Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теплофизика. Учебное пособие-1
.pdf
входе в канал и на выходе из него, а также условие прилипания на твердых
a
l
k
akal
bkbl
l
k
s
k
SkSs
l
k
baK
l
/
bababaK
l
///
idemKl
idem
поверхностях, т.е. нулевое значение скорости на стенках канала.
Промежуточное положение между классом и единичным явлением за-
нимает группа явлений, представляющая собой совокупность подобных фи-
зических явлений.
Теория подобия физических явлений возникла как последовательное
обобщение представлений о геометрическом подобии.
В качестве геометрического примера рассмотрим класс прямоугольни-
ков. Если две стороны
и ту же величину
и b какого-либо прямоугольника умножить на одну
называемую множителем преобразования, то получим
прямоугольник со сторонами
вая множителю преобразования
и
, подобный первому. Прида-
различные значения, получим бесчислен-
ное множество фигур, входящее в класс прямоугольников и составляющее
группу фигур, т.е. совокупность подобных прямоугольников.
Множители преобразования для нелинейных элементов подобных фигур или тел будут отличаться от множителей преобразования линейных элементов, но будут одними и теми же для всех сходственных одноименных
элементов. Например, множитель преобразования
прямоугольников, определяемый соотношением
вен
, Однако он будет одним и тем же для всех сходственных элементов
площадей подобных
, разумеется, не ра-
площади.
Применительно к геометрическому подобию: множитель преобразова-
ния – это безразмерная величина, представляющая собой отношение сход-
ственных одноименных элементов двух различных фигур или тел. Если эти
две фигуры или тела подобны, то множители преобразования для всех одно-
именных, то есть имеющих одинаковую размерность, элементов одинаковы.
Аналогично вводится понятие множителя преобразования для физиче-
ских явлений (процессов). Это отношение одноименных (например, скоро-
стей или давлений) характеристик двух физических процессов в сходственные моменты времени и в сходственных точках. Если эти два процесса подобны, то множители преобразования представляют собой постоянные вели-
чины, не зависящие от координат и времени.
Кроме изложенного выше существует второй способ установления подобия. Рассмотрим безразмерную величину
, представляющую со-
бой отношение двух сторон одного какого-либо прямоугольника. Эта вели-
чина, называемая критерием или числом подобия, будет одной и той же для
всех подобных между собой прямоугольников, т. е. для всей этой группы фигур:
следующим образом:
Это обстоятельство принято обозначать
, где
означает «то же самое», т.е. для
всех подобных фигур критерий подобия имеет одну и ту же величину. Таким
образом, критерий подобия представляет собой безразмерную величину,
41
Рис. 4.1
представляющую собой комбинацию величин, определяющих элементы дан-
x
yu
y
0
r
0
r
xkxl
ykyl
u
yukyu
u
y
k
l
k
0
0
r
r
k
l
u
k
0
0
u
u
k
u
00
r
x
r
x
X
00
r
y
r
y
Y
ной фигуры или тела. Для всех подобных фигур или тел такая комбинация
имеет одно и то же значение.
Для подобных физических явлений могут быть записаны безразмерные
величины, критерии или числа подобия, образованные из величин, характерных для каждого данного явления и одинаковые для всех подобных явлений.
Таким образом, подобными физическими явлениями, образующими группу,
называются явления одной физической природы, принадлежащие к одному
классу (и, следовательно, описываемые одной и той же системой дифференциальных уравнений) и отличающиеся одно от другого лишь масштабами.
Все характеристики любого из таких явлений могут быть получены из одно-
именных характеристик любого другого явления, подобного данному, т.е.
принадлежащего к той же группе, путем умножения на соответствующие
множители преобразования, являющиеся постоянными величинами.
4.2. Множители преобразования и критерии подобия
Применим понятия теории подобия к задаче движения жидкости. На
рис. 4.1 показаны два случая движения жидкости в круглой трубе.
Для потока на рисунке а) на расстоянии
ление скорости изображается кривой
, где
от входа в трубу распреде-
– текущий радиус, который
изменяется от 0 до
, (
– радиус трубы).
Для потока на рисунке б) рассмотрим распределение скорости в сходственном сечении второй трубы, отстоящем на расстоянии
в нее.
Если в каждой точке этого сечения с текущим радиусом
определяется соотношением
, где
– множитель преобразо-
вания скорости, то это означает, что второй поток подобен первому.
При этом линейный множитель преобразования
ношение радиусов труб
. Множитель преобразования скорости
определится как от-
определится как отношение характерных скоростей,
например, средних по сечению:
.
Теперь используем понятие критериев подобия.
Потоки подобны, если при одинаковых значениях
безразмерного расстояния от входа, то есть критерия
от входа
скорость
и при одинаковых значениях безразмерно-
го расстояния от оси, то есть критерия
42
,
безразмерные скорости будут одинаковы, то есть
00
u
u
u
u
U
idemX
idemY
idemU
2
2
2
2
1
y
u
x
u
x
p
g
x
u
u
t
u
к
2
2
2
2
1
y
u
x
u
x
p
g
x
u
u
t
u
к
gkgg
g
g
k
g
l
l
k
l
0
0
u
u
k
u
t
t
k
t
l
tu
l
tu
00
l
tu
Ho0
idemHo
l
tu
l
tu
00
tt
. Таким обра-
зом, эти потоки будут подобны, если при выполнении условий
и
получим
.
Выясним, являются множители преобразования независимыми или
между ними имеется взаимосвязь, а также установим, как можно выбирать
множители.
Сначала рассмотрим два нестационарных потока реальной жидкости,
движущихся в поле силы тяжести. Будем считать, что потоки подобны между
собой; исследуем связь между множителями преобразования. Запишем урав-
нения движения для двух потоков:
(4.1)
(4.2)
Для второго потока соответствующие величины обозначены штрихами.
Из подобия потоков следует, что величины для второго потока пропорциональны величинам для первого, а коэффициентами пропорциональности яв-
ляются множители преобразования (например,
, поэтому
).
Выразим множители преобразования как отношения соответствующих
величин для первого и второго потоков:
– отношение характерных размеров первого и второго потоков,
– это отношение характерных скоростей первого и второго по-
токов,
. Подставим значения четырех введенных коэффициентов в (4.2)
и сравним полученное выражение с (4.1). Коэффициенты при аналогичных
слагаемых в уравнениях для двух подобных потоков должны быть равны, по-
этому получим
Безразмерная величина
.
называется критерием или числом го-
мохронности (число Струхала). Он представляет собой безразмерное время.
Равенство чисел гомохронности, то есть условие
(или
)
определяет сходственные моменты времени для двух потоков. (Распределения скоростей в этих потоках будут подобными не в один и тот же момент
времени
, а в сходственные моменты).
43
Величина
gl
u
Fr
2
0
lu
0
Re
2
0
u
p
Eu
0
dtu
2
2
2
2
1
y
u
x
u
x
p
g
x
u
u
к
x
называется критерием или числом Фруда, в нее вхо-
дят постоянные величины и она представляет собой безразмерный параметр
задачи.
Величина
– число Рейнольдса. В данной задаче это также без-
размерный параметр.
Величина
– критерий или число Эйлера. Она представляет
собой безразмерное давление, то есть безразмерную искомую функцию
в данной задаче. В критерий Эйлера входят два постоянных параметра: плот-
ность и скорость, а также давление, являющееся переменной величиной, по-
этому критерий является переменной величиной.
Физический смысл критериев подобия установим из рассмотрения потока
реальной жидкости в стационарном случае (из условия стационарности следует,
что
и критерий Струхала при этом выпадает из рассмотрения)
(4.3)
Это уравнение представляет собой частный случай уравнения Навье-
Стокса и каждое слагаемое в нем имеет смысл массовой плотности определенной силы, действующей в потоке жидкости. В левую часть (4.3) входит
плотность силы инерции, первое слагаемое справа – массовая плотность гравитационной силы, второе – массовая плотность силы давления, третье –
массовая плотность силы внутреннего трения.
Критерий Эйлера представляет собой отношение порядков сил давления и инерции и является приближенной характеристикой соотношения этих
сил. Критерий Фруда характеризует соотношение силы инерции и гравита-
ционной, критерий Рейнольдса – соотношение сил инерции и внутреннего
трения.
4.3. Взаимосвязь между критериями подобия.
Основные теоремы теории подобия
Как было установлено, для подобных потоков все критерии подобия
равны между собой. Выясним, необходимо ли выполнение всех этих условий
или достаточно равенство лишь некоторых критериев для того, чтобы другие
критерии тоже оказались равными, а рассматриваемые потоки подобными.
Рассмотрим двумерное стационарное течение реальной несжимаемой
жидкости, происходящее в поле действия силы тяжести, вектор массовой
плотности (ускорения) которой направлен вдоль оси
.
44
Течение описывается системой из трех уравнений с тремя неизвестными –
u
p
x
0
u
2
0
u
l
0
u
u
U
0
u
v
V
2
0
u
p
Eu
l
x
X
l
y
Y
U, V
Eu
idemU , idemV
idemEu
idemRe
idemFr
idemU , idemV
idemEu
U, V
Eu
два уравнения Навье-Стокса для осей x и y и уравнение неразрывности.
В результате решения задачи, дополненной граничными условиями,
три искомые величины (две компоненты вектора скорости
) определятся в виде функций от двух аргументов
и y и всех параметров
и v и давление
задачи, в число которых входят плотность и вязкость жидкости, ускорение
силы тяжести, характерное значение скорости, заданное в граничных услови-
ях задачи, и характерный размер потока.
Таким образом, каждая искомая величина является функцией двух ар-
гументов и пяти параметров.
Выполним операцию приведения задачи к безразмерному виду. Для
этого преобразуем все переменные величины путем деления их на соответствующий масштаб. В качестве масштаба приведения для скорости исполь-
зуем ее характерное значение
размерность давления, для координат – характерный размер потока
образом, получим безразмерные компоненты скорости
размерное давление
, для давления величину
и безразмерные координаты
, имеющую
. Таким
и
и
, без-
.
Система уравнений, записанная с использованием этих новых переменных, содержит всего два безразмерных параметра Re и Fr, и следовательно, ее
решение имеет вид зависимости трех безразмерных искомых функций
и
от двух безразмерных координат X, Y и от этих двух параметров.
Из полученного результата следует вывод: для двух потоков, описываемых одинаковой системой уравнений, распространяющихся в геометрически подобных системах и характеризующихся подобием условий однозначности, зависимость искомых безразмерных величин скоростей и давления от
безразмерных координат оказывается одинаковой. Используя термины, вве-
денные ранее, получим следующее описание: условия
и
в сходственных точках выполняются при одинаковых значениях
критериев Рейнольдса и Фруда, то есть при выполнении условий
и
. Следовательно, одинаковые значения критериев Рейнольдса
и Фруда являются необходимыми и достаточными условия подобия потоков.
При этом условия
и
в сходственных точках
выполняются автоматически.
Критерии подобия, имеющие смысл безразмерных постоянных пара-
метров задачи (в данном примере Re и Fr) и следовательно, составленные из
параметров, то есть условий однозначности, называются определяющими
критериями.
Критерии, имеющие смысл безразмерных искомых величин, (в примере
это безразмерные скорости и давление то есть
и
) называются опре-
деляемыми критериями.
45
Определяющие критерии, как правило, характеризуют соотношение
важнейших факторов, влияющих на развитие процесса.
Анализ, подобный рассмотренному, может быть проведен для любых
процессов, имеющих математическое описание, что позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия подобия таких процессов. Эти
условия составляют первую теорему теории подобия: процессы являются
подобными, если они принадлежат к одному классу, т.е. описываются тождественными уравнениями, протекают в геометрически подобных системах,
характеризуются подобием условий однозначности и равенством одноименных критериев, составленных из условий однозначности (определяющих).
Результаты единичного эксперимента можно распространять на группу
явлений, т.е. на совокупность подобных явлений. При этом указанные результаты должны быть обработаны в виде зависимостей безразмерных искомых величин (определяемых критериев) от безразмерных аргументов и от
безразмерных параметров (определяющих критериев).
Сопоставление вида решений рассмотренной задачи, сформулирован-
ной в размерных величинах и в безразмерных, позволяет сделать еще один
важный вывод. Оказывается, что в результате приведения задачи к безразмерному виду число величин, от которых зависят искомые функции, существенно сокращается. Это обстоятельство имеет большое практическое значение, так как облегчает графическое или табличное представление результа-
тов теоретического или экспериментального решения задачи.
На основе данного вывода формулируется вторая теорема теории по-
добия: любое уравнение или система уравнений, связывающая между собой
N физических величин, из которых K величин обладают независимыми раз-
мерностями, можно преобразовать к уравнению или системе уравнений, свя-
зывающему N-K безразмерных критериев.
В рассмотренном выше примере в соответствии со второй теоремой
число параметров уменьшилось на три.
4.4. Автомодельность
Определяющие критерии характеризуют соотношение определенных
физических факторов, оказывающих решающее влияние на рассматриваемый
процесс. В случае, когда один из этих факторов оказывается очень большим
или, напротив, очень малым, их соотношение перестает оказывать влияние
на протекание процесса. При этом соответствующий критерий также оказывается либо очень большим, либо очень малым, а его изменение не сказывается более на ходе процесса. Это явление называют вырождением критерия
или автомодельностью процесса (явления) по отношению к данному критерию. Смысл термина заключается в том, что при изменении вырожденного
критерия безразмерные характеристики процесса не изменяются, т.е. он остается подобным самому себе, моделирует сам себя.
46
В качестве примера потока, автомодельного по отношению к числу
тр
K
2
0
u
p
Eu
Рейнольдса, можно привести учет потерь энергии на трение в случае турбулентного течения жидкости в трубах или каналах. При больших значениях
числа Рейнольдса, когда реализуется режим движения в шероховатой трубе,
гидравлический коэффициент трения
противления трения
перестают зависеть от числа Рейнольдса. При этом
и, следовательно, коэффициент со-
потеря давления на трение оказывается пропорциональной квадрату скоро-
сти, а соответствующий ей критерий Эйлера
является постоянной
величиной, не зависящей от числа Рейнольдса.
Явление автомодельности существенно облегчает моделирование тех
процессов, в которых оно реализуется. В частности, автомодельность течения
газов в рабочих камерах печей по отношению к числу Рейнольдса значительно упрощает моделирование процессов в печах и очень часто используется
на практике.
4.5. Гидродинамическое подобие
При моделировании движения потоков газа в процессах, реализуемых
в металлургическом производстве [4], могут ставиться две задачи:
– исследование качественной картины течения, т.е. направления дви-
жения потоков, их распределения по каналам, определение формы и разме-
ров различных зон в потоке;
– исследование количественных характеристик потоков, т.е. распределения скоростей и давлений в различных частях потока.
В первом случае прибегают к так называемому гидравлическому моделированию с использованием воды в качестве моделирующей среды (рабочей
жидкости). Во втором случае применяют аэродинамические модели, в кото-
рых рабочей жидкостью служит воздух.
В любом случае течение в модели должно быть подобно течению в об-
разце. Рассмотрим, как при этом выполняются условия подобия, сформулированные в первой теореме теории подобия.
Первое из этих условий, заключающееся в тождественности уравнений,
описывающих течение в образце и в модели, строго говоря, как при гидравлическом, так и при аэродинамическом моделировании нарушается. Дело
в том, что уравнения, описывающие движение в печи газов, обладающих пе-
ременной плотностью, и уравнения движения несжимаемой жидкости (воды
или воздуха) в модели различны. Однако этим обстоятельством при моделировании пренебрегают, считая, что плотность печных газов постоянна и равна своему среднему значению, которое и используют при расчетах модели.
Разумеется, это придает моделированию приближенный характер.
Второе условие, т.е. требование геометрического подобия образца
и модели, выполняется без труда. Для этого модель изготавливают геометриче-
47
ски подобной внутренним контурам печи в разумном масштабе, обеспечиваю-
l
l
k
l
l
щем удобство работы с моделью. Обычно для изготовления модели применяют
органическое стекло, которое легко обрабатывается и позволяет проводить визуальные наблюдения. При этом в случае гидравлического моделирования ис-
пользуют подкраску потока или другие методы визуализации течения.
Наибольшие трудности вызывает выполнение третьего условия подобия, т.е. подобия условий однозначности. Что касается подобия граничных
условий, т.е. условий на входе в образец и в модель и на выходе из них,
а также на твердых стенках, то оно обеспечивается следующим образом.
Вход в модель и выход из нее изготавливают геометрически подобными входу в образец и выходу из него, что позволяет обеспечить подобие распределений скоростей в этих сечениях образца и модели. Граничные же условия на
стенках модели всегда подобны таковым в образце, так как на твердой по-
верхности выполняется условие прилипания. Это так называемые неуправля-
емые граничные условия. Практически невозможно обеспечить подобные
распределения физических параметров (плотности и вязкости) в образце
и в модели, поскольку в модели эти параметры постоянны, а в образце меня-
ются, так как зависят от температуры. При этом в качестве физических параметров среды в образце принимают средние значения плотности и вязкости
печных газов, которые используют, рассчитывая модель. Это также снижает
точность моделирования и придает ему приближенный характер.
Выполнение четвертого условия, т.е. равенства определяющих (составленных из условий однозначности) критериев обычно не составляет труда.
Как правило, влиянием силы тяжести на течение газов можно пренебречь
и определяющим критерием является число Рейнольдса. В связи с этим до-
статочно обеспечить равенство чисел Рейнольдса, рассчитанных по входной
скорости для образца и модели. Однако, как было сказано выше, в современных металлургических процессах часто реализуется автомодельный по отношению к числу Рейнольдса режим движения газов. Поэтому и равенство
чисел Рейнольдса не является обязательным. Подобие потоков в образце
и в модели может быть обеспечено и в случае, когда число Рейнольдса для
модели меньше, чем для образца, если при этом режим движения в модели
также является автомодельным.
Приступая к моделированию движения газов в канале (трубопроводе),
вначале выбирают линейный масштаб модели, представляющий собой отношение линейных размеров модели к соответствующим размерам образца, т.е.
линейный множитель преобразования
, где
и l – характерные разме-
ры модели и образца, соответственно. Модель, понятно, не должна быть
слишком громоздкой, но и не может быть слишком малой, так как в этом последнем случае затрудняются измерения потоков и снижается их точность.
Кроме того, при использовании слишком малой модели необходимые скорости рабочей жидкости оказываются весьма большими, что требует использо-
48
вания специальных устройств и также затрудняет измерения и визуальные
0
u
кк
lulu
00
к
к
l
lu
u
0
0
V
Q
V
Q
2
0
clQuV
2
0
lcQu
V
rl
c
к
кV
V
l
lQ
Q
l
l
k
l
к
к
k
k
vlVV
kkQQ
p
2
0
u
p
Eu
к
lu
0
Re
наблюдения.
После того как выбран линейный масштаб модели и известна рабочая
жидкость, используемая в модели (вода или воздух), а следовательно, известен кинематический коэффициент вязкости моделирующей среды
найти величину характерной скорости в модели
. Для этого исходят из тре-
, можно
бования равенства чисел Рейнольдса для образца и модели:
откуда
. Обычно в качестве характерной скорости в образце
, (4.4)
и в модели используют скорость на входе в канал.
Как правило, для образца известен расход среды (газа)
. Пользуясь
соотношением (4.3) легко найти необходимый расход рабочей жидкости на
модели
. Для этого выражают скорость через объемный расход, и учитывают, что проходное сечение канала пропорционально квадрату линейного
размера, то есть
и
, где с – коэффициент пропорци-
ональности, одинаковый для образца и модели вследствие их геометрического подобия (например, для круглой трубы
или, учитывая, что
и
и
(
– линейный множитель
). Тогда получают
преобразования для коэффициента вязкости), можно записать:
(4.5)
На практике в случае, когда режим движения в модели является авто-
модельным по отношению к числу Рейнольдса, можно использовать и мень-
шие величины расхода [4].
Для того, чтобы убедиться в наличии автомодельного режима поступают следующим образом. Измеряют разность давлений в двух точках модели
сти числа Эйлера
при различных расходах рабочей жидкости и строят график зависимо-
от числа Рейнольдса
. Автомодельный ре-
жим наступает, когда Еu перестает зависеть от Re, т.е. когда реализуется
квадратичный закон сопротивления. При этом график представляет собой
прямую, параллельную оси абсцисс.
После того, как модель изготовлена и определен необходимый расход
рабочей жидкости, приступают к исследованию модели. Полученные при
этом экспериментальные данные, обработанные в виде зависимости безразмерных функций (определяемых критериев) от безразмерных параметров
(определяющих критериев) и от безразмерных координат, будут приближен-
но справедливы для моделируемого образца.
49
4.6. Задачи для практического занятия
5
106,5
н
56850.
н
5
10511,1
м
2045,1
м
5
1
10511,1
6
2
100,1
6
100,1
м
4,39Q
н
5
1009,1
н
2
с/мН
constEu
972,0
6
н
1011,23
2,998
м
6
м
10006,1
200
м
p
н
p
4.1. Сопротивление сложного участка трубопровода диаметром 200 мм,
по которому протекает окись углерода при T = 327°C и давлении 1 атм.
(
м
2
/с,
кг/м
3
) решено определить на модели в 1/4
натуральной величины путем продувания воздуха при T = 20°C и давлении
1 атмосфера (
м2/с,
кг/м3). Определите:
1) с какой скоростью следует вести продувку на модели, если средняя
скорость потока окиси углерода в трубе составляет 10 м/с;
2) какова будет потеря напора на исследуемом участке трубопровода
при указанной скорости, если на модели при требуемой для нее скорости по-
теря напора 1,2 м водяного столба. Ответ: 11,6 м/с, 0,42 м. вод. ст.
4.2. По трубе диаметром 300 мм протекает воздух со средней скоро-
стью 4 м/с при температуре 200° С. (
2
м
/с). Определить, какая
скорость должна быть задана для воды при температуре 200° С
(
2
м
/с) в трубе диаметром 100 мм, чтобы потоки в обеих трубах
были гидродинамически подобными. Ответ: 0,8 м/с.
4.3. Для измерения расхода природного газа в газопроводе диаметром
400 мм предполагается установить диафрагму, характеристики которой
определялись на модели, изготовленной в 1/4 натуральной величины. В мо-
дели протекала вода при 200 С (
расходе воды
м3/ч на модели устанавливается режим автомодельной
2
м
/с). Опыты показали, что при
турбулентности. Определите соответствующий этому режиму минимальный
расход газа в натуре. Температура и давление природного газа 20° С,
p = 1 атм (
томодельной турбулентности
= 0,72 кг/м3,
). Указание: для режима ав-
. Ответ: 2351 м3/ч (0,65 м
3
/с).
4.4. Пользуясь условиями предыдущей задачи, определите, каким должен быть перепад пьезометрических высот на диафрагме в газопроводе при
расходе природного газа 5000 м3/ч, если на модели при расходе воды 100 м3/ч
он оказался равным 136 мм. рт. ст. Указание: при заданных расходах оба по-
тока находятся в автомодельной области. Ответ: 941 мм рт. ст.
4.5. Исследование сопротивления элемента воздушного подогревателя
выполнено на водяной модели, изготовленной в 1/5 натуральной величины.
Средняя скорость и температура воздуха, протекающего в образце, равны со-
ответственно 5 м/с и 100° С. Физические параметры воздуха при этой темпе-
ратуре
кг/м3,
температуре 200° С (
модели оказалось равным
кг/м3,
2
м
/с. В модели протекала вода при
2
м
/с). Сопротивление
мм. рт. ст. Определите среднюю ско-
рость воды, которую следует задать на модели, и сопротивление элемента
воздушного нагревателя
.
Ответ: 1,09 м/с, 4 мм. вод. ст.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]