Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
101
5. Минутная стрелка электрических часов перемещается мгновенно
X
2 4 5 6 8 20
P
0,4 0,25 0,2 0,05 0,05 0,05
2
arccos
2
1
x
.3,0
,30,
,0,0
)(
2
x
xax
x
xf
скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы укажут время, которое отличается от истинного времени, не более
чем на 20 сек.
Вариант 10
1. Задан закон распределения случайной величины Х:
Найти σ(X) и М(4Х2-1).
2. Независимые случайные величины X, Y принимают только целые
значения: X - от -7 до 6 с равной вероятностью, Y - от -6 до 9 с равной вероятностью. Найти Р(Х Y < 0).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [-2;2]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) =
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
.
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = -2; β = 1;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. Случайную величину – отклонение размера детали от стандарта – приближенно можно считать распределенной по нормальному закону с параметра-
102
ми а = 0 мм, σ = 5 мм. Годными считаются детали, для которых отклонение не
X
-2 -1 0 1 2 3 4
P
0,2 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 0,2
2
arcsin
2
1
x
.1,0
,10,
,0,0
)(
2
x
xax
x
xf
превышает 10 мм. Определить среднее число годных деталей из ста выбираемых наудачу.
Вариант 11
1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Найти вероятность события |Х - М(X)| ≤ σ(X)).
2. Независимые случайные величины X, Y, Z принимают только целые
значения: X - от 1 до 12 с равной вероятностью, Y - от 1 до 8 с равной вероятностью, Z - от 1 до 6 с равной вероятностью. Найти вероятность того, что Х, Y, Z
примут разные значения.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [-2;2]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) =
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
.
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = -2; β = 0,5;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
103
5. Пусть массу каждой пойманной рыбы приближенно можно считать
X
1 2
, i = 1,2.
P
0,5 0,5
.1,0
,10,
,0,0
)(
5
x
xax
x
xf
распределенной по нормальному закону с параметрами а = 375 мм, σ = 25 г.
Найти вероятность того, что масса одной рыбы составит: а) от 300 до 425 г,
б) более 300 г.
Вариант 12
1. Дискретные случайные величины X1 и X2 независимы и имеют одина-
ковые распределения:
Для случайной величины X = X1 + X2 найти вероятность события |Х -
М(X)| ≥ 3σ(X).
2. Независимые случайные величины X, Y ,Z принимают только целые
значения: X - от 1 до 12 с равной вероятностью, Y - от 1 до 9 с равной вероятностью, Z - от 1 до 7 с равной вероятностью. Найти Р(Х < Y < Z).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [2;3]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = (х – 2)4.
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = -2; β = 0,5;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
104
5. Случайную величину X приближенно можно считать распределенной
X
1 2 3
, i = 1,2.
P
3
1
3
1
3
1
X
-4 -3 -2 -1 0 1 2
P
0,2 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 0,2
2
3
3
x
.5,0
,50,
,0,0
)(
x
xax
x
xf
по нормальному закону. Найти параметры этого распределения, если известно,
что Р(Х < 35) = 0,2, а Р(Х > 50) = 0,1.
Вариант 13
1. Дискретные случайные величины X1 и X2 независимы и имеют одина-
ковые распределения:
Для случайной величины X = X1 + X2 найти вероятность события |Х -
М(X)| ≥ 3σ(X).
2. Случайная величина X задана распределением:
Найти Р(|Х - m| ≤ σ), m – математическое ожидание случайной величины,
σ – среднее квадратичное отклонение.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;
]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1 – cos
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
.
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = -2; β = 2;
105
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
X
1 2 3 4 5 6 7 8
P
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,3
X
-2 -1 0 1 2 3 4
P
0,2 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 0,2
.,0
,0),cos1(
,0,0
)(
x
xx
a
x
xf
2
5. Определить среднюю квадратичную ошибку прибора, если систематических ошибок прибор не имеет, а случайные ошибки приближенно можно
считать распределенными по нормальному закону и с вероятностью 0,997 не
превосходят по абсолютной величине 6.
Вариант 14
1. Дискретная случайная величина X задана распределением:
Найти вероятность события |Х - М(X)| ≤ 1,5.
2. Случайная величина X задана распределением:
Найти Р(|Х - m| ≤ σ), m – математическое ожидание случайной величины,
σ – среднее квадратичное отклонение.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;∞]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1 – e
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
-3x
. Найти
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = 0; β =
;
106
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
X
-1 1 X -1 0 1
Р
0,5
0,5
Р 0,3
0,3
0,4
X
1 2 3 4
, i = 1,2
P
0,25 0,25 0,25 0,25
3
cos
x
ar
.2,0
,20,
2
1
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
5. Размер детали приближенно можно считать распределенными по нормальному закону с параметрами а = 5 см σ2 = 0,81 см2. Найти:
1) размер практически выпускаемых деталей (правило «3σ»);
2) вероятность того, что размер детали отличается от его математическо-
го ожидания не более чем на 2 см.
Вариант 15
1. Дискретные случайные величины независимы и имеют распределения:
Найти М(X + 2 Y + 3X Y).
2. Случайные величины X1, X2 независимы и имеют одинаковое распределение:
Для случайной величины X = X1 + X2 найти Р(|Х - m| ≤ 3σ), где m – мате-
матическое ожидание случайной величины, σ – среднее квадратичное отклонение.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [- 3;3]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1 –
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
.
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
107
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
X
-1 1 X -1 0 1
Р
0,5
0,5
Р 0,3
0,3
0,4
2
1
3
sin
x
ar
.4,0
,42,)3(
4
3
,2,0
)(
2
x
xx
a
x
xf
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = 0; β = 1,5;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. Результаты измерения расстояний между двумя соседними поселками
вдоль магистрального газопровода приближенно можно считать распределенными по нормальному закону с параметрами а = 16 км и σ = 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) не менее 15,8 км; б) не
более 16,25 км; в) от 15,75 до 16,3 км.
Вариант 16
1. Дискретные случайные величины независимы и имеют распределения:
Найти М((X + Y)2).
2. Независимые случайные величины X1, X2 X3, X4 равновероятно принимают только значения 0, 1, 2, 3. Для случайной величины S = X
1 + X2 + X3 + X4
найти Р(|S - m| 3σ), где m – математическое ожидание случайной величины S,
σ – среднее квадратичное отклонение.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [- 3;3]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) =
+
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
.
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
108
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
X
-1 1 X -1 0 1
Р
0,5
0,5
Р 0,3
0,3
0,4
2
3
3
x
.2,0
,20,
4
45
6
4
3
,0,0
)(
2
x
xxxa
x
xf
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = 2; β = 3;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, которую
приближенно можно считать распределенной по нормальному закону с параметрами а= 170 см и дисперсией 36 см2. Вычислите вероятность того, что хотя
бы один из наудачу выбранных четырех мужчин имеет рост от 168 до 172 см.
Вариант 17
1. Дискретные случайные величины независимы и имеют распределения:
Найти М(2
(X + У)
).
2. Для случайной величины X, распределенной по закону Пуассона,
найти M(X2), если 1nP(X = 0) = -10.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = sin
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
]. На этом
. Найти
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
109
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
X 1 2 3 4 5 6
30
Р
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
.0,0
,0
2
,cos
,
2
,0
)(
x
xxa
x
xf
где α = -2; β = 1;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. Диаметр детали является случайной величиной, приближенно можно
считать распределенной по нормальному закону. Ее дисперсия равна 0,001 см2,
а математическое ожидание равно 2,5 см. Найти границы, в которых практически заключен диаметр этой детали (правило «3σ»).
Вариант 18
1. Дискретные случайные величины независимы и имеют распределения:
Найти вероятность события X > М(X).
2. В серии из 300 повторных независимых испытаний вероятность успеха
в одном испытании равна 0,1. Случайная величина Xij – число успехов в испытаниях с номерами от i до j. Найти M(X
1,200 + X101,300
)2.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;∞]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1 – e
-2x
. Найти
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
110
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
4
X
-1 0 1
Р
0,3
0,4
0,3
4
.)1;1(,
1
1
);1[]1;(,0
)(
2
x
x
x
xf
где α = -
; β = 0;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. С вокзала пригородные поезда отправляются точно через каждые 20
минут. Какова вероятность того, что случайно пришедший пассажир будет
ждать очередного поезда дольше 15 минут.
Вариант 19
1. Дискретные случайные величины Х и Y независимы и имеют одинаковое распределение:
Найти М(ХY +,Y2).
2. Для независимых пуассоновских случайных величин X и Y математические ожидания равны 1. Найти M(5X - 4Y + 3)2.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;
]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1 – cos 2x.
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Случайная величина X задана функцией плотности:
Найти функцию распределения F(х) и построить ее график.
5. Случайная величина, равная времени между моментом прибытия к
светофору одной машины и моментом прибытия к светофору другой, распределена экспоненциально с математическим ожиданием 0,25 мин. Определить вероятность того, что после момента прибытия к светофору одной
машины, следующая машина прибудет не позднее, чем через 0,5 мин.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]