Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологические основы получения микросфер из тугоплавких оксидов в потоке термической плазмы. Монография
.pdf
3. Моделирование процессов формирования оксидных микросфер
71
Окончание табл. 3.5
Dp0, мкм
П
t1, мс
t2, мс
t3, мс
Bi
350
0
191,8
2,6
16,5
0,6
0,2
153,4
3,0
13,7
0,9
0,4
115,1
3,2
10,4
1,2
0,6
76,7
3,6
7,1
2,0
Примечание. П – пористость; t
1
–
характерное время динамической релаксации
агломерированной частицы; t
2
–
характерное время выравнивания температуры; t
3
–
ха-
рактерное время нагрева частиц в потоке плазмы; Bi – число Био.
Анализ расчетных значений характерного времени и чисел Био
показал, что характерное время выравнивания температуры и нагрева
частиц на три-четыре порядка меньше времени релаксации частицы
в плазменном потоке. Таким образом, из проведенных оценок следует,
что нагрев частиц в рассматриваемом диапазоне (Dp0, П) можно считать
безградиентным.
3.3.1. Динамика движения частицы
Для установления особенностей движения частиц в плазменной
струе рассмотрим одномерное стационарное движение несущей среды
в направлении оси x с заданным распределением скорости u(x). В сечении
x = 0 в несущую среду поступает сферическая частица диаметром Dp0
с начальной скоростью u
p
0
. На частицу со стороны потока действует сила:
,
( ),
2
g g p
D p m g p
uu
F C S u u
−
=−
(3.17)
где CD – коэффициент сопротивления;
2
,0
π / 4
p m p
SD=
– площадь миде-
лева сечения частицы; up – скорость частицы.
Для расчета коэффициента сопротивления CD в литературе при-
веден ряд зависимостей, обобщающих различные диапазоны чисел
Рейнольдса (от стоксовского до автомодельного режимов). Количество
таких зависимостей превышает несколько десятков (см., например, об-
Технологические основы получения микросфер
72
зоры в [166–168]). Отметим, что любая обобщенная аппроксимация
увеличивает погрешность расчета CD в широком диапазоне чисел Рейнольдса. В настоящей работе использовалась кусочная аппроксимация
зависимости C
D
(Re), обеспечивающая точность определения коэффи-
циента сопротивления и возможность получения аналитического решения уравнения движения [169]:
3
24
, Re 1,
Re
24 4
, 1 Re 900,
Re
Re
0,44, Re 900,
D
C
= +
(3.18)
(3.19)
(3.20)
где Re = ρg(Tf)|ug – up| Dp0/μg(Tf).
Для рассматриваемой задачи (в отличие от изотермических двухфазных потоков) необходимо учитывать влияние температурного эффекта на коэффициенты межфазного теплообмена импульсом и теплотой. Этот эффект особенно существенен на начальном участке траектории частицы, когда температура газа на порядок выше температуры
вводимых частиц.
В литературе для учета влияния разности Tp и Tg приведено несколько аппроксимационных зависимостей [170, 171]. Один из широко
применяемых подходов – использование «пленочной» температуры
Tf = 0,5(Tg + Tp) при расчете теплофизических характеристик газа, входящих в числа Рейнольдса, Прандтля, Нуссельта [170, 171]. В частности, в работе [171] было показано, что такой подход дает наиболее близкое соответствие CD с результатами численного решения сопряженной
задачи обтекания частицы.
Пренебрегая влиянием силы тяжести, уравнение движения частицы с учетом (3.17) можно записать в виде:
( )
0
3
.
4
pg
D g p g p
pp
du
C u u u u
dt D
= − −
(3.21)
Решение уравнения (3.21) для произвольной зависимости u(x)
возможно только с использованием численных методов. Рассмотрим
3. Моделирование процессов формирования оксидных микросфер
73
некоторые аналитические решения этого уравнения при постоянном
значении скорости несущего потока (ug = const).
Движение частицы в стоксовском режиме. Для стоксовского режима (Re < 1) коэффициент сопротивления определяется соотношением
(3.18), с учетом которого уравнение движения (3.21) сводится к виду:
2
0
18 ( )
.
p g g p
pp
du u u
dt
D
−
=
(3.22)
В безразмерных переменных y = |up|/|ug|, y0 = |up0|/|ug|, = t /t1, где
t1 = D
p0
2
p/18g – время динамической релаксации частицы, уравнение
(3.22) записывается следующим образом:
1.
dy
y
d
=−
(3.23)
При начальном условии = 0, y = y0 интеграл уравнения (3.23)
имеет вид:
0
1 (1 )exp( τ).yy= − − −
(3.24)
Движение частицы в промежуточном режиме. Коэффициент
сопротивления в промежуточном режиме (Re = 1–900) определяется
формулой (3.19). Уравнение движения частицы при этом имеет вид:
( )
3
0
3 24 4
.
4 Re
Re
pg
g p g p
pp
du
u u u u
dt D
= + − −
Вводя в качестве безразмерной переменной число Рейнольдса,
это уравнение можно представить как
2
3
61
(Re) Re ,
Re
Re
d
A
dt
= − +
(3.25)
где
21
0
3 ( ) const, [ ] .
g p p
A D A c
−
= = =
Введем переменные
3
Re,z =
1
τ / ,tt
=
где
2
0
/,
pp
tD
=
с уче-
том которых получим безразмерное уравнение:
Технологические основы получения микросфер
74
2
1
(6 ).
τ
dz
zz
d
= − +
(3.26)
Интеграл уравнения (3.26) при начальном условии = 0, z = z
0
имеет вид:
1/2
1
2
0
6
6 1 exp( 12τ ) 1 .z
z
−
= + − −
(3.27)
Переходя в (3.26) к переменной y = (up/ug), получим:
( )
3/2
0
1
2/3
0
0
(1 )
6
1 3 6 1 exp 12τ 1 ,
Re
Re
y
y
−
−
= + −
(3.28)
где Re0 = ρgugDp0(1 – y0)/μg. В уравнении (3.28) знак «+» соответствует
случаю |up| >> |ug|, а знак «−» случаю |up| < |ug|.
Движение частицы в автомодельном режиме. Коэффициент сопротивления при Re 900, в соответствии с (3.20), равен CD = const = 0,44.
Уравнение движения частицы можно представить в виде:
( ),
p
g p g p
du
K u u u u
dt
= − −
(3.29)
где K = 3ρgCD/(4ρpDp0) = const, [K] = м−1.
В безразмерных переменных y = |up|/|ug|, τ2 = t/t*, где t* =
=
( )
1
0
4
3
,
pp
g
g D g
D
Cu
Ku
−
=
уравнение (3.29) примет вид:
2
2
(1 ) .
τ
dy
y
d
=−
(3.30)
Решение уравнения (3.30) с начальными условиями τ = 0, y = y0
запишется как
0
20
1
1.
1 (1 )
y
y
y
−
=−
+ −
(3.31)
3. Моделирование процессов формирования оксидных микросфер
75
Таким образом, при постоянной скорости несущего потока дина-
мика изменения скорости вводимой частицы в зависимости от времени
и начальной скорости частицы описывается аналитической формулой
(3.24), (3.28) или (3.31), выбор которой определяется режимом обтекания. Расстояние, пройденное частицей, определяется интегрированием
зависимости up(t):
0
( ) ( ) .
t
p
x t u t dt=
(3.32)
3.3.2. Динамика нагрева и фазовых переходов частицы
Рассмотрим процессы нагрева, плавления и испарения пористых
частиц кремнезема в потоке плазмы. С учетом характерного времени рассматриваемых процессов (см. табл. 3.5) температуру частицы можно
считать одинаковой по ее объему. При этом уравнение теплового баланса
выглядит следующим образом:
( ),
p
p p p f p
dT
c m S T T
dt
= −
(3.33)
где mp – масса частицы; Sp – площадь поверхности частицы. Для сферических частиц диаметром Dp0 уравнение (3.33) принимает вид:
2
0
6
Nu( ).
pg
fp
p p p
dT
TT
dt
Dc
=−
(3.34)
В уравнении (3.34) коэффициент теплопроводности газа опреде-
лялся для пленочной температуры, т. е. λg = λg(Tf). Для нахождения
числа Нуссельта использовалась зависимость (3.13), в которой число
Рейнольдса определялось по результатам расчета скорости частицы.
Значение cp рассчитывалось по соотношениям (3.16). Уравнение (3.34)
решалось численным методом для периода прогрева частицы до температуры плавления. В дальнейшем предполагалось, что в процессе плавления Tp = T
melt
= const.
Динамика плавления частицы рассчитывалась с использованием
уравнения
Технологические основы получения микросфер
76
( ),
melt p p f melt
d
Q m S T T
dt
= −
(3.35)
где φ = m
melt/mp
– относительная доля расплавленной массы частицы.
Для сферических частиц уравнение (3.35) принимает вид:
0
Nu( ).
pg
f melt
p melt
D
d
TT
dt m Q
=−
(3.36)
В процессе плавления частицы величина изменяется от 0 до 1.
Оценку времени плавления частицы можно провести по формуле:
0
.
Nu( )
p melt
melt
p g f melt
mQ
t
D T T
=
−
(3.37)
Если после полного плавления частицы в потоке плазмы Tf > T
melt
,
то возможно испарение (сублимация) частицы. Динамика испарения
частицы рассчитывалась в рамках модели приведенной пленки [172,
173] с использованием уравнения:
0
Nu
ln(1 B),
pg
p vap
D
d
dt m c
=+
(3.38)
где ψ = m
vap/mp
– относительная доля испарившейся массы частицы;
c
vap
– удельная изобарическая теплоемкость паров кремнезема; B =
= c
vap(Tf
– T
vap
)/Q
vap
– число Сполдинга. В процессе испарения вели-
чина изменяется от 0 до 1. При B << 1 уравнение (3.38) при разложении логарифма в ряд Тейлора (ln(1 + B) B) сводится к виду:
0
Nu( ).
pg
f vap
p vap
D
d
TT
dt m Q
=−
(3.39)
Оценку времени полного испарения частицы при постоянной тем-
пературе равновесного испарения T
vap
= const можно провести по формуле:
0
.
π Nu( )
p vap
vap
p g f p
mQ
t
D T T
=
−
(3.40)
3. Моделирование процессов формирования оксидных микросфер
77
Система уравнений динамики, нагрева, плавления и испарения
частиц (3.21), (3.32), (3.34), (3.36), (3.38) решалась совместно. При расчете скорости и температуры газа в потоке неизотермической затопленной осесимметричной дозвуковой струи использовались соотношения:
g
g0
1, 4,76,
()
0,96
, 4,76,
0,29 0,14
x
ux
x
u
x
=
+
(3.41)
0
0
1, 4,76,
()
()
, 4,76,
g
g
g
g
x
Tx
ux
x
T
u
=
(3.42)
где
c
/x x d=
– безразмерное расстояние вдоль оси струи от выходного
сечения сопла плазмотрона. Соотношения (3.41), (3.42) удовлетворительно согласуются с результатами численного расчета струи, приведенными в работе [170].
С помощью математической модели, описывающей процессы
движения, нагрева, плавления и испарения частиц, проведены расчеты
для частиц кремнезема диаметром Dp0 = 250–350 мкм и объемной пористостью П = 0–0,6. На рис. 3.12 представлены результаты расчетов динамики движения и нагрева частиц кремнезема для различных значений объемной пористости. Показано, что на начальном участке струи
(х < 10 см) при одинаковом значении объемной пористости более крупные частицы достигают меньшей скорости. Кроме того, скорость частиц существенно зависит от их пористости. В частности, сплошные
частицы диаметром 350 мкм достигают скорости ug = 16,9 м/с, а частицы этого же диаметра с объемной пористостью П = 0,4 достигают
скорости up = 26,8 м/с. Разность скорости сплошных и пористых частиц
может достигать в зависимости от их диаметра и пористости 20–120 %.
На рис. 3.12, б видно, что сплошные частицы диаметром 300–350 мкм
не успевают нагреться до температуры плавления, однако частицы того
же диаметра, но с пористостью П = 0,4 на расстоянии х = 40 мм нагреются до температуры плавления. Частицы диаметром 200 и 250 мкм,
Технологические основы получения микросфер
78
независимо от пористости, достигнут температуры плавления при движении на начальном участке струи.
а
б
Рис. 3.12. Динамика движения(а) и нагрева (б) частиц SiO
2
:
1 – П = 0; 2 – 0,2; 3 – 0,4; 4 – 0,6; a – Dp0 = 250 мкм; b – 300 мкм; c – 350 мкм
Проведенная серия расчетов позволила сделать вывод, что пори-
стость частицы существенно влияет на динамику плавления при ее движении в плазменном потоке. На рис. 3.13 представлены зависимости
доли расплавленной массы частицы кремнезема от расстояния до выходного сечения сопла в потоке термической плазмы. На приведенных
графических зависимостях можно видеть, что эти зависимости имеют
четкое разделение для частиц с разной пористостью. Полное расплавление реализуется на расстоянии 15–70 мм для частиц диаметром
3. Моделирование процессов формирования оксидных микросфер
79
250 мкм при любом значении пористости и для пористых частиц диа-
метром 300 мкм. Для частиц диаметром 350 мкм оно реализуется
только для значений объемной пористости П 0,4.
Рис. 3.13. Зависимость доли расплав-
ленной массы от пройденного
пути для частиц SiO
2
:
1 – П = 0; 2 – 0,2; 3 – 0,4; 4 – 0,6; a –
Dp0 = 250 мкм; б – 300 мкм; в –
350 мкм
Полученные результаты расчетов по динамике движения и на-
греву частиц кремнезема были проанализированы совместно с результатами, полученными в работе [170] для частиц SiO2. Анализ показал
удовлетворительное согласование расчетных данных, из которых следует, что пористые частицы ускоряются и нагреваются более интенсивно, чем сплошные частицы того же диаметра.
3.4. Динамика образования полых частиц
В процессе анализа физико-математической модели динамики
движения, нагрева и плавления пористых частиц кремнезема в потоке
плазмы, основанной на решении уравнений движения и уравнения
теплового баланса частиц, установлено, что при получении полых
микросфер необходимо учитывать исходную пористость частицы,
т. к. динамика движения, нагрева и плавления частиц с разной пористостью существенно отличается. Одним из допущений модели явля-
а б в
Технологические основы получения микросфер
80
ется безградиентный нагрев пористой частицы на этапе прогрева частицы от начальной температуры Tp0 до температуры плавления конденсированной фазы T
melt
.
Из аналитического решения задачи о нагреве сферы с граничным
условием третьего рода [158] следует, что в этом процессе есть два характерных времени – время t2 прохождения тепловой волны до центра
частицы и время t3, за которое температура поверхности частицы становится сравнимой с температурой обтекающего потока Tg. Отношение
характерного времени t2/t3 пропорционально числу Био:
2
30
αλ
~Bi Nu ,
λλ
pg
p p p
t
tD
==
(3.43)
где t2 – характерное время прохождения тепловой волны до центра частицы; t3 – характерное время, за которое температура поверхности частицы становится сравнимой с температурой обтекающего потока Tg;
αp – коэффициент температуропроводности частицы; λp – коэффициент
теплопроводности пористой частицы; λg – коэффициент теплопроводности газа; Bi – число Био; Nu – число Нуссельта.
При Bi
<
1 разница температур поверхности и центра частицы
может заметно отличаться к моменту времени t2 [156, 158, 174]. Однако
при значениях Bi
≥
1 в первом приближении можно пренебречь разни-
цей температур. В частности, при Bi
=
1, Fo = 1 разница температур
в центре и на поверхности частиц не превышает 10 %.
После того как температура поверхности частицы достигает тем-
пературы плавления кремнезема, эта разница очень быстро уменьшается, поскольку температура проплавленного слоя близка к T
melt
. При
этом получить верхнюю оценку времени выравнивания температуры
в объеме частицы можно на основе решения тепловой задачи с граничным условием первого рода (Ts = T
melt
= const). Для данной задачи время
выравнивания температур пропорционально
0
2
2
/4æ
pp
tD=
.
При малых значениях t2 математическое моделирование задачи
в рамках предположения безградиентного нагрева является корректным.
Стоит отметить, что это допущение используется в ряде работ по динамике нагрева частиц в высокотемпературном потоке [170, 175] и др.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]