Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитные поля и волны. Ч.2. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Рязанский государственный радиотехнический университет
им. В.Ф. Уткина
Т.А. ГЛЕБОВА, Д.А. МОРОЗОВ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ. ЧАСТЬ 2.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Учебное пособие
РЕКОМЕНДОВАНО
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИМ СОВЕТОМ
ФГБОУ ВО "РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Ф. УТКИНА"
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ 11.03.04 "ЭЛЕКТРОНИКА И НАНОЭЛЕКТРОНИКА"
(КВАЛИФИКАЦИЯ - БАКАЛАВР)
Рязань 2023
УДК 621.3.01.372
Электромагнитные поля и волны. Часть 2. Лабораторный практикум:
учеб. пособие/ Т.А. Глебова, Д.А. Морозов; Рязан. гос. радиотехн. ун-т им.
В.Ф. Уткина.- Рязань, 2023. - 80 с.
Изложены теоретические сведения, описание экспериментальных
установок и методика выполнения четырех лабораторных работ по курсу
"Электромагнитные поля и волны. Часть 2".
Предназначено для направления подготовки бакалавров 11.03.04
«Электроника и наноэлектроника».
Ил. 42. Библиогр.: 16 назв.
Частотный спектр, модуляция, направляемые волны, прямоугольный
волновод, фазовая скорость, дисперсионная характеристика, бегущая волна,
стоячая волна, дипольный излучатель, дальняя и ближняя зоны излучения,
вектор Пойнтинга, поляризация, диаграмма направленности, сопротивление
излучения, волновой фронт, фазированная антенная решетка
Печатается по решению научно-методического совета Рязанского
государственного радиотехнического университета.
Рецензенты: профессор кафедры автомобильной техники ФКГОУ ВО
«Рязанское высшее воздушно-десантное Ордена Суворова дважды
Краснознаменное командное училище имени генерала армии В.Ф.
Маргелова» д-р физ.-мат. наук, профессор С.С. Волков, профессор кафедры
промышленной электроники ФГБОУ ВО "Рязанский государственный
радиотехнический университет им. В. Ф. Уткина" д-р физ.-мат. наук,
профессор Е.В. Мамонтов
Г л е б о в а Татьяна Александровна
М о р о з о в Дмитрий Александрович
Электромагнитные поля и волны. Часть 2. Лабораторный практикум
Редактор М.Е. Цветкова
Корректор С.В. Макушина
Подписано в печать 20.05.23. Формат бумаги 60х84 1/16.
Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 5,0.
Тираж 40 экз. Заказ 4246.
Рязанский государственный радиотехнический университет.
390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
Редакционно-издательский центр РГРТУ.
© Рязанский государственный
радиотехнический университет, 2023
Лабораторная работа № 1
)sin()(
1111
tAtf
m
1m
A
1
Спектры сигналов при различных видах модуляции
Цель работы
Изучить спектры сигналов при амплитудной и угловой модуляции.
1. Теоретическая часть
1.1. Общие сведения
Под электрическим сигналом понимают изменение во времени параметров электромагнитного поля по определенному закону. Сигналы можно
описать двумя способами: в виде временной формы (описание изменения
параметров сигнала как функции времени) либо в виде спектральной фор-
мы (представление в виде спектра простых колебаний).
Для исследования частотных свойств сигналов используют спек-
тральное представление функции с помощью преобразования временной
формы в частотную - преобразование Фурье. Преобразование основывается на том, что любой периодический сигнал f(t) на произвольно заданном
интервале времени можно записать в виде суммы простых гармонических
колебаний. При этом частоты суммируемых гармонических колебаний
кратны, то есть базис преобразования образуют ортогональные гармонические функции: 1, cos(ωt), cos(2ωt), ..., cos(nωt), ..., sin(ωt), sin(2ωt), ...,
sin(nωt) (ω=(2π)/Т, где Т – период колебания).
В графическом виде спектр представляется в виде двух графиков:
график амплитудного и фазового частотных спектров сигнала или, иначе,
спектр амплитуд и спектр фаз. По виду спектры бывают дискретными и
сплошными. У дискретного спектра можно выделить отдельные составля-
ющие, у сплошного - нельзя: они располагаются настолько близко, что
сливаются друг с другом. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные (на практике такие спектры ограничивают).
1.2. Спектральное представление периодических негармонических
сигналов
Рассмотрим простейший случай - одночастотный гармонический сигнал (то есть колебание с частотой ω1 = const). Временная запись
такого сигнала:
где
- амплитуда сигнала,
- его начальная фаза.
, (1)
4
1m
A
1
)
2
2sin()(
122
tAtf
m
1
0
sincos
2
)(
n
nn
tnbtna
a
tf
2/
2/
0
)(
2
T
T
dttf
T
a
2/
2/
cos)(
2
T
T
n
tdtntf
T
a
2/
2/
sin)(
2
T
T
n
tdtntf
T
b
а б
Рис. 1. Спектральное представление монохроматических гармонических
колебаний вида: а)
)sin()(
1111
tAtf
m
; б)
)
2
2sin()(
122
tAtf
m
В спектре такого сигнала присутствует только одна составляющая с
частотой ω1. При построении спектра необходимо учитывать связь между
временной диаграммой сигнала (осциллограмма) и спектром амплитуд.
Высота составляющей в спектре амплитуд соответствует значению
в спектре фаз -
. Графическое временное и спектральное представление
, а
одночастотного сигнала приведено на рис. 1, а. При увеличении частоты
сигнала его спектральная составляющая будет удаляться по оси частот от
нуля. Для примера – временное и частотное представление сигнала удвоенной частоты, вида
(2)
приведено на рис. 1, б.
Любой периодический негармонический сигнал, удовлетворя-
ющий в пределах периода Т условиям Дирихле, может быть представлен в
виде разложения по тригонометрическим функциям вида
, (3)
где n = 1, 2, 3... . Этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье.
Коэффициенты ряда определяются по следующим формулам:
; (4)
; (5)
. (6)
5
1
sin)(
n
n
tnbtf
1
0
cos
2
)(
n
n
tna
a
tf
1
0
)cos(
2
)(
n
nn
tnA
a
tf
22
nnn
baA
n
n
n
a
b
arctg
Интегрировать можно не только от -Т/2 до Т/2, но и по любому отрезку, длина которого равна периоду Т. Из такого выбора отрезка интегрирования следуют два свойства, которые упрощают вычисления коэффициентов ряда Фурье в случае, когда функция f(t) удовлетворяет условиям нечетности или четности.
Если функция f(t), описывающая сигнал, является нечетной, то есть
f(t)= -f(-t) , то коэффициенты a0 = 0 и an = 0, тогда в разложении (3) остают-
ся только синусоидальные составляющие:
. (7)
Если функция f(t), описывающая сигнал, является четной, то есть
f(t)=f(-t), то коэффициенты bn=0 и в разложении (3) остаются только постоянная и косинусоидальные составляющие:
. (8)
Для практического применения лучше подходит другая форма запи-
си тригонометрического ряда Фурье:
, (9)
где амплитуда Аn и фаза φn n-й гармонической составляющей связаны с коэффициентами следующими соотношениями:
и
. (10)
Следовательно, любой периодический сигнал f(t) содержит не зависящую
от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник, с частотами ωn = nω1 (n = 1,
2,...), кратными основной частоте периодического сигнала. Спектральную
составляющую с частотой ω1 называют основной гармоникой, а составляющие с частотами ωn = nω1 (n > 1) – высшими гармониками периодическо-
го сигнала.
Совокупности величин An и φn (n = 1, 2...) - это соответственно амплитудный и фазовый частотные спектры сигнала. Графически частотные
спектры изображают в виде отрезков An, φn, проведенных перпендикулярно
к оси, на которую наносятся значения 0, ω1, ω2 = 2ω1, ω3 = 3ω1 ... ωn = nω1.
Спектр периодического сигнала называется линейчатым или дискретным,
так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам ω = nω1. Графическое изображение амплитудного и фазового частот-
6
а б
Рис. 2. Спектральные диаграммы периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая
Рис. 3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.
Начало отсчета выбрано таким образом, что функция f(t) четная
ных спектров принято называть амплитудной и фазовой спектральными
диаграммами (см. рис. 2).
Между периодическими сигналами и их частотными спектрами
существует взаимно однозначное соответствие: периодический сигнал f(t)
полностью определяет ее частотные спектры и, наоборот, зная частотные
спектры, можно определить, какому периодическому сигналу они принадлежат. Это соответствие позволяет обработку заданных во времени сигналов заменять операциями с их частотными спектрами.
Спектр сигналов, описываемых относительно гладкими функциями,
быстро убывает (с ростом номера амплитуды гармоник быстро стремятся к
нулю). Для передачи быстро изменяющихся («изрезанных») сигналов и
коротких фронтов импульсов требуются гармоники высших частот со значительными амплитудами, что приводит к медленному убыванию спектра.
В качестве примера найдем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой D, длительностью τ и периодом следования Т (рис. 3).
7
2/
2/
0
2
2
T
DDdt
T
a
2/
2/
sin
2
2/
)2/sin(2
)cos(
2
T
n
n
D
n
n
T
D
dttnD
T
a
n
,sin
2
T
n
n
D
aA
nn
)
2
cos()sin(
2
)(
1
t
T
n
T
n
n
D
T
Dtf
n
1
)
2
cos()sin(
2
)(
n
t
T
n
q
n
n
D
q
D
tf
Рис. 4. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.
Начало отсчета выбрано таким образом, что функция f(t) нечетная
На интервале (-Т/2, Т/2) сигнал описывается функцией
f(t) = D при - τ/2 ≤ t ≤ τ/2;
f(t) = 0 при -Т/2 ≥ t < -τ/2 и τ/2 > t ≤ T/2.
Спектр будет зависеть в том числе от выбора начала отсчета. В
нашем случае функция f(t) является четной, поэтому ряд Фурье содержит
только постоянную и косинусоидальные составляющие. Коэффициенты
ряда вычисляются по формулам:
; (11)
. (12)
Амплитуды гармонических составляющих равны:
n=1,2,3... , (13)
при этом фазы всех гармоник будут равны нулю, поскольку arctg 0=0.
Таким образом, ряд Фурье для данного вида сигнала будет иметь
вид:
(14)
или
, (15)
где величина q = T/τ называется скважностью последовательности импульсов. Если начало отсчета выбрать таким образом, что последователь-
ность прямоугольных импульсов f(t) будет нечетной функцией (см. рис. 4),
то ряд Фурье будет иметь следующий вид:
8
1
)
2
sin()
2
co s(1)(
n
t
T
n
q
n
n
D
tf
Рис. 5. Суммирование гармоник периодического сигнала: а - исходный сигнал;
б - первая гармоника; в - результат сложения 1-й и 3-й гармоник; г - результат
сложения 1-й, 3-й и 5-й гармоник; результат сложения 1-й, 3-й, 5-й и 7-й гармоник
. (16)
На рис. 5 показано, как происходит суммирование гармоник.
Такое представление называется частичными суммами ряда, по-
скольку в формировании функции участвуют не все члены ряда, а лишь
9
/q
)/qsin(2
n
n
q
D
Рис. 6. Спектр периодической последовательности прямоугольных
импульсов
несколько первых. Видно, что с увеличением n разложение Фурье все точнее будет описывать исходную функцию.
На рис. 6 показан пример графика спектра амплитуд последовательности прямоугольных импульсов. Форма спектра обозначается огибающей
в виде пунктирной линии, плавно соединяющей вершины гармонических
составляющих. Огибающая, как следует из выражения (15), описывается
формулой
, то есть спектр имеет "лепестковый" характер.
Такие спектры имеют ряд особенностей. Для любых параметров последовательности прямоугольных импульсов расстояние между соседними
гармониками составляет 1/Т (для круговой частоты ω соответственно 2π/T),
амплитуды гармоник при f = n/τ, (для ω соответственно 2πn/τ) , где n = 1, 2,
3..., обращаются в ноль. Количество гармонических составляющих в "лепестке" зависит от скважности q. Ширина "лепестка" спектра обратно пропорциональна длительности импульса.
Спектр последовательности прямоугольных импульсов является
дискретным и неограниченным. (Вообще, спектры любых периодических
сигналов имеют дискретный характер). Обычно на практике за ширину
спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два
первых "лепестка", поскольку в них содержится около 95 % энергии сигнала.
10
T
T
T
t0
dtbtatf )sin)(cos)(()(
0
0
))(cos()(()(
dtАtf
)()()(
22
baA
)(
)(
)(
a
b
arct
;0
1.3. Спектральное представление одиночных сигналов
Обобщение ряда Фурье на непериодические функции (например,
одиночный импульс) можно получить, если устремить период сигнала к
бесконечности
тре периодического сигнала равно 1/Т, тогда при
гармониками будет стремиться к нулю, то есть они будут сливаться. Таким
образом, отдельных гармоник в спектре одиночного импульса не будет,
этот спектр будет сплошным.
При переходе к пределу происходит качественный скачок: функция,
заданная на конечном интервале Т, раскладывается в ряд гармонических
колебаний с дискретными частотами; функция, заданная на всей временной оси t (при
. Расстояние между соседними гармониками в спек-
расстояние между
), раскладывается в интеграл Фурье (частоты при
этом непрерывно заполняют интервал
Интеграл Фурье можно записать в следующем виде:
или
где
- амплитуды,
- фазы гармоник,
при этом частоты изменяются непрерывно в интервале
ный спектр одиночного сигнала A(ω) называется его спектральной плотно-
стью.
, (18)
.
(17)
. Амплитуд-
Чем больше длительность сигнала, тем уже его спектр, и наоборот
- чем короче сигнал, тем больше ширина спектра. Произведение ширины
спектра и длительности импульса есть константа, близкая к единице.
1.4. Модуляция сигналов
В силу особенностей генерации и распространения электромагнитных волн для передачи информации (радиосвязи) используются волны вы-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]