Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
111
1. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют одинаковое распре-
X
0 1 2 3
, i = 1,2
P
0,25 0,25 0,25 0,25
4
.);5[]3;(,
)5;3(,
4
45
6
4
3
)(
2
xx
xxx
xf
X
-1 0 1
2
Р
0,2
0,3
0,4
0,1
деление:
Вариант 20
Найти условную вероятность: f(k)= Р
X1+X2=k (X1
= 3).
2. Случайные величины X,Y,Z принимают только значения 1, 2, …, 10.
Найти Р(Х + Y +Z > 28), если X,Y,Z независимы, а их возможные значения
равновероятны.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;
]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = sin 2x. Найти
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Дана функция плотности непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(х) и построить ее график.
5. Время эксплуатации электрических лампочек приближенно можно
считать распределенным по нормальному закону со средним значением а =
1200 часов и σ = 100 часов. Найти вероятность того, что случайно взятая лампочка будет гореть дольше 1100 часов.
Вариант 21
1. Закон распределения случайной величины Х:
Проверить равенство: D(Х2- 2X) = D(X2) + 4 D(Х).
2. Случайная величина X принимает только целые значения от 1 до 7,
причем все значения равновероятны. Найти Р(|X - m| < σ), где m – математическое ожидание случайной величины X, σ – ее среднее квадратичное отклонение.
112
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;]. На этом
2
х
.)2;0(
);[]0;(,0
);0(,sin
)(
b
x
xcbxa
xf
3
2
;0
X
-1 1 2
Y -1 0
P
0,1 0,4 0,5
P 0,3 0,3
2
1
Х
2
2
Х
2
8
Х
2
1
;
2
1
x2arccos
].0;(,0
);0(,0,2
)(
x
xbe
xf
bx
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) = 1 – е
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Случайная величина X задана функцией плотности:
Найти вероятность попадания случайной величины на промежуток
.
5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1 мм. Показания
прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того,
что при этом будет сделана ошибка меньше 0,03 мм.
Вариант 22
.
1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Найти М(2X – Y).
2. Случайные величины Х1,..., Х8 распределены по геометрическому закону с одинаковыми математическими ожиданиями, равными 5. Найти математи-
ческое ожидание М (
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке
+
+ … +
).
. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) = 1-
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Дана функция плотности непрерывной случайной величины X:
.
Найти вероятность попадания случайной величины Х в промежуток [1; ∞).
113
5. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение
X
3 4 5 6
P
0,3 0,4 0,2 0,1
2
1
;
2
1
x2arcsin
2
1
14
2
1
2
xx
ее размера от проектного не превышает 10 мм. Случайное отклонение размера
детали от проектного приближенно можно считать распределенным по нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготовляет автомат?
Вариант 23
1. Дискретная случайная величина X задана распределением:
Найти М(5X2 +1).
2. Производится 11 независимых испытаний с вероятностью успеха 0,1 в
каждом испытании. Пусть Х – число успехов в испытаниях с номерами 1, 2, …,
11. Найти дисперсию D(Х +2Y).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке
. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) =
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Дана функция плотности непрерывной СВ X:
f(x) = Аexp
.
Найти вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (5,6).
5. Случайные ошибки измерения длины изготовляемых деталей прибли-
женно можно считать распределенными по нормальному закону со средним
квадратичным отклонением σ = 20мм и математическим ожиданием а = 0.
.
Найти вероятность того, что из трех независимых измерений одной и той же
детали ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 4
мм.
114
Y:
X
2 3 5
Y 7 8
P
0,4 0,3 0,3
P 0,3 0,7
3
arcsin
2 x
24
2
1
2
xx
X
5 7 9 11
P
41
41 41 41
7
1
Вариант 24
1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и
Проверить выполнение равенства: D(3X – 7) = 9 D(Х).
2. Независимые случайные величины X
Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным 8. Найти М (X
)2.
+ X10
X10 распределены по закону
1,…,
1 +…
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;3] . На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) =
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Пусть f(x) = Аexp
- плотность распределения случай-
ной величины X. Найти значение параметра А.
5. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал
движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
.
Вариант 25
1. Дискретная случайная величина задана распределением:
Найти вероятность события Х < М(X).
2. Независимые случайные величины X
1,…, X23
принимают только целые
значения 1 и 6. Найти наиболее вероятное значения суммы S = X
Р(Xi = 6) =
, i = 1,2,…,23.
1,…, X23
, если
115
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке
6
;0
93
2
1
2
xx
X
-3 -4 -5
P
31 31 31
X
3
1
6
;0
)1(
1
2
х
. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1 – cos3x.
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Пусть f(x) = Аexp
- плотность распределения случайной
величины X. Найти математическое ожидание М(Х).
5. Испытывают три элемента, которые работают независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов имеет показательное
распределение, функция распределения которого имеет вид: для первого элемента F1(t) = 1 – e
-0,3t
1 – e
. Найти вероятность того, что в интервале времени (0;5) часов откажут
-0,1t
; для второго F1(t) = 1 – e
-0,2t
; для третьего элемента F1(t) =
все три элемента.
Вариант 26
1. Дискретная случайная величина задана распределением:
Найти σ (Х) случайной величины Y =
2. Независимые случайные величины X
.
1,…,X5
равновероятно принимают
только целые значения от 0 до 9. Найти Р(X1+…+X5=6).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке
. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = sin3x. Найти
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Функция плотности непрерывной случайной величины X имеет вид:
f (х) =
. Найти функцию распределения F(Х), построить график.
5. Размер воротничка мужской сорочки, покупаемой в магазине «Одеж-
да» является случайной величиной Х, которую приближенно можно считать
распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием а = 39
116
см и средним квадратичным отклонением σ = 3 см. какой процент мужских со-
X
2
0
2
P
0,1 0,5 0,4
X
7 8 9 12
P
0,25 0,25 0,25 0,25
рочек размером 40 от общего числа следует заказать магазину.
Вариант 27
1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Найти D(Y-5) случайной Y = sin X.
2. Независимые случайные величины X,Y,Z принимают только целые значения: X - от 1 до 14 с равной вероятностью, Y - от 1 до 13 с равной вероятностью, Z - от 1 до 8 с равной вероятностью. Найти вероятность того, что Х, У, Z
примут разные значения.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;∞]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1- е
- 4х
. Найти
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожи-
дание и среднее квадратичное отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти функцию распределения и построить ее график.
5. Рост призывников, направляемых на службу в армию, является случайной величиной Х, которую приближенно можно считать распределенной по
нормальному закону с математическим ожиданием 170 см и средним квадратичным отклонением 20 см. В церемониальную роту принимаются те юноши,
рост которых превышает 185 см. Сколько в среднем кандидатов в церемониальную роту может быть отобрано из 100 призывников по этому признаку?
Вариант 28
1. Случайные величины X и Y независимы и имеют одинаковое распределение:
Найти условную вероятность f(k)= Р
X1+X2=k (X1
= 8).
117
2. Независимые случайные величины X, Y принимают только целые зна-
3
1
;
3
1
x3arccos
.5,0
,50,)2(
,0,0
)(
2
x
xxa
x
xf
X, Y
-2 0 2
P
0,3 0,4 0,4
чения: X – от 1 до 12 с равной вероятностью. Найти вероятность Р (X < Y).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [
]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = 1-
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найти:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
.
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = 1; β = 4;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. Размер воротничка мужской сорочки, покупаемой в магазине «Одежда»
является случайной величиной Х, которую приближенно можно считать распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием а = 39 см и
средним квадратичным отклонением σ = 3 см. Какой процент мужских сорочек
размером 37 от общего числа следует заказать магазину?
Вариант 29
1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Найти М(Х2- XY).
118
2. Производится 15 независимых испытаний c вероятностью успеха 0,3 в
3
1
;
3
1
x3arcsin
2
1
.50,0
,500),1(
,0,0
)(
3
x
xea
x
xf
x
X
0
2
π
2
3
P
0,2 0,25 0,25 0,25
каждом испытании. Пусть Х – число успехов в испытаниях с номерами 1,2,
…,10; Y – число успехов в испытаниях с номерами 5,6, …,15. Найти дисперсии
D(Х + 3Y).
. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) =
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α; β),
.
где α = 0,2; β = 24.
6) найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Автобусы некоторого маршрута движутся точно по расписанию с ин-
тервалом в 10 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Найти D(Y - 13) случайной величины Y = cos 2X.
Вариант 30
119
2. Независимые случайные величины X1,…, X42 равномерно принимают
11
5
2
1
2
1 x
arctg
.5,0
,50,)32(
,0,0
)(
2
x
xxa
x
xf
только целые значения 4 и 7, причем Р(Xi = 7) =
Найти наиболее вероятное значение суммы S = X1+…+ X42.
3. Случайная величина X имеет функцию распределения: F(х) =
. Найти функцию плотности, математическое ожидание и дис-
персию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
, i = 1,2,…,42.
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
где α = 1; β = 3;
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. Минутная стрелка электрических часов перемещается мгновенным
скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что студент,
посмотревший на часы, ошибется в определении точного времени до конца
занятия не более чем на 25 с.
120
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. События: достоверные, невозможные, случайные.
2. Полная группа событий.
3. Классическое определение вероятности.
4. Число перестановок, размещений, сочетаний.
5. Сложение вероятностей несовместных событий.
6. Произведение вероятностей событий. Условная вероятность.
7. Зависимые и независимые события.
8. Вероятность появления хотя бы одного события.
9. Сложение вероятностей совместных событий.
10. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
11. Формула Бернулли.
12. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
13. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
14. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероят-
ности в независимых испытаниях.
15. Определение дискретной случайной величины (ДСВ) и непрерывной слу-
чайной величины (НСВ).
16. ДСВ X: закон распределения и многоугольник распределения.
17. Математическое ожидание ДСВ, его свойства.
18. Дисперсия ДСВ, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
19. Функция распределения случайной величины, ее свойства. Вероятность
попадания случайной величины в интервал.
20. НСВ X: плотность распределения, ее свойства. Основные числовые
характеристики.
21. Виды распределений дискретной СВ X.
22. Виды распределений непрерывной СВ Х.
23. Коэффициент корреляции двумерной СВ (X, Y).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]