Лекция 18. Алгебра логики.

Алгебра логики возникла в середине XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные задачи алгебраическими методами.

Алгебра логики - раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание - любое повествовательное предложение, в отношении которого однозначно можно сказать, истинно оно или ложно.

Пример 1: предложение «6 - четное число» является высказыванием, т.к. оно истинное.

Существуют предложения, в которых для выяснения истинности или ложности требуются дополнительные сведения. Такие предложения являются высказывательными формами.

Высказывательная форма - повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Пример 2: предложение «площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн.км²» - и истинно (значение приближенное, приемлемо на практике) и ложно (указанное значение неточное)

Из логических высказываний составляются логические формулы.

Например,X Y = X ٧Y

2. Основные законы алгебры логики.

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

Закон	для ИЛИ (+)	для И (*)
1. Переместительный	X ٧ Y = Y ٧ X	X * Y = Y * X
2. Сочетательный	X ٧(Y ٧Z) = (X ٧Y) ٧Z	X * (Y * Z) = ( X * Y) * Z
3. Распределительный	X * (Y ٧Z) = X * Y ٧X * Z	X ٧Y *Z = (X ٧ Y) * (X ٧ Z)
4. Правила де Моргана	X ٧Y = X * Y	X * Y = X ٧Y
5. Идемпотенция	X ٧X = X	X * X = X
6. Поглощения	X ٧X * Y = X	X * (X ٧Y) = X
7. Склеивания	(X * Y) ٧(X * Y) = Y	(X ٧Y) * (X ٧Y) = Y
8. Операция переменной с ее инверсией	X ٧X = 1	X * X = 0
9. Операция с константами	X ٧0 = X X ٧1 = 1	X * 0 = 0 X * 1 = X
10. Двойного отрицания	X = X

3. Связь между алгеброй логики и двоичным кодированием.

Математический аппарат алгебры логики удобен для описания функционирования аппаратных средств ПК, т.к. основной системой счисления является двоичная (ДСС), в которой используются цифры 0 и 1, а значений логических переменных тоже два: «0» и «1»..

Одни и те же устройства ПК могут применятся для обработки и хранения числовой информации, представленной в ДСС, а также и логических переменных.

На этапе конструирования аппаратных средств алгебры логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем ПК и, следовательно, уменьшить число логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы ПК.

Как известно, кодирование и передача информации в ЭВМ осуществляется с помощью электрических сигналов.

Уровню напряжения 0-0,5В поставлена в соответствие цифра 0 (логический нуль), а уровню 2,5-5В поставлена в соответствие двоичная цифра 1 (логическая единица).

К примеру, рассмотрим работу транзистора.

аb a b a b

c = 0 с = 1

с

Работу транзистора можно сравнить с работой выключателя. Транзистор откроется и пропустит ток по цепи ab, если на вход с падать напряжение 2,5-5В

(логическую единицу) - цепь замкнута. Если на вход подать напряжение 0-0,05В (логический нуль), то транзистор будет закрыт - цепь разомкнута.

Преобразование и хранение информации (каждого двоичного разряда) в оперативной памяти осуществляется специальными электронными устройствами, называемыми логическими элементами (триггеры). В основе построения всех сложных электронных схем лежат 3 основных элемента НЕ, ИЛИ, И. Элемент НЕ имеет 1 вход и 1 выход, а элементы ИЛИ, И имеют 2 входа и 1 выход. Каждый логический элемент реализуется соответствующей электронной схемой.

Т.е.из всего вышесказанного следует, что электронная часть ЭВМ состоит из огромного числа логических элементов, обрабатывающих с большой скоростью “нули и единицы “.Отсутствие или наличие электрического потенциала на входе в ЭВМ однозначно определяет потенциал на выходе.

Схематически логические элементы изображаются в виде прямоугольников. Слевой стороны изображаются входы, справой - выходы. Внутри прямоугольника помещают указатель логической функций.