Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
И. А. СEДЫХ, С. В. ТКАЧЕНКО, О. А. МИТИНА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2013
УДК 519.2(07)
C 284
Рецензенты:
А. П. Скуратов – кандидат технических наук, доцент Липецкого филиала
НОУ ВПО "Международный институт компьютерных технологий".
Кафедра математики ФГБОУ ВПО «Липецкий Государственный Педаго-
гический Университет»
C 284 Элементы теории вероятностей. Теория и практика [Текст]: учеб-
ное пособие / И.А. Седых, С.В. Ткаченко, О.А. Митина. – Липецк: Изд-во Липецкого Государственного Технического Университета, 2013. – 126 с.
Учебное пособие соответствует государственному образовательному
стандарту дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
Пособие содержит краткий курс теории вероятностей. В каждой теме
рассмотрены типовые задачи с решениями. Приведены варианты индивидуальных домашних заданий, контрольных работ, тестов, а также контрольные вопросы.
Данное пособие предназначено для студентов второго курса направлений 010800.62 – «Механика и математическое моделирование», 220100.62 –
«Системный анализ и управление», а также студентов других технических специальностей, изучающих высшую математику.
Табл. 11. Ил. 3. Библиогр.: 11 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий
государственный технический
университет», 2013
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ................................................................................................................... 5
1. Испытания и события.......................................................................................... 6
1.1. События ............................................................................................................. 6
1.2. Виды случайных событий ............................................................................... 6
1.3. Классическое определение вероятности ........................................................ 7
1.4. Основные формулы комбинаторики .............................................................. 8
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей ............................................... 10
2.1. Сложение вероятностей несовместных событий .......................................... 10
2.2. Произведение вероятностей событий ............................................................ 11
2.3. Вероятность появления хотя бы одного события ......................................... 13
3. Следствия теорем сложения и умножения ....................................................... 14
3.1. Сложение вероятностей совместных событий .............................................. 14
3.2. Формула полной вероятности. Формулы Байеса .......................................... 15
4. Повторение испытаний ...................................................................................... 16
4.1. Формула Бернулли ........................................................................................... 16
4.2. Локальная теорема Муавра - Лапласа ............................................................ 18
4.3. Интегральная теорема Муавра - Лапласа ...................................................... 19
4.4. Вероятность отклонения относительной частоты ....................................... 21
5. Виды случайных величин ................................................................................... 22
5.1. Определения ...................................................................................................... 22
5.2. Дискретная случайная величина ..................................................................... 23
5.3. Функция распределения .................................................................................. 27
5.4. Непрерывная случайная величина .................................................................. 29
6. Важнейшие распределения случайных величин .............................................. 29
6.1. Дискретные распределения ............................................................................. 29
6.2. Непрерывные распределения .......................................................................... 31
7. Системы случайных величин ............................................................................. 32
7.1. Системы дискретных случайных величин. .................................................... 32
4
7.2.Системы непрерывных случайных величин ................................................... 37
8. Варианты индивидуальных домашних заданий ............................................... 39
8.1. ИДЗ № 1. Дискретные случайные величины................................................. 39
8.2. ИДЗ № 2. Непрерывные случайные величины ............................................. 40
8.3. ИДЗ № 3 Системы случайных величин ......................................................... 41
9. Варианты контрольных работ ............................................................................ 42
9.1. Контрольная работа № 1 .................................................................................. 42
9.2. Контрольная работа № 2 .................................................................................. 89
Теоретические вопросы .......................................................................................... 117
Тест. Элементы теории вероятностей ................................................................... 120
Заключение ............................................................................................................... 121
Библиографический список .................................................................................... 122
5
ВВЕДЕНИЕ
Пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования специально для
студентов специальностей и направлений, изучающих математику.
Математика является частью общечеловеческой культуры. На протяжении нескольких тысячелетий развития человечества шло накопление математических фактов, что привело около двух с половиной тысяч лет назад к возникновению математики как науки. Математика способствует выработке научного
мировоззрения и достижению необходимого общекультурного уровня.
Математические рассуждения позволяют правильно устанавливать причинно-следственные связи, что должен делать каждый человек в своей практической деятельности.
Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Математическая статистика – это наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и
обработки результатов наблюдений с целью познания закономерностей случайных массовых явлений.
Поскольку математика учит точно формулировать правила, предписания,
инструкции и строго им следовать, то применение математических методов
расширяет возможности каждого специалиста, делая его более конкурентоспособным на рынке труда. Таким образом, курс математики направлен на формирование у студентов в процессе изучения мышления, необходимого для полноценного функционирования человека в современном обществе.
Помимо примеров с решениями в пособие включены варианты индивидуальных домашних заданий, контрольных работ, тестов, а также контрольные
вопросы для закрепления материала.
6
1. ИСПЫТАНИЯ И СОБЫТИЯ
1.1. СОБЫТИЯ
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные, случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет,
если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Невозможным
называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена
совокупность условий S. Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных
закономерностей случайных событий.
События обозначают прописными (заглавными) буквами латинского
алфавита, например, А, В, С,...
Пример. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут 1 шар.
Извлечение шара из урны – испытание. Появление шара определенного
цвета – событие.
1.2. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
События называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример. Брошена монета. Возможны два события: «орел» или «решка».
Появление «орла» исключает появление «решки».
Полной группой событий называется система случайных событий такая,
что в результате произведенного испытания непременно произойдет одно из
них.
7
Пример. Стрелок произвел выстрел по цели. Возможны события:
n
m
AP )(
nm
1)(
n
n
n
m
AP
0m
0
0
)(
nn
m
AP
попадание и промах. Эти два события и образуют полную группу.
События называются равновозможными, если есть основание считать,
что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной играль-
ной кости: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.
Ниже приводится классическое определение.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных
несовместных элементарных исходов, образующих полную группу
,
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А;
п – число всех возможных элементарных исходов испытания.
Элементарный исход (элементарное событие) – каждое из возможных
результатов испытания.
Благоприятствующие исходы (благоприятствующие события) – те
элементарные исходы, в которых наступает интересующее нас событие.
Свойства вероятности события
1. Вероятность достоверного события равна 1.
В этом случае
, тогда
.
2. Вероятность невозможного события равна 0.
В этом случае
, тогда
.
8
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное
nm 0
10
n
m
1)(0 AP
3m
9432 n
3
1
9
3
)(
n
m
AP
0m
0
9
0
)(
n
m
AP
9 nm
1
9
9
)(
n
m
AP
,!nPn
nn 321!
между нулем и единицей.
В этом случае
Пример. Из корзины, в которой лежат 2 зеленых, 3 красных и 4 синих
шара, достали один шар. Найти вероятность того, что:
1) шар красный; 2) шар белый; 3) шар цветной.
Решение. Введем три события: событие А={шар красный}; событие
В={шар белый}; событие С={шар цветной}.
1) так как в корзине 3 красных шара, то число благоприятствующих исходов
, а число всех элементарных исходов
2) так как в корзине белые шары отсутствуют, то
, тогда
, следовательно,
. Тогда
.
. Тогда
.
.
3) так как в корзине все шары являются цветными, то
.
1.4. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
При непосредственном вычислении вероятности требуется использование
формул комбинаторики. Рассмотрим некоторые из них.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же
п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок
. Тогда
где
.
9
Таким образом,
244321!4;6321!3;221!2;1!1;1!0
6!33P
).1(...)1(
)!(
!
mnnn
mn
n
A
m
n
.210567
!4
!7
)!37(
!7
3
7
A
.
!
)1(...)1(
)!(!
!
m
mnnn
mnm
n
C
m
n
.56
321
678
!5!3
!8
)!38(!3
!8
3
8
C
и т.д.
Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, ес-
ли каждая цифра входит в число только один раз?
Решение.
.
Размещениями называются комбинации, составленные из п различных
элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов,
либо их порядком. Число всех возможных размещений
Пример. Сколько можно составить комбинаций из 7 флажков различного
цвета, взятых по 3?
Решение.
Сочетаниями называются комбинации, составленные из п различных
элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний
Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 шара из корзины,
содержащей 8 шаров?
Решение.
При решении задач комбинаторики необходимо соблюдать следующие
правила.
10
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из со-
)()()( BPAPBAP
20
4
)(;
20
5
)( BPAP
вокупности объектов т способами, а объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно (т+п) способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности
объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в таком порядке может
быть выбрана (т∙п) способами.
2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1. СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ
Суммой двух событий А и В называют событие (А+В), состоящее в
появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Пример. Из ящика, в котором лежат обработанные и необработанные
детали, взяли 2 детали. При этом событие А={первая деталь обработана},
В={вторая деталь обработана}. Тогда (А+В)={первая взятая деталь обработана,
или вторая обработана, или они обе обработаны}.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий:
.
Пример. В урне имеется 20 шаров: 5 зеленых, 4 желтых, 11 белых. Найти
вероятность появления зеленого или желтого шара.
Решение. Введем события: А={зеленый шар}, В={желтый шар},
С={зеленый или желтый шар}. Тогда
.
События А и В несовместны, так как появление зеленого шара исключает
появление желтого шара. Тогда применима теорема сложения:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]