Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
31
.)(,)( aХDaXM
pqp
k
k
1
.)(,
1
)(
2
p
q
XD
p
XM
,0при,0
,0при,
)(
x
xe
xf
x
ния.распределеданногопараметр0где
.0при,0
,0при,1
)(
x
xe
xF
x
Распределение Пуассона применяется в том случае, когда число опытов
велико, а вероятность наступления события в каждом из них мала.
Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение G(p), если она принимает счетное число значений: 1, 2, …, m,… с соответ-
ствующими вероятностями:
,
где k=1, 2, …, 0<p<1, q=1‒p.
Основные числовые характеристики ДСВ Х, имеющей геометрическое
распределение
6.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение
E(λ), если ее плотность вероятности f(x) имеет вид
Функция показательного распределения НСВ Х вычисляется по формуле
32
Важнейшие числовые характеристики показательного распределения:
.
1
)(,
1
)(,
1
)(
2
xXDXM
].,[при,0
],,[при,
1
)(
bax
bax
ab
xf
.при,1
,при,
,при,0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
.
12
)(
)(,
2
)(
2
ab
XD
ba
XM
2
2
2
)(
2
1
)(
ax
exf
axax
dtexF
x
at
0
2
)(
5,0
2
1
)(
2
2
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение
U(a,b), если ее плотность вероятности постоянна на отрезке [a,b] и равна
нулю вне этого отрезка:
Функция распределения НСВ Х, распределенной равномерно, имеет вид
Основные числовые характеристики равномерного распределения:
Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет непрерывное распределение
N(a,), если ее плотность вероятности имеет вид
Функция распределения для нормально распределённой НСВ Х выражается формулой
.
,
где функция 0 – это функция Лапласа, обладающая следующими свойствами:
1) 0( – x) = –0(x);
33
2) 0( +∞) = 0,5.
.
2
1
)(
0
2
0
2
x
t
dtex
.)(,)(
2
XDaXM
njmiyYxXPp
jiij
...,,1,...,,1),,(
min
j
ij
p
1 1
.1
Функция Лапласа определяется формулой
Значения функции Лапласа представлены в [3] (Приложение 2).
Основные числовые характеристики нормального распределения:
7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
7.1. СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Если результат опыта описывается не одной, а несколькими случайными
величинами, то речь идёт о системе случайных величин.
Мы будем рассматривать системы двух случайных величин (Х, Y) или
двумерные случайные величины (Х,Y).
Геометрически система двух случайных величин (Х, Y) интерпретируется как случайная точка на плоскости.
Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, Y)
в случае конечного числа значений задается с помощью формулы
или с помощью таблицы с двойным входом (табл. 5), где
34
Таблица 5
Х/Y
y
1
y2 … yn
x
1
p
11
p12 … p1n
x
2
p21
p22 … p2n … … … … … x
m
pm1
pm2
…
pmn
.),(
xx yy
ij
i j
pyxF
1),(0 yxF
;если),,(),(
1212
xxyxFyxF
.если),,(),(
1212
yyyxFyxF
).,(),(),(),(),(
111221222121
yxFyxFyxFyxFyYyxXxP
....,,1;...,,1,
)(
),(
)/( minj
xXP
yYxXP
xXyYP
i
ji
ij
Функция распределения F(X,Y) системы двух ДСВ (Х,Y) находится
суммированием всех вероятностей pij, для которых xi<x, yj<y, то есть
Свойства двумерной функции распределения
1.
;
2. F(X,Y) – неубывающая функция по каждому из своих аргументов (при
фиксированном другом аргументе):
Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник D со
сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:
Условным законом распределения ДСВ Y при условии Х=хi называется
совокупность вероятностей
Аналогично определяется условный закон распределения ДСВ X при
условии Y=yj.
Математическим ожиданием двумерной ДСВ (Х,Y) называют совокуп-
ность двух математических ожиданий М(Х) и М(Y):
35
.][и][
1 11 1
min
j
ijj
min
j
iji
pyYМpxXМ
Дисперсия системы ДСВ (Х,Y):
.])[(][и])[(][
1 1
2
1 1
2
min
j
ijj
min
j
iji
pYMyYDpXMxXD
.])[(][][и])[(][][
2222
YMYMYDXMXMXD
n
j
ijjii
xypyxYMxXYМ
1
),/(]/[]/[
)./()/(
ijij
xXyYpxyp
m
i
jiijj
yxpxyXMyYXМ
1
)./(]/[]/[
min
j
ijjiXY
pYMyXMxK
1 1
.])[(])[(
].[][][ YMXMXYMK
XY
Дисперсию системы ДСВ (Х,Y) можно найти по формулам:
Условное математическое ожидание двумерной ДСВ Y при условии
Х=х
определяется равенством:
i
где
Аналогично
Для оценки тесноты связи между величинами Х и Y служит корре-
ляционный момент К
Для системы ДСВ (Х,Y) ковариация вычисляется по формуле
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле
(или ковариация cov(Х,Y)).
XY
Если К
=0, то СВ Х и Y независимы (некоррелированные) и наоборот.
XY
Коэффициент корреляции r
двух случайных величин Х и Y есть безраз-
XY
мерная величина, определяемая равенством
36
,
yx
XY
XY
K
r
X/Y 1 2
3
1
0,24
0,05
0,11
2
0,32
0,15
0,13
где x и y – среднеквадратические отклонения соответственно величин X и Y.
Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости
случайных величин Х и Y.
Свойства коэффициента корреляции
1. –1 ≤ r
2. Если r
≤ 1;
XY
=0, то Х и Y – независимые случайные величины;
XY
3. Если |rXY| =1, то случайные величины Х и Y связаны линейной зависимостью
Y=aX+b.
Пример. Закон распределения системы двух дискретных СВ (X, Y)
задан таблицей распределения (табл. 6).
Таблица 6
Найти:
1) законы распределения случайных величин X и Y;
2) математические ожидания M[X] и M[Y];
3) дисперсии D[X] и D[Y];
4) среднеквадратические отклонения [X] и [Y];
5) ковариацию КXY и коэффициент корреляции rXY.
Решение
1) Случайная величина X принимает значения x1 = 1 и x2 = 2. Вероятности
этих значений соответственно равны: p1= p11+p12+p
= 0,24+0,05+0,11=0,4,
13
p2 = p21+p22+p23=0,32+0,15+0,13=0,6.
Закон распределения для СВ X (табл. 7).
37
Таблица 7
X 1
2
pi 0,4
0,6
Y 1 2 3
pi 0,56
0,2
0,24
;49,024,0][][ XDX
;835,06976,0][][ YDY
:][][][ YMXMXYMK
XY
,00489,0
409,0
002,0
835,049,0
002,0
yx
XY
XY
K
r
Аналогично находим закон распределения для СВ Y, принимающей значения y1 = 1, y2 = 2 и y3 = 3 (табл. 8) .
Таблица 8
2) Найдем математические ожидания.
M[X] = 10,4+20,6=1,6;
M[Y] = 10,56+ 20,2+30,24=1,68;
3) Вычисляем дисперсии.
D[X] = 120,4+220,6 – (1,6)
2
= 0,24;
D[Y] = 120,56+220,2+320,24 – (1,68)2 = 0,6976;
4) Среднеквадратические отклонения находим по формулам:
5) Найдем КXY, используя формулу
К
= 110,24+120,05+130,11+210,32+220,15+230,13 – 1,61,68=
XY
= 2,69 – 2,688 = 0,002.
Находим коэффициент корреляции.
т. е. rXY 0,005.
38
7.2. СИСТЕМЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
).,(
),(
),(
2
yxF
yx
yxF
yxf
XY
0),( yxf
.1),( dxdyyxf
x
y
dudvvufyxF .),(),(
.0)( где,
)(
),(
)/(
1
1
xf
xf
yxf
xyf
.0)( где,
)(
),(
)/(
2
2
yf
yf
yxf
yxf
.),()(и),()( dxdyyxfyYMdxdyyxfxXM
Закон распределения системы двух непрерывных СВ (X, Y) удобно зада-
вать с помощью плотности распределения.
Плотностью распределения вероятностей системы двух непрерывных
СВ (Х, Y) называется вторая смешанная производная ее функции распределения
Свойства двумерной плотности распределения вероятностей
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:
.
2. Двойной несобственный интеграл от плотности распределения в пре-
делах от
до
равен единице:
Функция распределения системы двух непрерывных СВ (Х, Y) вычисля-
ется по формуле:
Условная плотность НСВ Y при условии Х=х определяется равенством
Аналогично
Математическое ожидание двумерной НСВ (Х,Y):
39
Ее дисперсия определяется формулой:
.))((),(),())(()(
222
XMdxdyyxfxdxdyyxfXMxXD
.))((),(),())(()(
222
YMdxdyyxfydxdyyxfYMyYD
.)/()/( dyxyfyxYМ
.)/()/( dxyxfxyXМ
.),())())((( dxdyyxfYMyXMxK
XY
Условное математическое ожидание двумерной НСВ Y при условии Х=х
определяется равенством:
Аналогично
Корреляционный момент КXY (или ковариация cov(Х,Y) для системы НСВ
(Х,Y) вычисляется по формуле
8. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ
8.1. ИДЗ № 1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Варианты 1–15
В корзине m красных и п синих шаров. Наудачу вынимают k шаров.
Составить закон распределения ДСВ Х – появление синих шаров (табл. 9).
40
Варианты 16–30
№ варианта
M n K
№ варианта
M N K 1 4 3 3
16
11 8 3
2
2 4 3
17
12 9 4
3
5 2 4
18
9 5 3 4 6 3 3
19
8 4 4
5
2 3 3
20
10 6 3
6
5 4 4
21
9 7 4 7 5 3 4
22
13
10
3
8
6 2 3
23
7 5 4
9
3 4 4
24
15
13
3
10
4 2 4
25
12 8 4
11
6 4 3
26
9 6 3
12
7 8 4
27
12
10 4 13
5 6 3
28
8 7 3
14
5 9 4
29
10 9 4
15
7 6 3
30
11 5 3
В партии из т деталей имеется п стандартных. Наудачу отобраны k деталей. Составить закон распределения ДСВ Х – число стандартных деталей
среди отобранных (табл. 9).
Таблица 9
1) построить многоугольник распределения;
2) вычислить математическое ожидание М[Х];
3) вычислить дисперсию D[X];
4) вычислить СКО [X];
5) составить функцию распределения F(X) и построить ее график.
8.2. ИДЗ № 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Для непрерывной СВ Х с плотностью распределения f(x), отличной от
нуля при a ≤ x ≤ b выполнить следующие задания:
1) найти значение постоянной С;
2) записать функцию плотности и построить её график;
3) найти функцию распределения и построить её график;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]