§5 Цели, задачи, содержание и результаты опытной работы в школе

Опытная работа проведена в старших классах среднего звена с углубленным изучением математики.

Основная цель данной работы заключалась в следующем: проверить влияние методики реализации прикладной направленности обучения математике в профильной школе на уровень качества знаний учащихся.

Для этого решались задачи:

• изучить опыт учителей по реализации прикладной направленности обучения математике;

• разработать и провести уроки с использованием предложенных средств осуществления связи математики с жизнью и другими науками;

• проверить влияние прикладной направленности обучения математике на

1. качество усвоения знаний учащихся по математике;

2. формирование научного мировоззрения школьников.

Основные методы проведения опытной работы:

• беседа с учителями математики;

• наблюдение за работой учеников на уроках;

• беседа с учащимися старших классов;

• анализ самостоятельных и контрольных работ школьников.

1. Для определения уровня реализации прикладной направленности обучения математике были проведены беседы с учителями математики, анализ результатов показал что реализация элементов прикладной направленности обучения математике носит эпизодический характер, при этом, основным методом осуществления связи математики с различными областями человеческой деятельности является решение прикладных задач.

В связи с полученными результатами, среди учащихся старшего звена было проведено исследование, цель которого состоит в следующем: определить уровень заинтересованности школьников в решении задач с практическим содержанием.

Анализ ответов учащихся дал следующие результаты:

Рис.9

Интерпретация результатов. Приведенные результаты показывают, что заинтересованность учеников в решении задач с практическим содержанием зависит от фабулы задачи. Многие учащиеся считают, что в процессе решения прикладных задач они могут раскрыть связь математики с различными областями наук, получить опыт применения математических знаний в жизни.

2. В период опытной работы была проведена серия уроков по теме: «Логарифмы». С целью показать практическое применение логарифмов в различных областях науки, был разработан урок по теме:

«Применение логарифмов в различных областях науки». Рассмотрим план проведения этого урока.

Цель урока: закрепить и обобщить знания учащихся по теме: «Логарифмы»; учить школьников применять математический аппарат для решения прикладных задач; развивать познавательный интерес к изучению математики.

Ход урока.

Знакомство с практическим применением логарифмов начнем с задачи:

Задача 1. Непромытый приисковый песок содержит 40% чистого золота. После каждой промывки песка отходит 10% содержащихся в нем примесей и при этом теряет 5% имеющегося в песке золота. Определите, сколько следует сделать промывок приискового песка, чтобы процентное содержание золота в нем было не меньше 80%.

Решение. Чтобы выяснить, сколько требуется промывок песка, необходимо понять, что происходит после каждой промывки.

Пусть х- это количество непромытого песка, в котором по условию содержится золота и примесей. После первой промывки золота в песке останется , а примесей , или · золота и · примесей. В результате двух промывок получим:

Содержание золота составит ··, т.е. , а примесей - ··, т.е..

Таким образом, если будет проведено n промывок песка, то в итоге получим следующее: золота ипримесей.

Так как, по условию задачи содержание золота после промывок должно составлять 80%, то составим неравенство:

≥.

Решая полученное неравенство, можем разделить его на положительную величину, тогда ≥ ;

;

; ;.

Прологарифмируем полученное неравенство по основанию 10:

n·lg0,95≥lg6+n·lg0,9; n·lg0,95-n·lg0,9≥lg6;

n·; n·.Число положительное, поэтому

. Используя микрокалькулятор, получим: .

Таким образом, необходимо сделать не менее 34 промывок приискового песка, чтобы процентное содержание в нем золота составляло 80%.

Учитель: (устная работа) Приведите примеры процессов и явлений, которые могут быть описаны графиками функций:

Рис.10 Рис.11

(рис.10: поток информации с течением времени, рост числа бактерий и т.д); (рис.11: светимость звезд в ночное и дневное время, формы галактик, громкость шума в децибелах и т.д).

Задача 2. В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 часа после перемещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через какой промежуток времени, с момента их перемещения в питательную среду, следует ожидать колонию в 500 бактерий.

Решение. Для того, чтобы решить задачу вспомним, что процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются функцией вида: y=c₀·a^x. Если считать, что начальный момент времени равен нулю, то q=c₀·a⁰, значит c₀=q, т.е. функция имеет вид y=q·a^x. В следующий момент времени t, когда произошли изменения, описываемые уравнением qp=q·a^t, т.е. p=a^t, получим lg p=lg a^t, lg p=t·lg a, ,. Тогда получаем функцию:y=q·. Таким образом, необходимо найти значение переменной х, при котором у=В, т.е нужно решить уравнение

B= q·.В условиях приведенных обозначений запишем данные задачи следующим образом:q=8, t=2, p=,B=500. Значит, искомое время соответствует значению выражения , т.е. примерно через 3ч 15мин после помещения бактерий в питательную среду количество бактерий станет равным 500.

Решая данную задачу, мы учитывали только рост численности бактерий, пренебрегая факторами смертности бактерий и временной ограниченности питательной среды, поэтому пример следует считать условным. В рамках опытной работы, с учащимися 11 класса, также обсуждалась тема интегрального исчисления. Рассмотрим один уроков по данной теме.

Тема урока: «Применение интегрального исчисления к решению прикладных задач в экономике».

План проведения урока.

Цель: закрепить и обобщить знания и умения по теме; расширить представления учащихся о применении интеграла, его роли в экономике и современной жизни.

Ход урока.

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Интегральное исчисление в экономике используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка (разница между той денежной суммой, за которую производитель был бы готов продать 100 единиц товара, и то суммой, которую он реально получает при продаже этого же товара), определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений (задача дисконтирования). И это далеко не полный список приложений интегрального исчисления в экономике.

Рассмотрим задачу прогнозирования материальных затрат, которая часто возникает при необходимости вычисления площадей сложных фигур.

Задача 1. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80м, ширина в центре 20м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.

Решение. Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центр корабля, а ось х вдоль палубы.

Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол. Общее уравнение параболы имеет вид: . Так как точки (-40;0), (40;0), (0;10) принадлежат параболе, то решением системы уравнений, являются следующие числа:,b=0, c=10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид: . Значит площадь половины палубы корабля равна:Так как, на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски, то для окраски половины палубы корабля потребуется, поэтому для покраски всей палубы необходимо(кг) краски.

Задача 2. Известно, что потребительский излишек можно рассчитать по формуле CS=,где p^* и q^*- параметры рыночного равновесия.

Определите величину выигрыша потребителя при покупке товара, спрос на который задается функцией , а предложениеp=q+11.

Решение. Выигрыш потребителя – это потребительский излишек. Для того, чтобы найти его, сначала определим равновесные значения товара и его цены, решив систему  Решая первое уравнение системы, получим: (q+1)(q+11)=231, q²+12q-220=0, отсюда q=-22 или q=10. Значит q^*=10, тогда р^*=10+11=21.По формуле потребительского излишка имеем:

3. В период прохождения педагогической практики, в школе проводилась «Неделя математики», в рамках которой, учащимся были предложены следующие темы докладов:

1. «Периодические процессы в живой и неживой природе».

Учащимся было необходимо рассмотреть: общее понятие о периодических процессах (математическое обоснование периодических процессов на примере тригонометрических функций).

2. «Математические модели и окружающий мир».

В рамках данной темы нужно было осветить вопросы: понятие математической модели реального процесса; принципы построения математических моделей и способы проверки их качества.

4. Для определения уровня сформированности умений и навыков учащихся были проведены лабораторные и практические работы, приведенные в §3 данной главы.

5. Анализ результатов проведения работ показал:

1. Учащиеся с интересом относятся к изучению математики, при организации урока в форме лабораторной работы;

2. Уровень усвоения учащимися математического материала и его применение к решению задач, возникающих вне математики достаточно высок. Поскольку анализ результатов лабораторных работ показал, что качество знаний учащихся составляет 73%. Для определения качества знаний учащихся использовалась формула: , где- количество учащихся, выполнивших работу на 4 и 5,N- количество школьников писавших работу. [23] Данная формула показывает итоги успеваемости ученика по пройденной теме изучаемого курса.

После проведения контрольных и практических работ, был посчитан средний бал каждого учащегося по формуле: , где- сумма оценок, полученных за каждую работу,N- количество проверочных работ, выполненных каждым учащимся. [23]

Результаты опытной работы приведены в гистограмме.

На основе проведенной работы, можно сделать следующие выводы:

1. Научность и формирование мировоззрения учащихся во многом зависит от умения устанавливать связь математики с другими областями наук.

2. Степень самостоятельности школьников по выявлению приложений математики в смежных дисциплинах и практической деятельности во многом зависит от целенаправленности работы учителя.

Во второй главе исследовательской работы были приведены методические рекомендации по реализации прикладной направленности обучения математике. Из вышеизложенного следует что:

1. рассмотренные способы осуществления связи математики с другими областями наук и практической деятельностью позволяют формировать научное мировоззрение учащихся;

2. использование материала прикладного характера в процессе организации учебной деятельности учащихся оказывает значительное влияние на развитие личности и творческих способностей школьников;

3. предложенные формы реализации прикладной направленности обучения математике являются наиболее результативным средством развития мотивации и познавательного интереса учащихся; вооружают школьников математическими умениями и навыками, необходимыми в практической и будущей профессиональной деятельности.