Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по курсам «Качественные и количественные методы психологических и педагогических исследований» и «Математические методы в.pdf
11
Частоты
7
6
5
4
3
2
1 Границы интервалов
45 55 65 75 85 95 105 115
МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ
В статистике наиболее распространенными являются следующие меры
центральной тенденции: мода, медиана, среднее значение.
Мода – это такое значение в выборке, которое встречается наиболее часто. хmod.
Например, 4, 2, 8, 8, 4, 8, 10. В данном случае хmod=8, т.к. 8 встречается наиболее часто во
всей выборке. Возникают различные ситуации, в которых необходимо найти моду.
1 ситуация. В случае, когда все значения выборки встречаются одинаково часто, то
принято считать, что выборка не имеет моды.
4, 2, 6, 7, 5, 10 – не имеет моды.
4, 2, 4, 2, 4, 2, 6, 6, 6 – не имеет моды.
4, 2, 4, 2, 4, 2, - не имеет моды.
4, 4, 4, 4, 4 – мода равняется 4 хmod=4.
2 ситуация. Когда два соседних значения в упорядоченной выборке встречаются
одинаково часто и чаще, чем все остальные значения, то в этом случае мода равняется
среднему значению этих двух соседних величин.
1, 4, 3, 3, 6, 2, 8, 2, 10
1, 2, 2, 3, 3, 4, 6, 8, 10 – упорядоченная выборка.
Хmod= (2+3):2=2,5
1, 2, 2, 5, 5, 7, 9 (если между ними нет других значений – то соседние значения)
хmod= (2+5):2=3,5
1, 4, 3, 3, 6, 6, 8, 2, 10 – это не вторая ситуация, а третья. Выборка здесь не
упорядочена.
3 ситуация. Если два не соседних значения в упорядоченной выборке встречаются
одинаково часто и чаще, чем все остальные значения, то в этом случае говорят, что
выборка имеет две моды и называют выборку бимодальной (тримодальной).
Пример: 4, 2, 3, 6, 4, 2
2, 2, 3, 4, 4, 6
4, 2, 3, 6, 4, 2, 6
2, 2, 3, 4, 4, 6, 6 хmod1=2; xmod2=(4+6):2=5
2, 2, 4, 4, 6, 6, 10, 12 хmod=(2+4+6):3=4
4, 4, 4, 8, 8, 8, 11, 11 xmod=(4+8):2=6
Например, xmod=108 (IQ). Значит, в этой группе наиболее часто встречается 108,
но не говорится сколько.
4, 4, 4, 2, 6, 7 – хmod=4
Медиана – это такое значение, которое делит упорядоченную выборку пополам,
т.е. половина значений выборки меньше медианы, а вторая половина больше медианы,
хmed или Md.
xmed=K0,5(квантиль)=P50(процентиль)=D5(дециль)=Q2(квартиль).
При вычислении медианы возможны две ситуации:
1 ситуация. Количество наблюдений в выборке нечетно. В этом случае медиана равна
значению, расположенному точно в середине упорядоченной выборки.
12
3, 8, 6, 5, 4
3, 4, 5. 6. 8 – сначала упорядочиваем выборку, Хmed=5.
2 ситуация. Количество наблюдений в выборке четно. В этом случае в качестве медианы
выбирается среднее значение двух центральных значений упорядоченной выборки.
2, 3, 5, 8, 7, 10
2, 3, 5, 7, 8, 10 хmed=(5+7):2=6
хmed=108. это говорит о том, что половина клиентов имеет IQ 108 и меньше, а
вторая –108 и больше.
Если исходная выборка представлена в виде таблицы, полученной в результате
табулирования данных, то медиану можно найти, рассматривая накопленные частоты.
Пример: в результате табулирования получилась таблица:
13+1+13=27 –
медианой будет выступать
14-ое значение, Хmed=11.
Среднее значение
вычисляется следующим
образом: суммируются все
элементы выборки, и полученная сумма делится на количество элементов в выборке.
Обозначается х. хср, х.
Пример: вычислить моду, медиану и среднее значение следующей выборки: 7, 3, 3,
6, 4, 5, 1, 2, 1, 3
xmod=3
1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7
n=10
xmed=(3+3):2=3
x= (7+3+3+6+4+5+1+2+1+3):10=35:10=3,5
Свойства среднего значения.
1. Если выборка состоит из одного и того же значения, то среднее значение этой
выборки будет равно этому значению. 1245, 1245, 1245 х=1245.
2. Если к каждому элементу выборки добавить одну и ту же величину с, то среднее
значение новой выборки будет равняться среднему значению старой выборки,
измененному на эту величину с. хнов.=хстар.+с, где с может быть положительным и
отрицательным. 220, 221, 223, 225
0 1 3 5
хнов.=(0+1+3+5):4=9:4=2,25
хнов.=хстар.+с хстар.=хнов.-с=2,25-(-220)=2,25+220=222,25
3. Если каждый элемент выборки умножить на одну и ту же величину с, то среднее
значение новой выборки будет равно среднему значению старой выборки, измененному в
с раз. 2, 3, 5, 8 с=120
х=(2+3+5+8):4=18:4=4,5
240. 360, 600, 960 хнов.=4,5 120=540
4. Некоторые выборки вообще нельзя охарактеризовать с помощью мер
центральной тенденции. Особенно это справедливо для выборок, имеющих более, чем 1
моду.
Пусть тест успеваемости, состоящий из 8 различных задач, позволяет разделить
исследуемую группу учащихся на тех, кто усвоил определенные понятия и тех, кто не
усвоил. Предположим, что усвоившие получают оценки 6,7,8, а не усвоившие 0,1,2. В
ходе эксперимента получаемые результаты можно представить в виде следующей
гистограммы:
Границы
интервалов
Част
оты
Накопленные
частоты
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
2
5
4
13
3
2
7
11
24
27
13
Частоты
15
10
5
Оценка, баллы
0 1 2 3 4 5 6 7 8
В данном примере среднее значение х=3,85, хотя мы видим, что даже не
существует ученика, получившего 4. Медиана этой выборки =2,17, хотя имеется
достаточно большое количество значений =8. В данном примере ни медиана, ни среднее
значение не дают правильного представления об изучаемой выборке. Наиболее простой
правильной характеристикой для данной выборки является следующее утверждение:
«Гистограмма является бимодальной и имеет V-образную форму. хmod1=0, xmod2=8».
5. Если выборка является унимодальной, т.е. имеет 1 моду и гистограмма такой
выборки является симметричной, то в этом случае мода, медиана и среднее значение
совпадают.
Наиболее просто из рассмотренных 3 мер центральной тенденции вычисляется
мода, ее можно легко вычислить по гистограмме или полигону частот.
С точки зрения трудности вычисления медиана занимает промежуточное
положение между модой и средним значением. Рассмотрим пример, как изменяются меры
центральной тенденции, если выборки отличаются хотя бы одним элементом.
1, 3, 3, 5, 6, 7, 8 xmod=3 xmed=5 x=(1+3+3+5+6+7+8):7=33/7
1, 3, 3, 5, 6, 7, 16 xmod=3 xmed=2 x=(1+3+3+5+6+7+16):7=41/7
Мода и медиана являются более устойчивыми характеристиками, чем среднее
значение. В общем случае нельзя однозначно сказать, какая из мер центральной
тенденции больше, а какая меньше, т.е. имеется в виду если изображать на числовой оси,
могут оказаться различные варианты.
МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ
Меры центральной тенденции позволяют нам судить о концентрации наших
исходных данных на числовой оси. Каждая такая мера дает значение, которое
представляет в каком-то смысле все элементы выборки. В этой ситуации фактически
пренебрегают различиями, существующими между отдельными элементами выборки.
Поэтому для учета таких различий будем использовать некоторые другие описательные
статистики, которые называются мерами изменчивости (рассеяния, разброса). Самой
простой мерой изменчивости является размах выборки, для вычисления которого
необходимо из максимального элемента выборки вычесть минимальный. R=xmax-xmin
Т.к. размах определяется только двумя элементами выборки, то он не учитывает
распределения остальных элементов выборки. Пример: пусть первая выборка содержит
14
значения, равномерно распределенные от 1 до 10. И всего таких значений 100. Вторая
выборка содержит также 100 значений, но одно из них равно единице, еще одно равно 10,
а остальные 98 значений равны 5.
1) 1….1 2….2 … 10….10
10 10 10
2) 55….55 10
98
R1выб.=10-1=9 R2выб.=10-1=9
Дисперсия.
Для учета различий между отдельными элементами выборки в качестве меры
изменчивости можно было бы взять сумму отклонений каждого элемента выборки от
среднего значения выборки. Однако вследствие того, что эти отклонения могут быть как
положительными, так и отрицательными, то их сумма для любой выборки всегда равна 0.
Поэтому вместо суммы отклонений можно рассмотреть сумму квадратов
отклонений. Однако и в этом случае имеется недостаток: такая сумма сохраняет
зависимость от количества элементов в выборке. Для устранения этого недостатка мы
должны были бы разделить сумму квадратов отклонений на количество элементов
выборки, т.е. n, но в статистике эту сумму делят не на n, a нa n-1.
Формула для расчета дисперсии выглядит так:
где
D – дисперсия,
x – анализируемый показатель, с черточкой сверху – среднее значение показателя,
n – количество значений в анализируемой совокупности данных.
Примечание. Для расчета дисперсии в Exel предусмотрена специальная функция.
Чем больше дисперсия выборки, тем больше разбросаны наши исходные значения
по числовой оси относительно среднего значения выборки.
На практике даже для выборки, которая состоит из целых чисел, может оказаться,
что среднее значение является не целым числом. В результате этого отклонения тоже
будут являться дробными числами, которые нам нужно возводить в квадрат.
Язык знаков полезно перевести на язык слов. Получится, что дисперсия - это
средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем
берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат,
складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница
между отдельным значением и средним арифметическим отражает меру отклонения. В
квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно
положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и
отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, мы
просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений.
Отклонения возводятся в квадрат, и считается среднее значение.
Однако в чистом виде, как, например, средняя арифметическая, или индекс,
дисперсия не используется. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель,
который используется для других видов статистического анализа.
Стандартное отклонение.
Меры изменчивости тесно связаны с дисперсией – является стандартное
отклонение, которое обычно обозначается δ (сигма). Оно определяется как положительное
значение квадратного корня из дисперсии.
Формула стандартного отклонения имеет вид:
15
Стандартное отклонение часто используется для оценки диапазона изменения
наших исходных данных. Для этого применяется правило «трех стандартных
отклонений»: 99,5% исходных данных находится в интервале от х – 3δ до х + 3δ.
х1, х2, …, хn
99,5%
x – 3 δ x x + 3 δ
x=110; δ =9; x – 3 δ = 110 – 3× 9 =83;
x + 3δ = 110 + 3 × 9 =137;
(83 ; 137) 142 0,5% (отклонение от стандартного отклонения).
Стандартное отклонение может быть использовано также в процедуре
преобразования исходных данных, которая получила название стандартизации. Чаще
всего она применяется для «сырых» баллов.
Пусть в ходе эксперимента получили выборку х1, х2, …, хn, где значения
представляют собой сырые баллы. Для другого теста можно получить аналогичные
данные, однако часто бывает, что шкала тестов различается по диапазону. Для того, чтобы
можно было сравнить полученные данные по различным шкалам и применяют процедуру
стандартизации. В результате ее получается новая выборка: z1, z2, …, zn.
zi= (xi-x): δ , где xi , где xi - среднее значение первоначальной выборки; δ –
стандартное отклонение этой выборки.
В результате новые стандартизованные данные будут иметь среднее значение,
равное 0, а стандартное отклонение – 1, независимо от исходных данных, (т.е.шкалы): z=0;
δ z=1.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Значения показателей (признаков) невозможно предугадать даже при полностью
известных условиях эксперимента, в которых они измеряются. Мы можем лишь указать
вероятность того, что признак принимает то или иное значение.
Знание частоты встречаемости этих значений позволяет нам судить о
распределении частот. Знание этого распределения исследуемого признака позволяет
делать выводы о событиях, в которых участвует этот признак. Однако эти выводы тоже
носят вероятностный характер.
Среди распределений есть такие распределения, которые встречаются на практике
особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны.
Наиболее распространенным распределением является нормальное распределение.
Оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, в
которых на интересующий нас признак оказывает воздействие большое количество
независимых случайных факторов, среди которых нет резко выделяющихся.
Нормальное распределение однозначно распределяется, если мы указываем
значения двух его параметров: 1) среднее значение М; 2) дисперсии. График нормального
распределения называется кривой Гаусса и является симметричным относительно
среднего значения М.
Если среднее значение М =0, а дисперсия=1, то такое нормальное распределение
называется стандартным. Рассмотренная в предыдущем параграфе процедура
стандартизации исходных данных как раз и приводит к тому, что преобразованные
данные z1, z2, …, zn имеют стандартное нормальное распределение.
График стандартного нормального распределения является симметричным
относительно вертикальной координатной оси.
16
Вероятность того, что случайное значение окажется отдалено от точки максимума более,
чем на три "сигмы", очень близка к нулю, составляя примерно 0,003. Этот факт известен
как правило трёх сигм.
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ: Статистическая проверка психологических гипотез
Ключевые понятия: Проверка статистических гипотез Нулевая и альтернативная
гипотезы. Понятие уровня статистической значимости.
Корреляционный анализ. Понятие корреляционной связи. Коэффициент
корреляции Пирсона. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена. Коэффициент
корреляции τ-Кендалла.
Статистические критерии различий. Параметрические критерии сравнения двух
выборок (t-критерий Стьюдента для зависимых и независимых выборок). F-критерий
Фишера.
Критерий согласия распределений -
2
Пирсона. -критерий Фишера.
ГИПОТЕЗЫ НАУЧНЫЕ И СИАТИСТИЧЕСКИЕ
Гипотезой называется научно обоснованное предположение о свойствах и
закономерностях изучаемого явления. Гипотезы, выдвигаемые в психологических
исследованиях, естественно называются психологическими гипотезами, так как они
формулируются относительно явлений психической реальности.
Цель любого психологического эксперимента – проверка истинности
психологической гипотезы, то есть сформулированного высказывания о каузальной
(причинно-следственной) зависимости между независимыми и зависимыми переменными.
Необходимыми компонентами проверки психологической гипотезы являются
следующие виды гипотез, отношения между которыми показаны на рис.1.
17
Рис.1. Связь теоретической, экспериментальной и статистических гипотез исследования
Гипотезой верхнего уровня является теоретическая гипотеза, выдвигаемая на
основе теоретических предпосылок исследования и оперирующая теоретическими
понятиями (конструктами), выработанными в психологической теории относительно
исследуемого явления психической реальности.
Следующий уровень представляет экспериментальная гипотеза, которая
выдвигается на основе теоретической и операционализирует содержание последней,
переформулируя ее, во-первых, в более конкретных терминах исследуемой предметной
области, а во-вторых, в виде утверждений, допускающих непосредственную
экспериментальную и логическую проверку. Необходимость выдвижения
экспериментальной гипотезы обусловлена тем, что, в общем случае, экспериментатор не
может напрямую работать с теоретической гипотезой, так как она не содержит в своей
формулировке непосредственных условий ее отклонения или принятия.
Иногда исследователь может ограничиться формулированием только
теоретической гипотезы. Необходимым и достаточным условием для этого является
наличие детально развитой теоретической концепции исследования.
С другой стороны, в прикладных психологических исследованиях часто не
формулирует явно теоретическую гипотезу, а сразу выдвигают экспериментальную. В
этом случае теоретическая гипотеза все равно неявно присутствует
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
На практике часто приходится делать некоторые выводы по имеющемуся у нас
небольшому объему данных (выборки) о свойствах всей генеральной совокупности. Эти
выводы осуществляются с помощью определенных статистик и поэтому называются
статистическими. Теория статистического вывода занимает центральное место в
статистике. Основным способом, с помощью которого делаются статистические выводы,
является проверка статистических гипотез.
Статистическая гипотеза – некоторое утверждение относительно неизвестного
параметра или какой-либо характеристики. Например, среднее значение генеральной
совокупности равно 125, то есть М=125 или коэффициент корреляции равен 0. Для
проверки статистических гипотез используются статистические критерии, которые
представляют собой некоторое правило, по которому мы делаем вывод о правильности
или неправильности рассматриваемой статистической гипотезы.
Выдвигается основная (нулевая) гипотеза Н0 (нулевая) и проверяется, не
противоречит ли она имеющимся эмпирическим данным. Конкурирующей
(альтернативной) называют гипотезу Н1 (первая), которая противоречит нулевой.
ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ
Она состоит из пяти этапов:
1 этап – выдвигаются две статистические гипотезы: 1) основная нулевая Н0 и 2)
альтернативная (конкурирующая) Н1.
Например, Н0 среднее значение ГС = 125.
Теоретическая гипотеза
(каузального характера)
Экспериментальная гипотеза
(и контргипотеза)
Статистические гипотезы
18
Н1 среднее значение ГС = 125. Математически это можно записать:
Н0: х = 125
Н1: х = 125, то есть либо х < 125, либо x > 125.
2 этап – задаемся уровнем значимости. Статистический вывод никогда не может
быть сделан со стопроцентной уверенностью. Всегда допускается риск принятия
неправильного решения. При проверке статистических гипотез мерой такого риска и
выступает уровень значимости, который обычно обозначается р. Фактически уровень
значимости представляет собой долю и процент ошибок, которые мы можем себе
позволить при статистических выводах. Чаще всего используют следующие три значения
уровня значимости. р= 0,1 или 10%; р = 0,05 или 5%; р= 0,01 или 1%. Наиболее
популярным из них является р = 0,05 или 5% (допускается 5% ошибок, если всего 100
выборок).
3 этап – по исходным данным, т.е. по выборке вычисляется наблюдаемое значение
статистики критерия. Для этого используются статистические таблицы. Выбор
необходимой статистической таблицы осуществляется в зависимости от распределения
статистики критерия.
4 этап - при проверке статистических гипотез статистика критерия выбирается
таким образом, чтобы она имела одну из рассмотренных распределений.
5 этап – путем сравнения найденных наблюдаемых критических значений делаем
вывод о правильности этой или иной гипотезы.
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА
Исследователя часто интересует, как связаны между собой два изучаемых признака
в данной группе лиц. Например, имеют ли ученики, научившиеся читать раньше других,
тенденцию к более высокой успеваемости? Связь между двумя признаками можно
изобразить графически с помощью диаграммы рассеивания (рассеяния).
Корреляционная связь отражает тот факт, что изменчивость одного признака
находится в некотором соответствии с изменчивостью второго признака и называется
коэффициентом корреляции Пирсона.
Корреляционная связь не может рассматриваться как свидетельство причинно -
следственной связи. Она лишь говорит о том, что с изменением одного признака, как
правило, происходят изменения второго признака, но находится причина изменения в
одном из признаков или она находится за пределами исследуемой пары признаков, нам не
известно.
Корреляционные связи различаются по форме, по направлению и по степени (силе)
связи.
По форме. Корреляционная связь может быть прямолинейной и криволинейной.
Примеры: прямолинейной может быть связь между количеством тренировок на
тренажерах и количеством правильно решенных задач в контрольном эксперименте.
Криволинейной может быть связь между уровнем мотивации и эффективностью
выполнения задачи. При повышении мотивации эффективность выполнения задачи
сначала возрастает, затем достигает некоторого оптимального уровня, который
соответствует максимальной эффективности, а затем при повышении мотивации
эффективность падает. В этих случаях диаграмма рассеивания
. . . .
. . . .
. . . .
прямолинейная криволинейная
19
По направлению. Корреляционная связь может быть положительной (прямой) или
отрицательной (обратной). При положительной корреляции возрастание значений одного
признака приводит к возрастанию значений второго признака, а убывание значений
одного признака приводит к убыванию значений второго признака. При отрицательной
корреляции увеличение значений одного признака приводит к уменьшению значений
второго признака и наоборот. В этих случаях диаграммы рассеивания выглядят
следующим образом:
. . . .
. . . .
. . .
При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет знак + (плюс), а
при отрицательной – знак – (минус).
По степени (силе) связи. Сила корреляционной связи не зависит от ее направления
и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.
Коэффициент корреляцииr r двух признаков (например, х и у) всегда изменяется в
следующем диапазоне:
- 1 < rxy < 1
rxy = - 1,78 – это ошибка, так как нарушен диапазон -1 < rxy < 1
Имеется следующая классификация корреляционной связи по силе (по книге
Сидоренко):
Абсолютное значение коэффициента
корреляции
Сила связи (степени)
1
0,7 –0,99
0,5 – 0,69
0,3 – 0,49
0,2 – 0,29
0,000001 – 0,19
0
Строгая (полож. прямая связь)
Сильная (тесная) (отриц. обрат.)
Средняя
Умеренная
Слабая
Очень слабая
Нет связи
Коэффициент корреляции Пирсона является характеристикой линейной
корреляционной связи. Например, rxy = - 0,35. Это линейная обратная умеренная. rxy =
0,695. Это линейная прямая средняя связь.
ЗНАЧИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ
В большинстве случаев вычисление коэффициента корреляции (КК)
осуществляется по небольшому объему исходных данных. Вследствие этого может
оказаться, что корреляция во всей ГС близка к нулю, т.е. связи между двумя изучаемыми
признаками нет. Хотя арифметически КК вычислений по исходным данным одной
выборки отличается от нуля.
Поэтому после вычисления коэффициента корреляции нужно выяснить, является
ли он значимым, т.е. фактически проверить гипотезу о том, что КК ГС отличен от нуля.
Для решения такой задачи воспользуемся общей схемой проверки статистической
гипотезы (ОСПСГ).
1. Выдвигаются две статистические гипотезы.
Основная Н0 о том, что коэффициент корреляции ГС статистически равен нулю.
Альтернативная Н1 о том, что этот КК статистически отличен от нуля.
Н0: ху = 0, где ху – коэффициент корреляции ГС.
20
Н1: ху = 0
2. Выбираем уровень значимости.
3. Находим наблюдаемое значение статистики критерия по формуле.
4. Находится критическое значение статистики критерия.
5. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы 1) если –tкр < tнабл. < tкр,
то принимается гипотеза Н0, т.е. делаем вывод о том, что коэффициент корреляции ГС
статистически равен 0 на уровне значимости или, другими словами, является незначимым
или между рассмотренными признаками линейной связи нет; 2) tкр < tнабл. < - tкр, то
принимается гипотеза Н1, т.е. делаем вывод о том, что КК ГС статистически отличен от 0
на уровне значимости или, другими словами, является значимым или между двумя
рассматриваемыми признаками имеется линейная корреляционная связь, о силе которой
мы можем судить по величине КК rxy
В общем виде формула для подсчета коэффициента корреляции такова:
где - значения, принимаемые переменной X,
- значения, принимаемые переменой Y,
- средняя по X, -средняя по Y.
Расчет коэффициента корреляции Пирсона предполагает, что переменные и
распределены нормально.
Используя данную формулу, решим следующую задачу:
Пример: 20 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление.
Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует
вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач? Переменная X обозначает среднее время решения наглядно-образных, а переменная Y - среднее время
решения вербальных заданий тестов.
Для решения данной задачи представим исходные данные в виде табл. 12, в которой
введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета по формуле
В таблице, представлено ниже, даны индивидуальные значения переменных X и Y,
построчные произведения переменных X и Y, квадраты переменных всех индивидуальных
значений переменных X и Y, а также суммы всех вышеперечисленных величин.
№ X
Y
X ×Y
X ×X
Y ×Y
испыту
емые
Среднее время
решения нагляднообразных заданий
Среднее время
решения
вербальных заданий
1
19
17
323
361
289
2
32
7
224
1024
49 3 33
17
561
1089
289
4
44
28
1232
1936
784 5 28
27
756
784
729
6
35
31
1085
1225
961