Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
91
0,9 и третьего - 0,85. Выбранный наудачу предохранитель не сработал при
перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к первому типу?
8. Каждому из трех первоклассников - Пете, Коле и Мише предложено
одинаковое количество загадок. Петя отгадывает в среднем три загадки из 4,
Коля - 5 из 6 и Миша 9 из 10. Наугад выбранный школьник не отгадaл загадку.
Какова вероятность того, что это был Коля?
9. Стрелок стреляет в цель до первого промаха. Найти вероятность того,
что y него после стрельбы останется хотя бы один патрон, если он получил 4
патрона и вероятность промаха при каждом выстрeле равна 0,2.
10. Игрaльная кость подброшена 5 раз. Найти вероятность того, что, по
крайней мере, три раза появится шестерка.
11. Случайный прохожий заходит на рынок c вероятностью 0,2. Какова
вероятность того, что из 100 прохожих на рынок зайдут не менее 12 и не более
33?
12. B партии товаров 400 изделий. Вероятность того, что изделие будет
высшего сорта, равна 0,8. Какова вероятность того, что число изделий первого
сорта будет от 310 до 330?
13. Вeроятность наступления события A в каждом из 100 незавиcимых
испытаний равна 0,002. Найти вероятность того, что щобы тие A произойдет не
более 3 раз.
92
9.2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
X
2 3 5
Y 1 2
P
0,1 0,3 0,6
P 0,3 0,7
5
3
2
;0
.2,0
,20,
,0,0
)(
2
x
xax
x
xf
Вариант 1
1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Проверить равенство D(2X – 3Y) = 4D(X) + 9D(Y).
2. Независимые случайные величины Х1, Х2,..., Х21 принимают только зна-
чения 1 и 4, причем P(Xi=4)=
, i = 1,2,... ,21. Найти наиболее вероятное зна-
чение случайной величины S = X1 + X2 + … + X21.
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке
. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) = 1- cos x.
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
величина X), приближенно можно считать распределенной по нормальному закону со средним значением 50 мм. У изготовленных деталей длина составила
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α; β),
где α=-2; β=1.
6) найдите функцию распределения F(x) И постройте ее график.
5. Автомат штампует детали. Длину изготовленных деталей (случайная
93
не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу
X
2 3
Y 1 2 - 1
P
0,1 0,9
P 0,3 0,7 0,6
2
;0
.
2
,0
,
2
0,cos
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
4
взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
Вариант 2
1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Проверить равенство D(2X – 3Y) = 4D(X) + 9D(Y).
Найти М(2Х-Y) и D(3X+Y).
2. Независимые случайные величины Х
, Х2,..., Х
1
принимают только
18
значения 2 и 4, причем P(Xi=4)=0,1, = 1,2,... , 18. Найти вероятность
Р(Х1+ Х
+... + Х18 = 42).
2
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке
. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) = sin x. Найти
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α; β),
где α=0; β=
.
6) найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
94
5. Производится взвешивание некоторого вещества. При этом процедура
X 2 3 5 6 7 10
Р
0,4
0,2
0,2
0,05
0,1
0,05
.,0
,0,sin
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
2
взвешивания не даёт систематических ошибок, а случайные ошибки взвешивания можно считать распределёнными по нормальному закону со средним
квадратичным отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что конкретное
взвешивание будет производиться с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
Вариант 3
1. Задан закон распределения случайной величины:
Найти М(Х), D(X),M(2Х
2
+3).
2. Независимые случайные величины Х,Y принимают только целые
значения: X — от 1 до 13 с равными вероятностями, Y — от 1до 20 с равными
вероятностями. Найти Р(Х + Y = 26).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0; ∞]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) = 1- e-x. Найти
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(X);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α ; β),
где α=0; β =
;
6) найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
95
5. Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр
X
1 2 3
P
0,3 0,5 0,2
xarccos
.
2
,0
,
2
0,2sin
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
шариков do=5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический
его диаметр есть случайная величина, которую приближенно можно считать
распределенной по нормальному закону со средним значением do и средним
квадратичным отклонением σ = 0,05 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на ε = 0,1 мм. Определите, какой процент шариков в среднем отбраковываются.
Вариант 4
1. Задан закон распределения случайной величины X:
Проверить равенство D(X2-X) = D(X2) + D(X).
2. Независимые случайные величины Х1,Х2,Х3,Х4 равновероятно принимают только целые значения от 0 до 6. Найти P(Х1 + Х2 + X
,+Х
3
= 2).
4
3. Случайная, величина X сосредоточена на промежутке [-l;l]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) = 1-
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией f(x).
Найдите:
1) параметр а;
.
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
96
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
4
X
1 2 3
P
0,2 0,3 0,5
2
1
xarcsin
.
3
,0
,
3
0,3sin
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
где α=0; β=
;
6) найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Производится измерение выходного напряжения усилителя. Его величину (случайная величина X), приближенно можно считать распределенной по
нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 20 В и математическим ожиданием а = 0 В. Найти вероятность того, что из трех независимых
измерений хотя бы одно значение не превзойдет по абсолютной величине 4 В.
Вариант 5
1. Задан закон распределения случайной величины X:
Проверить равенство D(2X+ 5) = 4D(X).
2. Каждая из независимых случайных величин X,Y,Z принимает равновероятно только целые значения: X - от 0 до 7, Y - от 0 до 9, Z - от 0 до 11. Найти
P(X+Y + Z = 5).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [-l;l]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением; F (x) =
+
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
.
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(X);
97
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
6
X
0 1 2 3
Y 1 1 2
P
0,1 0,6 0,2 0,1
P 0,5 0,3 0,2
3
2
1
x
arctg
.
4
,0
,
4
0,4sin
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
где α=0; β=
6) найдите функцию распределения F(x) И постройте ее график.
5. Случайная величина X распределена нормально с математическим
ожиданием а = 25. Вероятность попадания X в интервал (10;15) равна 0,2. Чему
равна вероятность попадания X в интервал (35; 40)?
Вариант 6
1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Проверить выполнение равенства D(X – Y) = D(X) + D(Y).
Найти М(2Х-Y) и D(3X+Y).
2. Независимые случайные величины Х, Y принимают только значения: X
– от 1 до 15 c равными вероятностями, Y – от 1 до 5 с равными вероятностями.
Найти Р(Х<Y).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке(-∞,∞). На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(х) =
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
.
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X);
98
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
8
X
-1 0 1 2
P
0,2 0,1 0,3 0,4
2
x
.
4
,0
,40,2cos
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α; β),
где α = 0; β =
.
6) найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение
нормально распределенной случайной величины Х, если известно, что
Р(Х>50) = 0,2, а Р(Х<30) = 0,3.
Вариант 7
1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Найти М(Y) и D(Y) случайной величины Y = 2Х.
2. Независимые случайные величины X,Y принимают только целые зна-
чения: X - от 1 до 13 с равными вероятностями, Y - от 1 до 16 с равными вероятностями. Найти Р(Х + Y < 6).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0;π]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F (x) = 1 – cos
Найти функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(Х);
.
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
99
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α;β),
8
X
-2 0 1
3
Р
0,1
0,5
0,3
0,1
2
x
.
6
,0
,
6
0,3cos
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
12
где α = 0; β =
.
6) найдите функцию распределения F(х) и постройте ее график.
5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2 мм. Показания
прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того,
что при этом будет сделана ошибка, меньшая 0,04 мм.
Вариант 8
1. Задан закон распределения случайной величины Х:
Найти М(Х), D(X) и М(Х2 – 3Х).
2. Независимые случайные величины Х,Y принимают только целые
значения: X - от - 7 до 7 с равной вероятностью, Y - от - 6 до 6 с равной
вероятностью. Найти Р(Х Y = 0).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0; π]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) = sin
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(X);
. Найти
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α ; β),
где α = 0; β =
.
100
6) найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
X 2 3 5 6
Р
0,4
0,2
0,2
0,1
.
8
,0
,
8
0,4cos
,0,0
)(
x
xxa
x
xf
16
5. Автобус некоторого маршрута идет строго по расписанию с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший на остановку,
будет ждать очередной автобус менее трех минут.
Вариант 9
1. Задан закон распределения случайной величины Х:
Найти σ(Х) и D(3X - 5).
2. Независимые случайные величины Х,Y принимают только целые
значения: X - от -8 до 6 с равными вероятностями, Y - от -5 до 9 с равной вероятностью. Найти Р(Х Y > 0).
3. Случайная величина X сосредоточена на промежутке [0; ∞]. На этом
промежутке функция распределения задаётся выражением: F(x) = 1- e
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию.
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией
Найдите:
1) параметр а;
2) математическое ожидание М(X);
-2x
. Найти
3) дисперсию D(X);
4) среднее квадратичное отклонение σ(Х);
5) вычислите вероятность попадания величины X в интервал (α ; β),
где α = 0; β =
6) найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]