Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
21
Тогда искомая вероятность равна
9704,0)4713,0(4991,0)()()550;470(
1000
xxP
n
m
0
p
n
m
P
p
n
m
p
n
m
n
pnm
pq
n
pq
n
npq
pnm
pq
n
pq
n
x
pq
n
x
.
4.4. ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых ве-
роятность появления события А постоянна и равна р (0<p<1). Найдем вероят-
ность того, что отклонение относительной частоты
от постоянной
вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа
т.е. необходимо определить вероятность
Выпишем неравенство
,
.
далее
или
.
Умножая это двойное неравенство на положительный множитель
, получим неравенство, равносильное исходному
,
,
где q=1–p.
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра – Лапласа, указанной в
замечании (см. выше).
Пусть
и
, тогда
22
.2
2
2
2
1
)/(
0
2/
)/(
)/(
2/
2
2
pq
n
dze
dze
pq
n
npq
npm
pq
n
P
pqn
z
pqn
pqn
z
pq
n
p
n
m
P
2
)17,2(2
8,02,0
300
05,025,02,0
300
m
P
4850,0)17,2(
97,04850,025,02,0
300
m
P
Заменив двойное неравенство, заключенное в скобках, равносильным
исходным неравенством, окончательно получим
.
Пример. Вероятность того, что деталь не стандартна, р = 0,2. Найти
вероятность того, что среди случайно отобранных 300 деталей относительная
частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности р по
абсолютной величине не более чем на 0,05.
Решение. По условию задачи п = 300, р = 0,2, тогда q = 0,8, ε = 0,05.
Тогда
.
По таблице ([3], Приложение 2) находим
. Таким образом,
.
Данный результат означает, что если взять достаточно большое количество проб по 300 деталей в каждой, то примерно в 97% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р=0,2 по абсолютной
величине не превысит 0,05.
23
5. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Случайная величина
Дискретная
Дискретной случайной величи-
ной (ДСВ) называют случай-
ную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с
определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или
бесконечным.
Непрерывная
Непрерывной случайной вели-
чиной (НСВ) называют случай
ную величину, которая может
принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка: [a, b]
или (
;
).
Число возможных значений
бесконечно.
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Случайной величиной (сокращенно СВ) называют такую величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное
числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно и зависящее
от случайных причин.
Пример. Число родившихся мальчиков среди 10 новорожденных – это
случайная величина. Ее возможные значения: 0, 1, 2, …, 10.
Обозначения: X, Y, Z,… – случайные величины; x, y, z,… или х1, х2, х3, …
– возможные значения случайной величины.
В зависимости от возможных значений различают два вида случайных
величин (рис. 1):
Рис. 1. Виды случайных величин
Рассмотрим способы задания дискретной случайной величины (ДСВ).
5.2. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
24
Поскольку случайные величины могут иметь одинаковые списки
n
xxx ,,,
21
n
ppp ,,,
21
Х
х
1
х
2
…
х
п
Р
р
1
р
2
…
р
п
.2,0
5
1
!3!3
!6
!3!1!4!0!2
!2
)2(
;6,0
5
3
!3!3
!6
!2!2!4!1!1
!2
)1(;2,0
5
1
!3!3
!6
!1!3!4!2!0
!2
)0(
3
6
1
4
2
2
3
6
2
4
1
2
3
6
3
4
0
2
C
CC
P
C
CC
P
C
CC
P
Х 0 1
2
Р
0,2
0,6
0,2
возможных значений, то для задания ДСВ недостаточно лишь перечислить
эти значения. Необходимо указать вероятности, которые принимают возможные значения случайной величины.
Законом распределения ДСВ Х называют соответствие между ее воз-
можными значениями
и их вероятностями
. Он
может быть представлен таблично (табл. 1), где р1+р2+…+ рп=1.
Таблица 1
Также закон распределения можно изобразить графически. Для этого
в декартовой системе координат строят точки (х1, р1), (х2, р2), …, (хп, рп), а
затем соединяют их отрезками. Таким образом, получают многоугольник
распределения.
Пример. В корзине 4 белых и 2 черных шара. Наудачу вынимают 3 шара.
Составить закон распределения ДСВ Х – появление черных шаров. Построить
многоугольник распределения.
Решение. Среди трех шаров могут быть 0, 1 или 2 черных шара, т.е.
возможные значения ДСВ Х определены. Вычислим их вероятности:
Закон распределения сведем в таблицу (табл. 2).
Таблица 2
25
Построим многоугольник распределения (рис. 2)
.][
1
2211 i
n
i
inn
pxpxpxpxXM
CCM ][
][][ XMCXCM
][][][ YMXMYXM
][][][ YMXMYXM
Рис. 2. Многоугольник распределения ДСВ Х
При решении различных задач, когда закон распределения неизвестен,
пользуются числовыми характеристиками.
Математическим ожиданием ДСВ Х называют сумму произведений
всех ее возможных значений на их вероятности:
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания:
.
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их
математических ожиданий:
.
Дисперсией ДСВ Х называется математическое ожидание квадрата от-
клонения случайной величины от ее математического ожидания:
26
2
]][[][ XMXMXD
.
22
])[(][][ XMXMXD
0][ CD
][][
2
XDCXCD
][][][ YDXDYXD
][][][ YDXDYXD
][][ XDX
Х 2 3
10
Р
0,1
0,4
0,5
На практике для вычисления дисперсии можно использовать следующую формулу:
.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя
его в квадрат:
.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин:
.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме
их дисперсий:
.
Средним квадратическим отклонением ДСВ Х называют квадратный
корень из дисперсии:
.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной
величины (характеристика положения). Дисперсия и среднее квадратичное
отклонение характеризуют рассеяние случайной величины около среднего
значения (характеристики рассеяния).
Пример. Вычислить числовые характеристики ДСВ Х, заданной законом
распределения (табл. 3), где р1+р2+…+ рп = 0,1+0,4+0,5 = 1.
Таблица 3
27
Решение. Математическое ожидание
4,65,0104,031,02][
332211
pxpxpxXM
.04,13)4,6(5,0104,031,02
])[(])[(][][
2222
2
3
2
32
2
21
2
1
22
XMpxpxpxXMXMXD
61,304,13][][ XDX
)()( xXPxF
]1;0[
1)(0 xF
)(xF
)()(
12
xFxF
12
xx
),( ba
)()()( aFbFbXaP
)62( XP
.
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
.
5.3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Дискретная случайная величина может быть задана списком ее значений
и соответствующих им вероятностей. Однако такой способ не применим к
непрерывным величинам, принимающим бесконечное число значений из
некоторого промежутка. Поэтому существует общий способ задания случайной
величины любого вида.
Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(х),
определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате
испытания примет значение, меньшее х, т.е.
.
Свойства функции распределения
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку
2.
– неубывающая функция, т.е.
, если
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал
:
.
.
равна
приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:
.
Пример. ДСВ Х задана законом распределения (табл. 4). Найти функ-
цию распределения и построить ее график. Вычислить
.
28
Х 1 3 5 7 Р 0,1
0,4
0,2
0,3
1x
0)( xF
31 x
1,0)( xF
53 x
5,04,01,0)( xF
75 x
7,02,04,01,0)( xF
7x
1)( xF
.7,1
,75,7,0
,53,5,0
,31,1,0
,1,0
)(
x
x
x
x
x
xF
6,01,07,0)2()6()62( FFXP
Решение. Найдем функцию распределения:
Таблица 4
если
если
если
если
если
, то
, то
;
;
, то
, то
, то
.
Окончательно получаем
Построим график (рис. 3).
;
;
Рис. 3. График функции распределения случайной величины Х
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал:
.
29
5.4. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
)(xF
)(xf
)()( xFxf
x
dxxfxF )()(
0)( xf
1)(
dxxf
),( ba
dxxfbXaP )()(
dxxxfXM )()(
dxxfXMxXD )())(()(
2
22
))(()()( XMdxxfxXD
)()( XDX
Непрерывная случайная величина может быть задана функцией распределения
или плотностью распределения
.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной вели-
чины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распреде-
ления F(x):
.
Зная плотность, можно найти функцию распределения по формуле
.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:
.
2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от
до
равен единице:
.
Вероятность попадания НСВ Х в интервал
Числовые характеристики
Математическое ожидание НСВ Х:
Дисперсия НСВ Х:
или
:
.
.
.
Среднее квадратическое отклонение НСВ Х:
.
30
Свойства
)(XM
)(XD
][XM
][XD
knkk
nk
qpCp
.)( pnXM
.)( qpnXD
,
!k
ea
p
akk
и
аналогичны свойствам
и
.
6. ВАЖНЕЙШИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
6.1. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Биномиальное распределение
Дискретная СВ Х имеет биномиальное распределение B(n,p), если она
принимает значения: 0, 1, 2,…, n с соответствующими вероятностями:
,
где 0<p<1, q=1‒p, k=0, 1, 2, …, n.
Математическое ожидание ДСВ Х, имеющей биномиальное распре-
деление, вычисляется по формуле:
Дисперсия ДСВ Х биномиального распределения:
Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона P(a),
если она принимает счетное число значений: 0, 1, 2,…, k, … с соответствующими вероятностями:
где k=0, 1, 2, …; a=np.
Основные числовые характеристики ДСВ Х, имеющей распределение
Пуассона
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]