи эллинизма, и греческие астрономы того времени стали комбинировать алфавитную систему с шестидесятеричной вавилонской – первой известной нам системой счисления, основанной на позиционном принципе. В системе счисления древних вавилонян, возникшей примерно за 2000 лет до н. э. все числа записывались с помощью двух знаков: (для единицы) и (для десяти). Числа до 60 записывались как комбинации этих двух знаков с применением принципа сложения. Число 60 снова обозначалось знаком, являясь единицей высшего разряда. Для записи чисел от 60 до 3600 вновь применялся принцип сложения.

В Древнем Вавилоне примерно за 40 в. до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа в зависимости от места, занимаемого этой цифрой. Но до сих пор неизвестно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система. Мнения историков о возникновении этой системы счисления весьма различны.

Существуют две гипотезы:

1. произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое — десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса.

2. древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60.

Однако в силу отсутствия знака для нуля, которым можно было бы отмечать недостающие разряды, запись чисел в этой системы счисления не была однозначной.

Особенность вавилонской системы счисления - абсолютное значение чисел оставалось неопределенным.

Другая система счисления, основанная на позиционном принципе, возникла у индейцев майя, обитателей полуострова Юкатан (Центральная Америка) в середине 1 – го тыс. н. э. У индейцев племени майя существовали 2 системы счисления:

1. одна, напоминающая египетскую (употреблялась в повседневной жизни),

2. другая – позиционная, с основанием 20 и особым знаком для нуля, применялась при календарных расчетах. Запись в этой системе, как и в нашей современной, носила абсолютный характер.