Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по курсам «Качественные и количественные методы психологических и педагогических исследований» и «Математические методы в.pdf
21
7
39
20
780
1521
400 8 39
17
663
1521
289
9
44
35
1540
1936
1225
10
44
43
1892
1936
1849
11
24
10
240
576
100
12
37
28
1036
1369
784
13
29
13
377
841
169
14
40
43
1720
1600
1849
15
42
45
1890
1764
2025
16
32
24
768
1024
5760
17
48
45
2160
2304
2025
18
42
26
1092
1764
676
19
33
16
528
1089
256
20
47
26
1222
2209
676
Сумма
731
518
20089
27873
16000
Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции по формуле:
Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции по
таблице критических значений коэффициентов линейной корреляции Пирсона.
При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента корреляции rПирсона число степеней свободы рассчитывается как k= n-2
В нашем случае k = 20, поэтому n - 2 = 20 - 2 = 18
Находим критические значения:
r=0,44 для P≤0,05
r=0,56 для P ≤0,01
Строим соответствующую ``ось значимости'':
зона незначимости 0,05 0,01 зона значимости
rкр.= 0,44 rкр.=0,56 rэмп.=0,669
Ввиду того, что величина расчетного коэффициента корреляции попала в зону значимости
– Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Иными словами, связь между временем
решения наглядно-образных и вербальных задач статистически значима на 1% уровне и
положительна. Полученная прямо пропорциональная зависимость говорит о том, что чем
выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения
вербальных и наоборот.
Для применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо соблюдать следующие
условия:
22
1. Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале
или шкале отношений.
2. Распределения переменных X и Y должны быть близки к нормальному.
3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно
быть одинаковым.
КОРРЕЛЯЦИЯ РАНГОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для анализа взаимосвязи ранжированных признаков вычисляют коэффициент
ранговой корреляции (КРК) r-Спирмена.
Коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле:
, где - ранг наблюдения в ряду , - ранг
наблюдения в ряду .
Коэффициент принимает значения из отрезка [-1; +1]. Равенство r =1указывает на
строгую прямую линейную зависимость, r= -1на обратную.
Для вычисления r-Спирмена необходимо располагать двумя выборками, элементы
которых могут быть проранжированы. Такими выборками могут быть:
1) Два признака, измеренные для одной и той же группы испытуемых.
2) Две индивидуальных иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых лиц
по одному и тому же набору признаков. Например: личностные профили по 16тифакторному опроснику Кеттела.
3) Две групповые иерархии признаков.
4) Индивидуальная и групповая иерархия признаков.
Рассмотрим случай №1. Сначала ранжируются элементы первой выборки, а затем
второй. Обычно ранг, равный 1, присваивается элементу выборки, имеющему наименьшее
значение. Если рассматриваемые два признака связаны положительно, то лица, имеющие
низкие ранги по одному признаку, будут иметь более низкие значения и по второму
признаку. Аналогично и для высоких рангов.
Для нахождения КРК r -Спирмена мы должны сначала вычислить разности между
рангами для одного и того же лица, затем определенным образом преобразовать эти
разницы и вычесть из 1. Чем меньше будут разности, тем больше будет КРК и тем ближе
он будет к +1. Если же корреляция отсутствует, то в этом случае ранги будут перемешаны
и между ними не будет никакого соответствия, а сам КРК будет близок к 0.
В случае отрицательной корреляции небольшим рангам по первому признаку будут
соответствовать большие ранги по второму признаку и наоборот. В этом случае разности
между рангами будут большие и КРК будет близок к –1.
Рассмотрим случай №2. В этом случае ранжируются значения, полученные
каждым из двух испытуемых лиц по определенному одинаковому набору признаков. Все
признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование
невозможно. В таких ситуациях, когда разные единицы, обычно сначала «сырые» баллы
должны быть приведены к одной шкале (диапазону). Чаще всего это шкала – стены.
Рассмотрим случай №3. В этом случае сначала вычисляется среднее значение
каждого признака отдельно по каждой группе, после чего они ранжируются. В результате
этот случай сводится к №2.
Рассмотрим случай №4 (индивидуальные и групповые профили). В этом случае
сначала вычисляется среднее значение каждого признака по группе лиц, причем, как
правило, при расчете показатели лица, сопоставленного с группой из расчета среднего
значения исключаются. После этого ранжируются отдельно значения индивидуального
профиля и средние групповые значения. В этом случае ранговая корреляция позволяет
проверить, насколько согласованы индивидуальные и групповые профили. В случае
положительной корреляции это означает, что рассматриваемое лицо такое как и все. В
23
случае же отрицательной корреляции получаются противопоставления в группе. При
проверке значимости КРК важно обращать внимание на то, что выступает в качестве n. В
первом случае это будет количество лиц, а во втором, третьем и четвертом – количество
признаков, образующих иерархию.
Корреляционную ранговую связь можно изобразить графически. В этом случае
данные изображаются в виде двух столбцов точек, после чего одинаковые значения
рангов соединяются линией. В случае, если ранги для одного и того же человека по двум
признакам совпадают, то между ними получится горизонтальная линия. Если же ранги
различны, то линия становится наклонной.
rs = +1 rs = 0 rs = - 1
Пример: Корреляция между двумя признаками. В исследовании, моделирующем
деятельность авиадиспетчера, группа испытуемых проходила подготовку на тренажере
перед началом работы. Испытуемые должны были решать задачи по выбору оптимального
типа взлетно-посадочной полосы для заданного типа самолета. Связано ли количество
ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии с показателем невербального
интеллекта, измеренного с помощью методики Векслера?
Решение.
Количество
ошибок (х)
Невербальный
интеллект (у)
Ранги по х
Ранги по у
Разность
между
рангами d
2
d
29
54
13
8
14
26
9
20
2
17
106
90
95
116
127
107
104
102
111
99
9
10
4
2
5
8
3
7
1
6
6
1
2
9
10
7
5
4
8
3
3
9
2
-7
-5
1
-2
3
-7
3
9
81
4
49
25
1
4
9
49
9
240
Тх = 0 Ту = 0 (совпадений нет) n = 10 (чел.)
rs = 1 – 6 ((240+0+0) : 10 (10 – 1)) = -0,455. Отсюда видно, что между количеством
ошибок и невербальным интеллектом имеется отрицательная умеренная корреляционная
связь. Корреляция между двумя групповыми иерархиями (случай №3).
Джозеф Вольпе в книге, написанной совместно с сыном, приводит упорядоченный
перечень из наиболее часто встречающихся у современного человека «бесполезных
страхов», т.е. таких, которые не несут сигнального значения, а лишь мешают полноценно
жить и действовать.
В отечественном исследовании, проведенном М.Э. Раховой, 32 испытуемых
должны были по 10-бальной шкале оценить, насколько актуальным для них является тот
или иной вид страха из перечня Вольпе.
Обследуемая выборка состояла из студентов Санкт-Петербурга в возрасте от 18 до
25 лет. Данные, полученные по 10-бальной шкале, были усреднены по 32 испытуемым,
24
после чего средние значения были проранжированы. Совпадает ли ранговая
последовательность двадцати видов страхов?
Были получены следующие результаты:
№
Вид страха
Ранги в
американской
выборке
Ранги в
российской
выборке
Разность d
между
рангами
2
d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Публичного
выступления
Полета
Совершить ошибку
Неудачи
Неодобрения
Отвержения
Злых людей
Одиночества
Крови
Открытых ран
Дантиста
Уколов
Прохождения тестов
Полиции
Высоты
Собак
Пауков
Покалеченных людей
Больниц
Темноты
Экзаменов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
7
12
10
6
9
2
5
1
16
13
3
19
20
17
4
11
18
8
15
14
-6
-10
-7
-2
-4
4
2
7
-7
-3
8
-7
-7
-3
11
5
-1
10
4
6
36
100
49
4
16
16
4
49
49
9
64
49
49
9
121
25
1
100
16
36
802
Тх = 0 Ту = 0 n = 20 (строки, а не люди)
Rs = 1 – 6 ((802+0+0) : (20 (20 – 1))) = 0,397. Отсюда видно, что между ранговыми
последовательностями имеется положительная умеренная корреляционная связь.
Значимость r-Спирмена. Для КРК проверка значимости полностью аналогична
проверке значимости КРК Пирсона.
КОЭФФИЦИЕНТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ КЕНДАЛЛА (τ-Кендалла)
Как и в случае r -Спирмена исходные данные представляют собой две выборки,
каждая из которых содержит n последовательных и несвязанных рангов, т.е. чисел от 1 до
n. Кендалл построил свой коэффициент корреляции (τ-Кендалл, читается как тау
Кендалла) на количестве пар рангов, которые упорядочиваются в одинаковом
направлении как по переменной х, так и по переменной у.
Для некоторой пары лиц констатируется совпадение, если их порядок как по
переменной х, так и по переменной у одинаков. Для некоторой пары лиц констатируется
инверсия, если их порядок по переменным х и у различен.
Наиболее часто на практике используется r -Спирмена. Следует также отметить,
что r -Спирмена и τ-Кендалла связаны следующим приблизительным соотношением: rs =
1,3
СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ ДВУХ
НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК( t-распределение Стьюдента)
25
Часто на практике возникает задача сравнения средних значений исследуемого
показателя, признака для двух разных генеральных совокупностей. Например, одинаков
ли средний уровень коэффициента IQ для мальчиков и девочек одного и того же возраста.
При решении такой задачи необходимо, чтобы исследуемый признак был измерен в
количественной шкале. Таким образом, будем считать, что в результате эксперимента в
качестве исходных данных у нас имеются две выборки необязательно одинакового
объема: х1, х2, …, хn и y1, y2, …, ym, где n = m. Необходимо обращать внимание на то,
чтобы эти две выборки были независимыми, т.е. чтобы элементы 1 выборки не влияли на
значения элементов 2 выборки. Для решения поставленной задачи воспользуемся общей
схемой проверки статистической гипотезы.
1 этап. Выдвигаются две гипотезы: основная нулевая о том, что средние значения
исследуемого признака двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы и
альтернативная гипотеза о том, что эти средние значения статистически различны.
Н0 : х = у, где х – среднее значение 1 ГС
Н1 : х = у, где х – среднее значение 2 ГС
2 этап. Задаемся уровнем значимости .
3 этап. Вычисляется наблюдаемое значение статистики критерия. Для этого
сначала по исходным выборкам вычисляется среднее значение х и у (см. меры
центральной тенденции), а также дисперсии δх и δy. Далее согласно формуле вычисляют
t- Стьюдента.
В общем случае формула для расчета по t - критерию Стьюдента такова:
где
Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n1 = n2 = n, тогда
выражение (9.2) будет вычисляться следующим образом:
В случае неравночисленных выборок , выражение будет вычисляться следующим
образом:
В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:
где n1 и n2 соответственно величины первой и второй выборки.
Понятно, что при численном равенстве выборок k = 2 × n - 2.
4 этап. Находим критическое значение статистики критерия.
Для нахождения критического значения необходимо воспользоваться
статистической таблицей распределения Стьюдента.
5 этап. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему
правилу:
26
1) если - tкр< tнабл. < tкр, то принимается нулевая гипотеза Н0, т.е. на основе
имеющихся данных мы делаем вывод о том, что средние значения двух рассматриваемых
генеральных совокупностей статистически одинаковы на уровне значимости .
2) если же tнабл.< - tкр или tнабл. > tкр, то принимается альтернативная гипотеза
Н1, т.е. делается вывод о том, что средние значения двух рассматриваемых ГС
статистически различны на уровне значимости.
Примечания.
1. Рассмотренный в этом параграфе критерий должен применяться для выборок,
извлеченных из ГС и имеющих нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями.
2. Если исходные выборки извлечены не из нормальной ГС, то необходимо
воспользоваться непараметрическими критериями, которые будут описаны ниже.
СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ ДВУХ
ЗАВИСИМЫХ (СВЯЗАННЫХ) ВЫБОРОК
Иногда нам приходится измерять один и тот же признак (показатель) для одной и
той же группы лиц, но в различные моменты времени. Например, до проведения
эксперимента и после эксперимента. В результате в качестве исходных данных мы
получаем две выборки одинакового объема х1, х2, …, хn и у1, у2, …, уn (одни и те же
люди). Причем элементы выборки, стоящие на одном и том же месте в каждой из выборок
должны соответствовать измененному показателю для одного и того же лица. Поэтому
такие выборки часто называются связанными. Они являются зависимыми, т.к. значения
элементов второй выборки зависят от значений элементов первой выборки. Исходные
данные в рассматриваемом примере называются типа «до – после». Связанными
выборками могут рассматриваться также данные типа «брат – сестра» (в 1 выборке
показываем мальчиков, во второй – девочек), «муж – жена». Для таких данных можно
рассмотреть задачу сравнения средних значений двух выборок, для решения которой
применяется общая схема проверки статистической гипотезы.
В этом случае применяется t- Стьюдента для зависимых выборок.
В случае связных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать
более простую формулу t эмп.- критерия Стьюдента.
Вычисления значений tосуществляется по формуле:
где - разности между соответствующими значениями переменной X и
переменной Y, а среднее этих разностей.
В свою очередь вычисляется по следующей формуле:
Число степеней свободы k определяется по формуле k = n - 1
Рассмотрим пример использования t - критерия Стьюдента для связных и, очевидно,
равных по численности выборок.
27
Пример: Был проведен эксперимент по исследованию влияния процесса обучения
на уровень знаний студентов колледжа. 100 первокурсникам был предложен тест из 60
вопросов, этот же тест был предложен этим же студентам, но уже выпускникам (когда они
уже отучились). В качестве измеряемого показателя рассматривалось количество
правильных ответов. Проверить гипотезу о наличии либо отсутствии влияния процесса
обучения в колледже на уровень знаний. Решение. В нашем эксперименте исходные
данные представляют собой 100 пар значений типа «до – после», т.е. две связанные
выборки х1, х2, …, х100 и у1, у2, …, у100. Выбираем уровень значимости = 0,01. По
исходным выборкам была вычислена выборка разности, по которой было найдено d = 7,02 δd = 8,02 (стандартное отклонение) n = 100 tнабл. = 100 (- 7,02:8,02) = - 8,75. Будем
искать по таблице tкр. Т.е. мы делаем вывод, что процесс обучения в колледже приводит
к изменению среднего уровня знаний. d = - 7,02 < 0; d = х – у < 0 = х < у.
Таким образом, средний уровень знаний за время обучения в колледже повысился.
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ СРАВНЕНИЯ
Критерий χ
2
(критерий согласия Пирсона) — характеристика распределения,
используемая для проверки статистических гипотез. В 1900 году Карл Пирсон предложил
простой, универсальный и эффективный способ проверки согласия между предсказаниями
модели и опытными данными. Предложенный им “хи-квадрат критерий” – это самый
важный и наиболее часто используемый статистический критерий. Большинство задач,
связанных с оценкой неизвестных параметров модели и проверки согласия модели и
опытных данных, можно решить с его помощью.
Одним из наиболее часто применяемых является χ2, представляющий собой сумму
квадратов отклонений эмпирических частот (р) от теоретических или ожидаемых ( ),
отнесенную к теоретическим частотам:
Представьте, что 20 мужчин и 20 женщин опрошены относительно выбора
газированной воды (марка A или марка B). Если между предпочтением и полом нет связи,
то естественно ожидать равного выбора марки A и марки B для каждого пола, если
разница существует, то выбор марки газированной воды будет зависить от пола.
Угловое преобразование Фишера применяется для сравнения двух процентных
долей, при условии, что их сумма составляет 100%.
Удобство данного критерия очевидно: он может применяться к качественным данным,
объём выборок может быть небольшим, он применяется к процентным долям (которые
очень распространены в психологии и педагогике).
Ограничения для применения углового преобразования Фишера:
1. Процентные доли должны отражать вероятность появления события в одной
выборке, иными словами в сумме должны составлять 100%.
2. Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равной нулю.
3. Нижний предел – 2 наблюдения в одной из выборок. При этом необходимо,
чтобы выборки удовлетворяли следующим условиям:
- если в одной выборке ровно 2 наблюдения, то в другой должно быть не менее 30;
- если в одной выборке ровно 3 наблюдения, во второй должно быть не менее 7;
- если в одной выборке ровно 4 наблюдения, во второй должно быть не менее 5.
Пример ошибочного использования Углового преобразования Фишера:
На вопрос анкеты утвердительно ответили 73,3% мужчин и 93,3% женщин.
Сравнить данные процентные распределения невозможно, т.к. сравниваются две разные
выборки и сумма процентов не равна 100%.
28
Пример правильного использования Углового преобразования Фишера:
На вопрос анкеты 73,3% мужчин (22 чел.) ответили утвердительно и 26,7% мужчин
– отрицательно (8 чел.). Применить Угловое преобразование Фишера можно, т.к.
сравнивается вероятность события в одной выборке, сумма процентов равна 100%.
Произведем расчеты.
1. Переведём процентные распределения в доли единицы путём деления их на
100.
Ответ ДА = 73,3 / 100 = 0,733
Ответ НЕТ = 26,7 / 100 = 0,267
2. Используем расчетную формулу: N1 = 22 (73,3%), N2 = 8 (26,7%)
Проверка значимости полученного критерия осуществляется путём нахождения
вероятности полученного значения.
Вывод: доли мужчин, ответивших положительно и отрицательно, статистически
значимо различаются. Полученное значение 2,34 достоверно на уровне р<=0,05
29
Программа практических работ
Методические указания к выполнению практических работ
I. Инструкция студенту: для выполнения заданий по практическим работам
необходимо применение одной из статистических пакетах программ SPSS, Statistica и
Stadia.
II. Используя учебное пособие Наследова А. Д. «Математические методы
психологического исследования», произведи обработку на компьютере в программе SPSS
следуя алгоритму, соответствующему для выбранного критерия.
III. Перед выполнением компьютерной обработки данных, вспомни условия
применения выбранного критерия и требования к его использованию.
Тема 1: Табулирование и наглядное представление данных
Задание: Постройте таблицу сгруппированных частот и гистограмму по следующим
исходным данным сначала «вручную», затем с использованием программы SPSS:
Вариант 1. Результаты тестирования по одной из шкал MMPI:
68,67,39,30,54,36,40,57,29,45,51,59,28,65,41,56,60,59,45,47,51,31,71,48,58,49,46,54,29,
41,60,68,37,64,61,71,60,47,62,33.
Вариант 2. Результаты тестирования по одной из шкал MMPI: 58, 48,
36,58,59.10,50,55,53,56,41,45,62.56,59,65,48,57,62,52,49,49,47.47.48.44,42,52.
35,53,42,34,33,56,63,51,41,65,61,46.
Вариант 3. Результаты диагностики по тесту Векслера: 88; 80; 83; 131;75;68; 120;77;
72;92;99;73; 115; ПО; 123; 117; 87; 105;91;83;71;92;98; 106; 125,90,129;
132,86,105,127,96,104.114,115,121,121,101,99,79.
Вариант 4. Результаты диагностики по тесту Векслера: 84; 94; 92; 107;98; 125;84;74;
125:119; 111;91; 103;82; 114; 123;75; 96;97;72; 124;78; 113; 128; П4;98;94;77; 121;8'7;80; 105;
1 )8;98;90;78;82; 115; 113; 111.
Тема 2: Измерительные шкалы
Задание: определите к каким измерительным шкалам относятся следующие
измерения:
1. Академический ранг — ассистент, старший преподаватель, доцент, профессор —
как мера продвижения по службе.
2. Военные чины — капитан, майор, подполковник как мера продвижения по
службе.
3. Время реакции (в секундах).
4. Время решения задачи (в секундах).
5. Календарное летоисчисление.
6. Классы и виды в биологии.
7. Когнитивный стиль рефлексивный, импульсивный, смешанный)
8. Масса (в килограммах).
9. Ранг успеваемости в классе средней школе.
10. Раса.
11. Расстояние (в метрах).
12. Рост.
13. Ряд объектов, которые расположены испытуемым в порядке предпочтения.
14. Скоростные характеристики нервной системы (подвижная инертная н.с).
15. Телефонные номера.
16. Температура (по Кельвину).
17. Температура (но Цельсию).
18. Типы темперамента— холерик, флегматик, меланхолик, сангвиник.
19. Цвет волос (темный, светлый).
30
20. Цифры, кодирующие национальность (русский — 1, немец — 2, англичанин —3).
21. Цифры, кодирующие пол (мужской — 1, женский — 0),
22. Цифры, кодирующие семейное положение (женат — 1, холост - 0).
23. Школьная система оценки успеваемости в баллах (5, 4, 3, 2, 1).
24. Коды факультетов 1 — исторический, 2 - филологический, 3 - факультет
психологии и т.д.
Тема 3: Вычисление числовых характеристик выборочной совокупности
Задание: Определите моду, медиану, среднее, дисперсию, стандартное отклонение и
коэффициент вариации для следующих выборок сначала «вручную» по известной формуле,
затем с использованием программы SPSS:
Вариант 1. 78, 98. 92, 116.109, 84, 90. 110. 117. 98, 86, 112,95.81, 98. 92, 95,82.80.89,
113,87, 113. ПО, 103, 100,83.91.81, 127.
Вариант 2. 7,8,2,7,8,6,6,4,3, 8,3,5,6,5,8,5,5,5,6,2,9,5,9,7, 8,5,9,6,4,9.
Вариант 3. 10, 18, 15,6, 16, 12, 12, 17, 10, 17, 17, 17, 11, 11, 12, 14, 11,8, 7, 10, 11,5, 12,
15, 16, 14,8, 10, 11,7
Вариант 4. 4,7,4.3,3,5,6, 5,5,7. 8,5,3,6.4,8,3, 3.6,2, 5,4.5.5,4,4.6, 7,6. 7.
Задача
Проведено исследование на определение уровня организованности студентов. В
исследовании приняли участие 40 человек 1-го и 2-го курсов. Согласно результатам,
показатели от 1-12 характеризуют низкий уровень организованности; 13-25 – норма; 2638-высокий уровень организованности. Данные представлены в таблице.
№п\п
1 курс
2 курс
№п\п
1 курс
2 курс
1.
4
12
21. 9
18
2.
6
14
22. 7
17
3.
7
16
23. 8
19
4.
30
15
24. 14
17
5.
23
15
25. 12
13
6.
17
14
26. 13
14
7.
2
11
27. 14
15
8.
24
18
28. 15
15
9.
26
23
29. 12
15
10.
7
34
30. 3
15
11.
9
33
31. 5
16
12.
11
12
32. 8
23
13.
9
12
33. 9
21
14.
2 9 34. 18
13
15.
3
10
35. 12
28
16.
6
21
36. 13
29
17.
23
12
37. 3
36
18.
32
11
38. 4
31
19.
21 8 39. 12
23
20.
4 9 40. 12
21
1. Рассчитайте при помощи SPSS – моду, медиану, среднее значение, стандартное
отклонение и размах для 1 и 2 курса.
2. Проверьте результаты на соблюдение закона нормального распределения
3. Сделайте вывод об уровне организованности студентов.