Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории вероятностей. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
11
20
9
20
4
20
5
)()()( BPAPCP
.
1)()()(
21
n
APAPAP
.2,03,05,01)()(1)(
,1)()()(
213
321
APAPAP
APAPAP
1)()( APAP
.2,08,011)(1)(
,8,0)(
qpAPAP
pAP
Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих пол-
ную группу, равна единице:
.
Пример. В магазин поступает продукция с трех оптовых баз. Вероятность
получения продукции с первой базы равна 0,5, со второй – 0,3. Найти
вероятность того, что продукция будет получена с третьей базы.
Решение. Введем события: А1={продукция с первой базы},
А
={продукция со второй базы}, А3={продукция с третьей базы}. Эти три
2
события образуют полную группу, тогда по теореме получаем
Противоположными называют два единственно возможных события,
образующих полную группу. Обычно их обозначают так: A и A.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна еди-
нице:
.
Пример. Вероятность того, что день будет ясным, равна р=0,8. Найти
вероятность q того, что день будет неясным.
Решение. Введем события: A={день ясный}, A={день неясный}. Тогда
имеем
2.2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ
Произведением двух событий А и В называют событие (АВ), состоящее
в совместном появлении этих событий.
12
Пример. Если А={стандартная деталь}, В={окрашенная деталь}, то
)(BP
A
7
3
34
3
)(
BP
A
)()()( BPAPABP
A
.
33
5
11
4
12
5
)()()(
,
11
4
34)15(
4
)(,
12
5
345
5
)(
BPAPABP
BPAP
A
A
)()( BPBP
A
)()()( BPAPABP
АВ={деталь стандартная и окрашенная}.
Условной вероятностью
называют вероятность события В при
условии, что событие А уже произошло.
Пример. В урне 5 красных и 3 зеленых шара. Из урны два раза вынимают
по одному шару. Найти вероятность появления зеленого шара при втором
испытании, если первый шар – красный.
Решение. Введем события А={шар красный}, В={шар зеленый}. Так как
после первого испытания в урне осталось 4 красных и 3 зеленых шара, то
.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна про-
изведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:
.
Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Вынимают 2 шара.
Найти вероятность того, что второй шар черный, а первый – белый.
Решение. Введем события: А={белый шар}, В={черный шар}. Тогда
Событие В называют независимым от события А, если появление
события А не изменяет вероятности события В, т.е.
.
Для независимых событий теорема умножения имеет вид
.
Два события называются независимыми, если вероятность их совмещения
равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события
называют зависимыми.
13
Пример. Какова вероятность поражения цели двумя орудиями, если
.54,09,06,0)()()(
,9,0)(,6,0)(
BPAPABP
BPAP
n
AAA ,...,,
21
n
qqqAP ...1)(
21
n
qAP 1)(
6,0,75,0,7,0
321
ppp
321
,, AAA
4,06,011,25,075,011,3,07,011
332211
pqpqpq
вероятность поражения цели первым орудием равна 0,6, а вторым – 0,9?
Решение. Введем события: А={цель поражена первым орудием}, В={цель
поражена вторым орудием}. Тогда искомая вероятность
2.3. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ
Пусть в результате испытания могут появиться п событий, независимых
в совокупности, либо некоторые их них (в частности, только одно или ни
одного), причем вероятности появления каждого из событий известны.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1,
А2, …, А
произведением вероятностей противоположных событий
, независимых в совокупности, равна разности между единицей и
п
.
Следствие. Если события А1, А2,…,А
имеют одинаковую вероятность,
п
равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
.
Пример. Вероятности поражения цели каждым из трех стрелков
соответственно равны
. Найти вероятность того,
что хотя бы один стрелок попал в цель.
Решение. В условии задачи даны вероятности событий А1 = {первый
стрелок попал в цель}, А2 = {второй стрелок попал в цель}, А3 = {третий
стрелок попал в цель}. Тогда вероятности противоположных событий
будут равны
Искомая вероятность
.
14
97,003,014,025,03,011)(
321
qqqAP
.
)()()()( ABPBPAPBAP
)()()()()( BPAPBPAPBAP
)()()()()( BPAPBPAPBAP
A
0)( ABP
3. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
3.1. СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ
Два события называются совместными, если появление одного из них не
исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример. События А={появление туза из колоды карт} и В={появление
карты бубновой масти} являются совместными.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного появления:
.
Замечание 1. Совместные события А и В могут быть как независи-
мыми, так и зависимыми. Тогда для независимых событий
,
для зависимых событий
.
Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение в
одном испытании невозможно, т.е.
.
Пример. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,6. Найти
вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в цель, т. е., что
мишень поражена.
Решение. Введем события: А = {попал первый стрелок}, В = {попал
второй стрелок}. Так как события А и В совместны и независимы, то
15
.88,06,07,06,07,0
)()()()()()()()(
BPAPBPAPABPBPAPBAP
)()()()()()()(
21
21
APBPAPBPAPBPAP
n
BnBB
)()()()()( APBPBPAPABP
i
BiiAi
.,,2,1,
)(
)()(
)( ni
AP
APBP
BP
i
Bi
iA
3.2. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛЫ БАЙЕСА
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при
условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих
полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих
событий на соответствующую условную вероятность события А:
.
Эту формулу называют формулой полной вероятности.
Если требуется найти вероятность события Вi, когда известно, что
событие А произошло, тогда, используя теорему умножения, получим
,
откуда
.
Полученные формулы называют формулами Байеса.
Пример. На автозавод поступили двигатели с трех моторных заводов. С
первого – 10, со второго – 6, с третьего – 4. Вероятности безотказной работы
этих двигателей в течение гарантийного срока равны 0,9, 0,8, 0,7.
Какова вероятность того, что:
1) установленный на машину двигатель будет работать без дефектов в течение
гарантийного срока?
2) проработавший без дефектов двигатель изготовлен на первом заводе?
Решение. Введем события:
А={двигатель работает без дефектов}, В1={двигатель с первого завода},
В
={двигатель со второго завода}, В3={двигатель с третьего завода}. Тогда
2
16
.2,0
20
4
)(;3,0
20
6
)(;5,0
4610
10
)(
321
BPBPBP
Условные вероятности даны по условию
.7,0)(;8,0)(;9,0)(
321
APAPAP
BBB
.83,014,024,045,07,02,08,03,09,05,0
)()()()()()()(
321
321
APBPAPBPAPBPAP
BBB
.54,0
83,0
9,05,0
)(
)()(
)(
1
1
1
AP
APBP
BP
B
A
knkqp
1) по формуле полной вероятности
2) по формуле Байеса
4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
4.1. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А
в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие
испытания называют независимыми относительно события А.
Под сложным событием будем понимать совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых
событие А может появится либо не появиться. Пусть вероятность события А
в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность того, что событие А не наступит также постоянна и равна q = 1 – p.
Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n – k, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна
. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно соста-
17
вить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е.
k
n
C
.
)!(!
!
,)(
knk
n
C
qpCkP
k
n
knkk
nn
25,05,05,0
!3!1
!4
)1(
31311
44
qpCP
375,05,05,0
!2!2
!4
)2(
22222
44
qpCP
. Так как эти слож-
ные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех
возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
Пример. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по
четыре ребенка. Считая вероятности появления девочки и мальчика в семье
равными, определить вероятности появления в ней:
1) одной девочки;
2) двух девочек.
Решение. По условию задачи вероятности появления девочки и маль-
чика равны, т.е. пусть р=0,5 – вероятность появления девочки, а q=0,5 – вероятность появления мальчика. Тогда:
1) если в семье только одна девочка, то остальные – мальчики, т.е.
;
2) если в семье две девочки, то мальчиков тоже двое, т.е.
.
18
4.2. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА
)(kP
n
)(
1
2
11
2/
2
x
npq
e
npq
y
x
npq
npkx
2/
2
2
1
)(
xex
)(x
)()( xx
)(
1
)( x
npq
kP
n
npq
npkx
9,0
100
90
p
67,1
1,09,0400
9,0400350
x
)(x
0989,0)67,1()67,1(
При больших значениях п пользоваться формулой Бернулли достаточно
трудно, так как в этом случае потребуется выполнение действий над очень
большими числами. Поэтому в таких ситуациях можно воспользоваться следующей теоремой.
Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность р появления
события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, прибли-
женно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции
при
Имеются таблицы, в которых помещены значения функции
, соответствующие положительным значениям аргумента х.
Поскольку функция
- четна, то
.
Таким образом, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна
при
.
.
Пример. Пусть на каждые 100 семей холодильники имеют 90 семей.
Найти вероятность того, что из 400 семей ровно 350 имеют холодильники.
Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна
. Так как п = 400 и k = 350 достаточно велики, то воспользуемся
локальной теоремой Муавра-Лапласа, т.е. сначала находим
,
затем по таблице значений функции
([3], Приложение 1) определяем
.
19
В результате получаем искомую вероятность
0165,00989,0
1,09,0400
1
)350(
400
P
);(21kkP
n
1
k
2
k
);(21kkP
n
1
k
2
k
x
x
z
n
dzekkP
2/
21
2
2
1
);(
npq
npk
x
npq
npk
x
21
,
x
z
dzex
0
2/
2
2
1
)(
)(x
)()( xx
.
Такое малое значение вероятности объясняется тем, что помимо события
«Ровно 350 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий:
«0 из 400», «1 из 400», …, «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе
они образуют полную группу событий, сумма вероятностей которых равна 1.
4.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА
Пусть производится п испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А постоянна и равна р (0<p<1). Для вычисления вероятности
не более
того, что событие А появится в п испытаниях не менее
раз, необходимо воспользоваться следующей теоремой.
и
Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что событие А появится в п испытаниях от
до
раз, приближенно равна определенному интегралу
(*)
при
.
Существуют таблицы значений для интеграла
,
где функцию
поэтому
называют функцией Лапласа. Эта функция нечетна,
.
Преобразуем соотношение (*) для того, чтобы можно было пользоваться
таблицей значений функции Лапласа
20
).()(
2
1
2
1
2
1
2
1
);(
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
21
22
22
xxdzedze
dzedzekkP
x
z
x
z
x
z
x
z
n
1
k
2
k
)()();(
21
xxkkP
n
npq
npk
x
npq
npk
x
21
,
1
k
2
k
npq
npm
x
npq
npk
1
x
npq
npk
2
x
x
z
dzex
npq
npm
xP
2/
2
2
1
.16,3
5,05,01000
5,01000550
,90,1
5,05,01000
5,01000470
2
1
npq
npk
x
npq
npk
x
.4991,0)16,3()(
4713,0)90,1()90,1()(
xx
Таким образом, вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от
до
раз,
при
.
Замечание. Обозначим через т число появлений события А при п
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления
события А постоянна и равна р. Если число т изменяется от
дробь
изменяется от
до
. Следовательно,
до
, то
интегральную теорему Муавра – Лапласа можно записать и так
.
Пример. По результатам проверок налоговой инспекцией установлено, что
в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистриро-ванных
малых предприятий имеют такие нарушения от 470 до 550 предприятий.
Решение. По условию задачи р =0,5. Найдем аргументы функции Лапласа
Значения функции Лапласа найдем из таблицы ([3], Приложение 2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]