Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теплофизика. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

рое проявляется в появлении хрупкости и потери прочностных свойств. Теп-



 

T

 

T 1



T~

.750

~ T

max



,6790

max



)( КмВт 

,5990

)( КмВт 

,6840

)( КмВт 

V

 

tzyxqq

,,,

лопроводность охрупченной стали заметно ниже, чем обычной.

Строительные и теплоизоляционные материалы, как правило, имеют пористую структуру. За счет того, что в порах находится воздух, который является плохим проводником теплоты, эти материалы обладают низкой теплопроводностью. Для пористых и других неоднородных материалов под величиной

понимают некоторую эффективную теплопроводность. Тепло-

проводность влажных теплоизоляционных материалов выше, чем сухих.

Для многих материалов в нешироком диапазоне температур зависимость

описывается линейной функцией вида

, где

и  – константы, определяемые опытным путем.

Теплопроводность газов не зависит от давления. Из элементарной мо-

лекулярно-кинетической теории, основанной на модели идеально упругих

твердых шариков, следует

. Эта зависимость приближенно выполняется при высоких температурах, превышающих 2000 К. Из теории, более детально учитывающей взаимодействие молекул, вытекает, что

. Такая

зависимость согласуется с опытными данными при умеренных температурах.

Теплопроводность большинства жидкостей с повышением температуры уменьшается (углеводороды, органические и неорганические соединения, нефтепродукты). Для глицерина, некоторых многоатомных спиртов, сплава

натрий-калий  возрастает с повышением температуры. Зависимость тепло-

проводности от температуры для воды имеет сложный характер. Сначала она возрастает, при некоторой температуре достигает максимального значения

а затем уменьшается. Для обычной воды в состоянии насыщения

при температуре 100-105° С. С повышением давления теплопро-

водность жидкостей возрастает, однако зависимость слабая. Так, для воды при

20° С и давлении 0,101 МПа

, то есть рост теплопроводности составляет 13%.

, а при давлении 0,200 МПа

6.2. Уравнение теплопроводности

В основе теории теплопроводности лежит дифференциальное уравнение, которое служит для нахождения температурного поля либо в твердом

теле, либо в неподвижной жидкой или газообразной среде.

Уравнение выводится на основании первого закона термодинамики для бесконечно малого элемента тела объемом

, при этом рассматривается

процесс теплопроводности, протекающий при постоянном давлении.

Выделение теплоты может происходить за счет действия внутренних источников (например, при протекании тока по проводнику). Эта теплота задается в виде функции

, где

– мощность источника тепло-

ты, равная отнесенному к единице объема тела количеству теплоты, которое

выделяется в единицу времени.

К элементу

V

t

tVqdivQ 



тепл



V

tVqQ



ист

V



 

tzyxVh ,,,

tt 

 

ttzyxVh  ,,,

   

tVqtVqdivtzyxhttzyxhV





],,,,,,[

V

0t

   

tzyxhttzyxh











,,,,,,

lim

V

qqdiv

с 





 

qgradTdiv

с 





const















106,11a

1016,1a

10017,0



a

1088,1a

0

02 T

теплоты

за промежуток времени

подводится количество

– вектор плотности теплового потока в точке М.

Выделяемое за счет источников количество теплоты в

Масса выделенного элемента тела Энтальпия в момент времени

момента

как

определяется как

. (6.3)

На основании первого закона термодинамики для изобарического про-

цесса

После сокращения на

при

в левой части получаем

Первый закон термодинамики для бесконечно малого объема тела

, (6.2)

за t.

, а для

(6.4)

. (6.5)

Применяя закон Фурье, получим уравнение теплопроводности

При

Здесь

– оператор Лапласа,

. (6.6)

. (6.7)

– температуропроводность

(физическое свойство вещества, от которого зависит скорость изменения температуры в нестационарных процессах теплопроводности). Чем выше значение

, тем быстрее тело нагревается или охлаждается.

Значение температуропроводности для некоторых веществ приведены

ниже: медь при 273 К: вода при 373 К

/с, сталь 20 при 273 К

/с; воздух при 273 К и давлении 0,101 МПа

/с;

м2/с.

Для стационарных процессов теплопроводности скорость изменения температуры равна нулю. При отсутствии внутренних источников теплоты (при

) уравнение теплопроводности имеет вид

. (6.8)

Уравнение теплопроводности является дифференциальным уравнением

0t

   

zyxftzyxTT

,,,,,

0

0t

0

0

qq 









пов









dSq 0

ср

 

ср

TTq

сc





 

ср

пов











с частными производными.

В некоторых случаях стационарной теплопроводности уравнение (6.8)

упрощается и становится обыкновенным дифференциальным уравнением.

6.3. Начальные и граничные условия

При решении задач теплопроводности считаются известными плотность, теплоемкость и коэффициент теплопроводности и должны быть заданы геометрическая форма и размеры тела или интересующей области про-

странства, в котором протекает процесс теплопроводности.

Дополнительно к этому задаются начальные и граничные условия

Начальным условием задается распределение температуры внутри тела и на его границах в момент времени

. (6.9)

Граничным условием первого рода задается температура поверхности

тела при

как функция координат точек его границ.

Граничным условием второго рода задается плотность теплового потока

мой стенкой). Считают, что

в окружающую среду, и

ция вектора

где

на границе тела (например, на какой-либо поверхности, часто называе-

, если тепловой поток направлен от тела

, если наоборот. Тогда

, где

– проек-

на направление внешней нормали к поверхности тела

, (6.10)

– теплопроводность в данной точке границы тела.

Для установившегося температурного поля

. (6.11)

Граничным условием третьего рода задается температура среды

окружающей тело, и зависимость теплового потока от температуры поверхности тела (стенки)

и температуры среды

Обычно эта зависимость задается в виде закона Ньютона-Рихмана

где

– коэффициент теплоотдачи, он характеризует интенсивность пр о-

цесса конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружаю-

щей средой.

Граничное условие третьего рода имеет вид

, (6.12)

(6.13)

6.4. Стационарная теплопроводность



0

y

0

z

0

t

0

 



 





 

10c

TxT 



 

TxT 





CxCT 







0

constqx

Передача теплоты через плоскую стенку

Рассмотрим стационарный процесс переноса теплоты через плоскую

стенку, толщина которой

много меньше ширины и высоты. Направим ко-

ординатную ось x декартовой системы координат перпендикулярно стенке.

Источники теплоты в стенке отсутствуют; задана ее теплопроводность

либо в функции от температуры, либо как постоянная величина.

Возможны различные способы подвода теплоты через одну поверх-

ность и отвода через другую – за счет конвекции горячей или холодной жид-

кости около поверхности стенки; теплообмена излучением с другими телами или при осуществлении непосредственного контакта с более (менее) нагре-

тыми стенками и т.д.

Будем считать, что в любом случае отвода (подвода) теплоты темпера-

туры поверхностей стенки

постоянны.

Изотермические поверхности к стенке – плоскости, перпендикулярные

оси x. Таким образом,

С учетом этого уравнение теплопроводности принимает вид

Граничные условия

. (6.14)

Рассмотрим случай постоянной теплопроводности стенки . В таком

случае в (6.14)

сокращается и двукратное интегрирование приводит к вы-

ражению

Постоянные в этой зависимости определяются из граничных условий.

Окончательно

Таким образом, при постоянной теплопроводности температура в стен-

ке изменяется по линейному закону.

Вектор плотности теплового потока в изотропном теле перпендикуля-

рен к изотермической поверхности. Поэтому

. (6.15)

. Тогда, на осно-

вании первого закона термодинамики,

Таким образом, получаем

. (6.16)

. Значит, в стационарном процессе

переноса теплоты через плоскую стенку плотность теплового потока не зави-

сит от координат точки.

Значение

 

21 ccx

q 



















cc 21

qqx







21 cc













2211















R



1ж1









можно найти с помощью закона Фурье:

. (6.17)

По аналогии с электрическим сопротивлением вводится понятие термического сопротивления. Термическим сопротивлением

называется ве-

личина, численно равная отношению разности температур двух изотермиче-

ских поверхностей к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей.

Здесь принято

. Тогда

. (6.18)

. (6.19)

Плотность теплового потока пропорциональна разности температур

и обратно пропорциональна термическому сопротивлению.

Рассмотрим случай двухслойной стенки. Поскольку тепловой поток не

зависит от координаты, можно записать:

Перенесем термические сопротивления в левые части формул, сложим

формулы, а затем выразим:

. (6.20)

Выражения (6.19) и (6.20) справедливы для граничных условий первого

рода.

Практически важным является процесс, при котором известны величи-

ны, входящие в граничные условия третьего рода – температуры жидкостей с двух сторон стенки и коэффициенты теплоотдачи со стороны первой

и второй

жидкостей.

Процесс переноса теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей. В этом процессе существует

три термических сопротивления: одно внутреннее

(для многослой-

ных стенок оно равно сумме термических сопротивлений слоев) и два внешних

, которые равны

, (6.21 а)

2с2











с1

2с

с1

2с

21ж

11 





ж2ж1

TTT 

k

)/(

КмВт



k







ni





111





222





1ж



2ж



1



2



. (6.21б)

Здесь

вой жидкостью,

– температура поверхности стенки, соприкасающейся с пер-

– температура поверхности стенки, соприкасающейся со

второй жидкостью. Данные выражения записаны на основании закона Нью-

тона-Рихмана с учетом того, что единичные векторы внешней нормали к двум поверхностям стенки направлены в противоположные стороны.

Выражения (6.21а) и (6.21б) совместно с описанным ранее формулой

(6.18) термическим сопротивлением образуют систему из трех уравнений

с тремя неизвестными

. Неизвестные температуры стенок сокра-

щаются, если эти уравнения сложить. В результате получаем

. (6.23)

Отношение плотности теплового потока к разности температур (назы-

ваемой также температурным напором)

ентом теплопередачи

; его размерность

Для однослойной плоской стенки

называется коэффици-

; (6.24а)

Для многослойной стенки

. (6.24б)

Коэффициент теплопередачи характеризует интенсивность процесса теплопередачи. Он численно равен плотности теплового потока, передаваемого через стенку при температурном напоре, равном единице. Этот коэффициент представляет собой величину, обратную сумме всех термических сопротивлений. Если одно из сопротивлений значительно больше всех остальных, то практически оно и будет определять значение коэффициента теплопередачи. Чтобы увеличить коэффициент теплопередачи, надо умень-

шить наибольшее термическое сопротивление.

Внешнее термическое сопротивление можно трактовать следующим образом. В процессах конвективного теплообмена между поверхностью жидкости и одной поверхностью стенки, а также между другой поверхностью

и второй жидкостью можно рассматривать пограничный слой внутри жидко-

сти, имеющий условную толщину

, где

. Введем эту величину так, что

– теплопроводности первой

и второй жидкостей.

Тогда получаем трехслойную стенку, состоящую из данной твердой стенки и двух условных неподвижных жидких слоев толщиной

Термические сопротивления этих слоев (пленок жидкостей) и являются

внешними термическими сопротивлениями. Внешнее термическое сопротив-









0



T

0

z

 

rTT 

0



0

 

0

constrqr



2

constrqr

constql

 

11c

TrT 



 

22c

TrT 



0

 



 



ление будет мало, если у жидкости большая теплопроводность и малая толщина

. Уменьшение

можно получить путем увеличения скорости жид-

кости, турбулизацией пристеночного слоя и другими способами, которые

называются способы интенсификации теплоотдачи.

Тепловой поток через стенку можно увеличить также путем оребрения по-

верхности, так как площадь ребристой поверхности больше площади гладкой.

Передача теплоты через цилиндрическую стенку

Рассмотрим процесс передачи теплоты через цилиндрическую стенку

(стенку трубы, слой электрической изоляции на проволоке и т.п.) радиусами

. Длина стенки много больше ее радиусов и в ней отсутствуют источ-

ники теплоты. Температура на внутренней поверхности поддерживается постоянной и равной

; температура на внешней поверхности равна

Для изучения температурного поля будем использовать цилиндриче-

скую систему координат. При заданных температурных условиях темпера-

турное поле в стенке – осесимметричное:

тепловом состоянии температура зависит только от

. В стационарном

. Вектор плот-

ности теплового потока направлен по нормали к произвольной цилиндрической поверхности;

. На основании первого закона термодина-

мики получаем:

Таким образом,

, то есть плотность теплового потока через

цилиндрическую поверхность радиусом

. (6.25)

обратно пропорциональна радиусу

этой поверхности, она наибольшая на внутренней поверхности и наименьшая

на внешней.

Для цилиндрической поверхности удобно использовать величину

–

тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы:

Так как

, то

, то есть не зависит от

. (6.26)

Рассмотрим случай постоянной теплопроводности стенки. Граничные условия:

. (6.27)

Из уравнения теплопроводности получаем

. (6.28)

Общее решение уравнения получается после двукратного интегрирования:

CrlnCT 





 







 

rqq







r















1

2

1ж1











212

2с2











Константы определяются из граничных условий. В итоге

, (6.29)

то есть температура в стенке изменяется по логарифмическому закону.

Найдем

Величина

при помощи закона Фурье

. (6.30а)

представляет собой проекцию вектора

в данной точке

изотермической поверхности на направление единичного вектора. Она поло-

жительна, если теплота распространяется от внутренней поверхности стенки к внешней.

Определим величину

Если стенка тонкая, то есть выполняется условие

. (6.30б)

, получаем

и формула (6.30а) переходит в формулу (6.19) для плоской стенки.

Термическое сопротивление цилиндрической стенки задается выраже-

нием

. (6.31)

Рассмотрим процесс, при котором известны температуры жидкостей

с двух сторон стенки и коэффициенты теплоотдачи со стороны первой и второй

жидкостей. Так же как и для плоской стенки, существует три

термических сопротивления: одно внутреннее, определяемое формулой (6.31), (для многослойных стенок оно равно сумме термических сопротивлений слоев) и два внешних

, которые равны

, (6.32а)

. (6.32б)

Производя преобразования такие же, как и для плоской стенки, можно

21ж















 

221

21ж



























r



 

КмВт  /20

 

КмВт  /100

 

КмВт  /45

 

КмВт  /370

105,2 

1700

 

КкгкДж/88,0 

-6

10,5350 a

103

 

КмВт 

/100

 

КмВт  /3

получить

Коэффициент теплопередачи для цилиндрической стенки:

Для тонкой стенки (

для плоской стенки.

6.5. Задачи для практического занятия

6.1. Плоская стенка выполнена из материала с

, (6.33а)

. (6.33б)

. (6.34)

), эта формула переходит в формулу (6.24а)

. Тол-

щина стенки 10 мм. На одной стороне стенки температура 100° С, на другой 90° С. Найдите плотность теплового потока через стенку и температуру в се-

редине стенки. Ответ: 20 кВт/м

, 95° С.

6.2. Горячий и холодный теплоносители разделены плоской латунной

стенкой (теплопроводность

) толщиной 2 мм, перепад

температур в стенке равен 5° С. Вычислите плотность теплового потока че-

рез стенку. Определите толщину для стальной (теплопроводность

и для медной (теплопроводность

сте-

нок, у которых при том же перепаде температур плотность теплового потока останется неизменной. Ответ:

Вт/м2; 0,9 мм; 7,4 мм.

6.3. Плотность теплового потока через плоскую стенку толщиной

200 мм составляет 200 Вт/м2, а разность температур ее поверхностей 50° С.

Определите коэффициент температуропроводности стенки, если

кг/м3,

. Ответ:

м2/с.

6.4. При передаче теплоты через плоскую кварцевую стенку толщиной

10 мм плотность теплового потока составляет

Вт/м

. Снаружи стенки

находится жидкость при температуре 30° С, коэффициент теплоотдачи от жид-

кости к стенке стенки. Теплопроводность кварца

. Найдите температуры обеих поверхностей

. Ответ: 430° С, 330° С.

6.5. Окно в аудитории имеет сдвоенные рамы с зазором между стекла-

ми 60 мм. Вычислите тепловые потери через оконный проем 3 × 3 м без учета

конвекции в зазоре и теплового излучения, если толщина стекол 4 мм, а тем-

 

КмВт 



/101,24

 

КмВт  /24,0

5,19

ж1

t

ж2

t

 

КмВт  /77,0

 

КмВт 

/8,5

 

КмВт 

/15

 

КмВт  /24

 

КмВт 

/100

ж1

t

ж2

t

 

КмВт 

 

Км/Вт,  516



200

ж1

t

100

ж2

t

 

КмВт 

/2000

 

КмВт 

/100

 

КмВт

из

 /1,0

 

КмВт 

/20

 

КмВт 

/4000

пература поверхностей 12° С и -15° С. Теплопроводность воздуха

. Теплопроводность стекла

Ответ: 98,37 Вт.

6.6. Температура воздуха в аудитории

° С, внешнего воздуха

° С. Вычислите тепловые потери из аудитории, если наружная стена

имеет размеры 8 x 4,5 x 0,5 м, в ней нет окон. Стена кирпичная

, коэффициенты теплоотдачи от внутренней поверхности

, от внешней поверхности

. Ответ:

1520 Вт.

6.7. В плоском масляном обогревателе с габаритными размерами 0,7 x

0,7 x 0,025 м стальные стенки имеют толщину 1,5 мм, (

), ко-

эффициент теплоотдачи от масла к внутренней поверхности стенок составляет

ры его стенок со стороны масла (

эффициент теплоотдачи к воздуху равен

. Вычислите тепловой поток от обогревателя и температу-

° С) и воздуха (

° С), если ко-

. Ответ: 482 Вт,

75,41° С и 75,38° С.

6.8. Вычислите линейную плотность теплового потока через трубу из

жароупорной стали, если температуры е внутренней и наружной поверхно-

стей составляют 450° С, 580° С. Внутренний радиус трубы 21 мм, толщина

стенки 5 мм, средняя теплопроводность жароупорной стали при указанных условиях

. При каком значении радиуса этой трубы тем-

пература в стенке равна 500° С? Ответ: 49,56 Вт/м 17,76 мм.

6.9. Температура жидкости внутри трубы

температура

° С. Коэффициенты теплоотдачи

. Внутренний радиус трубы 9 мм, толщина стенки 1 мм.

° С, снаружи трубы

Найдите коэффициент теплопередачи, среднюю плотность теплового потока и температуры внутренней и наружной поверхностей трубы. Ответ:

95,1 Вт/м

, 9510 Вт/м

, 195,2° С и 195,1° С.

6.10. По стальной трубе диаметром 500 мм, толщиной стенки 5 мм

и длиной 30 м протекает вода со скоростью 0,5 м/с. Температура воды на входе в трубу 200° С. Труба покрыта тепловой изоляцией толщиной 100 мм с

. Температура окружающего воздуха 0° С,

. Найдите температуру воды на выходе

из трубы. Ответ: 199°C.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]