Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теплофизика. Учебное пособие-1
.pdf
ГЛАВА 3
ТЕОРИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
3.1. Понятие пограничного слоя
Уравнения движения реальной жидкости (уравнения Навье-Стокса) даже
в том случае, когда не учитывается сжимаемость жидкости, настолько сложны,
что их аналитическое решение, а именно, отыскание распределения трех ком-
понент вектора скорости и давления, в общем виде невозможно. Эти уравнения
имеют точные решения лишь в некоторых наиболее простых случаях.
Однако на практике существует необходимость в решении задач движения вязкой жидкости, так как они имеют не только самостоятельное значение, но и играют чрезвычайно важную роль при рассмотрении процессов
конвективного теплообмена и массообмена. В связи с этим были созданы
различные приближенные теории и методы, позволяющие решать указанные
задачи. Наибольшее значение среди них имеет теория пограничного слоя, основы которой были заложены Л. Прандтлем в начале двадцатого века. На основе теории Прандтля строится современная теории процессов конвективно-
го переноса тепла и массы [4].
В теории гидродинамического пограничного слоя делается важное
предположение: учитывать силу внутреннего трения нужно лишь при больших градиентах скорости. Следовательно, только при этом условии (когда
градиенты скорости достаточно велики) необходимо принимать в расчет силы внутреннего трения, действующие в движущейся реальной жидкости.
В других случаях жидкость можно рассматривать как идеальную, невязкую.
Очевидно, что большие градиенты скорости могут возникать в следующих двух случаях. Во-первых, при движении жидкости вблизи твердой по-
верхности, так как на поверхности осуществляется условие прилипания, т.е.
скорость жидкости равна нулю. Во-вторых, вблизи зоны контакта двух пото-
ков жидкости, имеющих существенные различия в скорости, например, при
истечении жидкости в неподвижную среду, заполненную той же жидкостью.
В первом случае говорят о возникновении пристеночного пограничного слоя,
во втором – свободного пограничного слоя.
В обоих случаях в потоке можно выделить тонкую по сравнению с его
размерами зону, например, вблизи твердой поверхности, в которой попереч-
ный градиент скорости настолько велик, что пренебрегать влиянием сил
внутреннего трения нельзя. В остальной же части течения жидкость ведет себя как идеальная, так как градиент скорости и, следовательно, силы внутрен-
него трения в этой области пренебрежимо малы. Именно эта тонкая зона,
в которой необходимо учитывать влияние сил внутреннего трения, и носит
название пограничного слоя.
Такое рассмотрение потока, то есть разделение его на две области – пограничный слой и зону невязкого или невозмущенного течения – имеет два
весьма существенных достоинства. Во-первых, движение жидкости в невоз-
31
Рис. 3.1
мущенном потоке, т.е. за пределами пограничного слоя, описывается законо-
0x
0
u
xOz
0x
0
u
кр
x
мерностями, характерными для идеальной жидкости, т.е. уравнениями Эйле-
ра. Во-вторых, в пограничном слое уравнения движения вязкой жидкости
существенно упрощаются в связи с малой толщиной слоя.
3.2. Виды пограничных слоев
На рис. 3.1 показана схема одного из
простейших случаев пограничных слоев –
пристеночного пограничного слоя, образующегося при стационарном движении жидкости вдоль полубесконечной плоской по-
верхности.
Неограниченный поток, имеющий для
, то есть до передней кромки стенки,
однородное распределение скорости
, движется вдоль плоской пластины, не-
ограниченной в направлении оси z. Поверхность пластины совпадает с полу-
плоскостью
В любом сечении потока, то есть при любом
, соответствующей положительным значениям координаты х.
, скорость на поверхности
равна нулю, и, следовательно, вблизи поверхности образуется тонкий пограничный слой, в пределах которого скорость изменяется от нуля на стенке до
на его верхней границе.
По мере удаления от передней кромки пластины толщина пограничного слоя возрастает, поскольку возмущающее (тормозящее) влияние стенки
проникает все дальше в невозмущенный поток вследствие поперечного переноса импульса, то есть вследствие действия сил внутреннего трения. Таким
образом, пристеночный пограничный слой – тонкий слой движущейся жид-
кости, расположенный вблизи поверхности твердого тела. По толщине этого
слоя скорость изменяется от нуля на стенке до скорости невозмущенного потока на его границе. За пределами пограничного слоя поперечный градиент
скорости отсутствует, и силы внутреннего трения нет.
Режим движения жидкости в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. По мере удаления от передней кромки пластины толщина пограничного слоя возрастает, и при этом градиент скорости в этом слое (и сила трения) уменьшаются. Однако, увеличение толщины
пограничного означает нарастание массы жидкости, движущейся в нем,
и следовательно, увеличение силы инерции. На расстоянии
от передней
кромки пластины сила инерции становится сравнимой с силой трения, и ламинарный режим переходит в турбулентный – образуется турбулентный пограничный слой.
Таким образом, турбулентный пограничный слой состоит из двух зон:
большую часть его толщины занимает собственно турбулентная зона, а вблизи стенки сохраняется тонкий ламинарный подслой. Разумеется, описанная
32
Рис. 3.2
двухслойная схема турбулентного пограничного слоя представляет собой
0x
0x
01
u
02
u
лишь весьма упрощенную модель реального очень сложного явления.
Критическое расстояние х
, на котором образуется турбулентный по-
кр
граничный слой, определяется из критического значения числа Рейнольдса.
Как и в случае течения в трубах, для движения в пограничном слое можно
задать лишь нижнее критическое значение этого критерия, которое для рассматриваемого случая имеет величину порядка 10
5
.
Второй вид пограничного слоя образуется при смешении двух полуограниченных однородных потоков и называется свободным пограничным
слоем. Пусть имеются два полуограниченных потока жидкости, движущихся
с различной скоростью вдоль разделяющей их бесконечно тонкой пластины,
которая заканчивается при значении координаты
прямой
образуется зона, разделяющая два невозмущенных потока,
в которой происходит изменение скорости от
. По мере удаления от
до
. Эта зона носит
название свободного или струйного пограничного слоя.
В свободном пограничном слое, как и в пристеночном, имеется поперечный градиент скорости, и, следовательно, действует сила трения, соизме-
римая с силой инерции. Однако, в отличие от пристеночного пограничного
слоя, который с одной стороны примыкает к невозмущенному потоку,
а с другой – к твердой поверхности, свободный пограничный слой с обеих
сторон переходит в невозмущенный поток. Это обстоятельство приводит
к тому, что свободный пограничный слой, в связи с отсутствием стабилизи-
рующего влияния стенки, легко становится турбулентным, и встречающиеся
на практике свободные струи почти всегда турбулентные.
Отсутствие твердой поверхности приводит также к тому, что в свобод-
ном турбулентном пограничном слое, т. е. в свободных турбулентных струях
отсутствует ламинарный подслой. Такой пограничный слой является турбу-
лентным по всей толщине.
Пограничный слой образуется и при движении жидкости в трубе. На
рис. 3.2. показана схема течения жидкости в трубе.
Во входном сечении
трубы 1-1 распределение
скорости однородное.
В связи с тем, что на стен-
ке скорость равна нулю,
начиная с входного сечения трубы, вблизи стенки образуется кольцевой пограничный слой, а в центральной части течения сохраняется зона невозмущенного потока, называемая
потенциальным ядром, в которой отсутствует поперечный градиент скорости.
По мере удаления от входного сечения толщина пограничного слоя возрастает
и в сечении 2-2 он смыкается на оси, заполняя всю площадь поперечного сечения трубы. В сечении 3-3 изменений уже не происходит. Первый участок
носит название входного, второй – переходного, а третий участок называют
33
участком гидродинамически стабилизированного или установившегося тече-
2
2
2
2
1
y
u
x
u
x
p
y
u
v
x
u
u
к
2
2
2
2
1
y
v
x
v
y
p
y
v
v
x
v
u
к
0
y
v
x
u
v
p
x
2
2
1
y
u
xd
pd
y
u
v
x
u
u
к
0
y
v
x
u
ния. Рассмотренная схема является общей и для ламинарного, и для турбу-
лентного течения. Профиль скорости для первого типа течения является параболическим (кривая а), для второго типа течения вблизи оси скорость почти
неизменна, вблизи стенок резко изменяется до нуля (кривая б).
3.3. Дифференциальные уравнения
ламинарного пограничного слоя
Рассмотрим, какими уравнениями можно описать движение жидкости
в пограничном слое. Пусть вблизи плоской поверхности образовался ламинар-
ный пограничный слой. Такой случай реализуется, например, когда металл в виде полосы перемещается относительно неподвижной атмосферы печи, что рав-
ноценно перемещению однородного потока относительно поверхности металла.
Движение описывается системой уравнений
(3.3)
(3.1)
(3.2)
Переменные в этих уравнениях – две компоненты вектора скорости u
и
, давление
екций скорости на оси
. Уравнения (3.1) и (3.2) – уравнения Навье-Стокса для про-
и y, уравнение (3.3) – уравнение неразрывности для
двумерного течения. Гравитационными силами можно пренебречь.
От записанной системы далее нужно перейти к уравнениям пограничного слоя. Для этого производится оценка порядка входящих в систему величин, после которой малые величины отбрасываются. В результате оценки во
втором уравнении все величины являются малыми, и в системе останется
только два уравнения. Они называются уравнениями пограничного слоя или
уравнениями Прандтля [4]:
(3.4)
(3.5)
Характерным свойством изучаемого движения является то, что поперек
пограничного слоя давление почти не изменяется, то есть оно передается че-
рез пограничный слой без искажений.
Поскольку движение за пределами пограничного слоя подчиняется закономерностям движения идеальной жидкости, распределение давления
в этой области, а следовательно, и в пограничном слое, может быть получено
34
путем решения уравнений Эйлера. Например, для случая стационарного
xd
pd
x
u
u
1
0
0
0
xd
pd
00
xd
ud
2
2
y
u
y
u
v
x
u
u
к
0y
0u, 0v
y
0
uu
0
y
u
yy
u
v
x
u
u
1
uuu
vvv
u
u
0
y
v
x
u
t
yy
u
v
x
u
u
1
yu
движения вдоль плоской поверхности уравнение Эйлера для невозмущенного
потока имеет вид:
откуда получается, что
, так как
,
. С учетом этого уравнение
(3.4) принимает вид:
. (3.6)
Система уравнений (3.5)-(3.6) пригодна как для слоя на плоской по-
верхности, так и для свободного слоя.
Граничные условия для данной задачи имеют вид
При
:
. При
:
,
.
Используя формулу Ньютона для касательного напряжения трения,
уравнение (3.6) можно записать в виде
. (3.7)
3.4. Дифференциальные уравнения
турбулентного пограничного слоя
Уравнения турбулентного пограничного слоя записываются для усредненных по времени скоростей. Вид уравнений в данной случае такой же, как
для ламинарного слоя, но в них подставляются мгновенные значения скоро-
сти в турбулентном режиме, последние записываются в виде:
Здесь использованы обозначения:
.
– усредненная скорость жидкости,
– усредненная пульсационная скорость.
Для турбулентного слоя уравнение неразрывности записывается для
усредненных значений скорости:
То же относится и к уравнению движения:
Здесь
ным переносом количества движения; такое же, как для ламинарного погра-
. (3.8)
. (3.9)
– касательное напряжение трения, обусловленное молекуляр-
35
ничного слоя. Второе слагаемое
t
v
u
v
t
u
l
2
2
y
u
l
ut
yklu
y
k
– усредненная плотность количества дви-
жения, переносимого в поперечном направлении благодаря наличию поперечной пульсации скорости
(турбулентное касательное напряжение тре-
ния). Особенность данного явления состоит в турбулентном переносе коли-
чества движения, обусловленном пульсационным характером движения.
Переменные в записанных уравнениях – две компоненты вектора ско-
рости
и
, и турбулентное касательное напряжение трения
. Для описа-
ния явления необходимо еще одно уравнение, для чего можно использовать,
например, полуэмпирическую теорию турбулентности Прандтля.
Теория опирается на аналогию с молекулярно-кинетической теорией
газов. Средней длине свободного пробега молекул аналогичен путь смещения. Путем смещения
называют такое расстояние, на протяжении которого
перемещающийся поперек потока объем жидкости (турбулентный моль) сохраняет свое усредненное количество движения постоянным. Пройдя это
расстояние турбулентный моль скачком, то есть пульсацией изменяет свое
количество движения, смешиваясь с окружающей жидкостью. Турбулентное
касательное напряжение трения задается выражением
(формула
Прандтля). Формула Прандтля замыкает систему уравнений турбулентности,
она позволяет выразить напряжение трения через u. Для пристеночного пограничного слоя можно принять
стенки,
– единственная эмпирическая константа в этой теории. Граничные
, где
– расстояние по нормали от
условия для турбулентного слоя не отличаются от условий для ламинарного
слоя.
Итак, выше записаны уравнения, позволяющие аналитически решить
задачу о движении в пограничном слое жидкости (с использованием только
одной эмпирической константы для турбулентного слоя). Однако, для расче-
та характеристик и турбулентного и ламинарного пограничного слоя используют более простые приближенные методы (интегральные методы, в основе
которых лежит уравнение потока количества движения).
3.5. Расчеты пограничных слоев
на основе интегральных методов
Уравнение потока количества движения для пограничного слоя
Для пограничного слоя закон изменения его толщины в зависимости от
координаты, распределение скорости и величину касательного напряжения
трения на поверхности можно определить, используя уравнение потока импульса для пограничного слоя. Это уравнение выводится из закона сохранения импульса для потока жидкости, который формулируется следующим образом: результирующий поток количества движения через некоторую замкнутую поверхность, выделенную в движущейся жидкости, равен равно-
действующей внешних сил, приложенных к этой поверхности.
36
Уравнение потока импульса для пограничного слоя [4]:
0
0
dyuuu
xd
d
0
0
0
y
к
y
u
dyuuu
xd
d
y
3
dycybyayu
0y
0u
0
2
2
y
u
y
0
uu
0
y
u
0u
0v
0
0
2
2
y
y
u
u
0
u
0a, 0с
b
d
2
0
2
1
2
3
yy
u
u
x
, (3.10)
– касательное напряжение трения на поверхности пластины.
Для ламинарного слоя напряжение выражается из закона Ньютона,
и уравнение (3.10)принимает вид
(3.11)
При помощи данного уравнения можно найти закон изменения толщи-
ны пограничного слоя по оси x, зная который, затем определить распределе-
ние скорости и величину касательного напряжения на стенке.
Ламинарный пограничный слой на твердой поверхности
Вместо точного выражения для профиля скорости вдоль оси
в (3.11)
используют приближенное значение, подчиняющееся граничным условиям.
Поперечный профиль скорости аппроксимируется полиномом третьей
степени:
. (3.12)
Постоянные коэффициенты в полиноме определяются граничными
условиями для распределения скорости:
При
При
:
:
и
. и
.
.
Первое условие выражает условие прилипания. Второе является след-
ствием уравнения Прандтля для ламинарного пограничного слоя (3.6). В свя-
зи с тем, что на поверхности пластины
ма) из уравнения (3.6) получаем, что
и
(пластина непроницае-
. Третье условие вытекает
из определения пограничного слоя. Четвертое условие – условие плавного
перехода от переменной в условиях пограничного слоя скорости
янной скорости невозмущенного потока
Из первого и второго условия:
.
. Два оставшихся условия
представляют собой систему из двух уравнений относительно
к посто-
и
. Реше-
ние системы приводит к следующему выражению для скорости:
.
После подстановки этого выражения в (3.12) и решения полученного
уравнения получается зависимость толщины слоя от координаты
щего вида [4]:
следую-
37
xu
x
0
64,4
Re
64,4
x
x
00
2
3 u
y
u
y
x
u
Re
323,0
2
0
71
0
yuu
25,0
2
0
Re
0228,0
u
к
u
0
Re
2,0
Re
376,0
x
.
С учетом того, что стоящее под знаком квадратного корня выражение
равно числу Рейнольдса, можно окончательно записать
Условие
выполняется при больших значениях числа Рейнольд-
. (3.13)
са. Таким образом, теория пограничного слоя – теория движения реальной
жидкости при больших значениях числа Рейнольдса.
Зная толщину пограничного слоя, можно найти, какое сопротивление
оказывает твердая поверхность ламинарному движению жидкости вдоль нее:
или
(3.14)
Касательное напряжение трения уменьшается по длине пластины в связи с ростом толщины пограничного слоя.
Турбулентный пограничный слой на твердой поверхности
Как и для ламинарного слоя, в рассматриваемом случае нужно определить закон изменения толщины пограничного слоя вдоль оси x, распределе-
ние скорости и величину касательного напряжения на поверхности.
Распределение скорости по толщине в турбулентном слое сильно отличается от распределения в ламинарном слое. Так как интенсивность турбулентного переноса импульса значительно превышает интенсивность молекулярного, в турбулентном слое значительное изменение скорости наблюдается
только в узком слое вблизи стенки.
Распределение скорости по толщине в турбулентном слое задается эм-
пирической формулой Прандтля:
, (3.15)
– толщина турбулентного пограничного слоя.
Касательное напряжение трения на поверхности определяется форму-
лой Блаузиуса:
где
– число Рейнольдса, в котором роль характерного размера играет .
, (3.16)
При подстановке (3.15) и (3.16) в (3.10) получается дифференциальное
уравнение, решение которого имеет вид:
. (3.17)
Результаты для турбулентного слоя по форме аналогичны результатам для
ламинарного слоя, но у турбулентного слоя толщина растет гораздо быстрее.
38
Влияние коэффициента вязкости и скорости невозмущенного потока на
2,0
2
0
Re
0296,0
x
u
L
2,0
2
0
Re
037,0
L
L
u
Lu
L
0
Re
2,01x
3,02x
6
1095,17
1x
6
1006,15
1x
6
10006,1
6
1006,15
6
101514
толщину турбулентного слоя слабее, чем для ламинарного вследствие более
высокой интенсивности турбулентного переноса импульса по сравнению
с интенсивностью молекулярного переноса импульса.
Касательное напряжение трения на поверхности:
. (3.18)
Для практических расчетов, например, теплообмена и массообмена
в пограничном слое берут не локальное, а среднее по поверхности тела зна-
чение величины. В случае плоской пластины среднее по поверхности означает среднее по некоторой длине
где
:
, (3.19),
.
Приведенные выше результаты позволяют рассчитывать характеристики пограничных слоев при движении металла относительно неподвижной атмосферы печи или при обтекании металла неоднородным потоком газа [4].
Также эти результаты широко используются при рассмотрении процессов
конвективного теплообмена и массообмена.
3.6. Задачи для практического занятия
3.1. Тонкая пластина омывается потоком воздуха со скоростью 3 м/с при
температуре 50° С. Определите в сечениях
м и
м характер тече-
ния в пограничном слое и найдите толщину пограничного слоя. При 50° С вяз-
кость воздуха
3.2. Найдите толщину пограничного слоя в точке
м2/с. Ответ: режим ламинарный, 6,7 мм и 8,2 мм.
м при обтекании
пластины воздухом (температура 20° С, скорость 5 м/с). При 20° С вязкость
воздуха
м2/с. Ответ: режим ламинарный, 8,7 мм.
3.3. Пластину обтекает поток воды, имеющий скорость 0,1 м/с и темпе-
ратуру 20° С. Найдите толщину пограничного слоя для точки
кость воды при 20° С составляет
м2/с. Ответ: 15,8 мм.
м. Вяз-
3.4. Пластина длиной 2 м омывается потоком воздуха, имеющим ско-
рость 3 м/с и температуру 20° С. Вычислите максимальное значение толщи-
ны ламинарного пограничного слоя и толщину пограничного слоя на конце
пластины. Вязкость воздуха при 20° С
2
м
/с. Ответ максималь-
ная толщина равна толщине на конце пластины и равна 15,8 мм.
3.5. Пластина длиной 2 м и шириной 1 м омывается продольным пото-
ком масла МК, движущимся со скоростью 1 м/с; температура масла состав-
ляет 20° С. Вычислите силу сопротивления пластины. Для масла МК при
20° С
2
м
/с плотность 903 кг/м
3
. Ответ 41,5 Н
39
ГЛАВА 4
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
4.1. Основные понятия теории подобия
Теория подобия представляет собой научную основу обобщения экспе-
риментальных данных и моделирования различных физических и физикохимических процессов.
Важнейшими в теории подобия являются понятия класса и группы явлений. Классом физических явлений (процессов) называется такая их совокупность, которая характеризуется единым физическим механизмом, лежащим в основе этих явлений, и потому описывается одной и той же системой
дифференциальных уравнений. Класс представляет собой наиболее широкую
совокупность явлений одной и той же физической природы.
Примеры классов: течения идеальной или реальной жидкости.
Система дифференциальных уравнений, описывающая все явления
данного класса, имеет бесчисленное множество частных решений, каждое
из них соответствует определенному единичному явлению из данного
класса.
Для того, чтобы выделить из класса определенное единичное явление
и, соответственно, для того, чтобы получить частное решение системы уравнений, необходимо задать условия однозначности, определяющие всю специфику данного единичного явления. В условия однозначности входят гео-
метрические и физические свойства системы, а также краевые условия.
Под геометрическими свойствами системы понимают форму и размеры
тел, составляющих систему. Например: если речь идет о движении жидкости,
должны быть заданы форма и размеры сосуда, либо канала, где происходит
движение, или форма и размеры тела, обтекаемого потоком жидкости.
В физические свойства системы входят значения физических параметров тел, составляющих систему, или их зависимость от характеристик процесса, либо от координат и времени, если эти параметры изменяются.
Например: в случае движения жидкости должны быть заданы ее плотность
и вязкость, а также ускорение силы тяжести, либо зависимость плотности
и вязкости от температуры и давления, если эти параметры рассматриваются
как переменные величины.
Краевые условия содержат начальные и граничные условия задачи.
В качестве начальных условий, имеющих смысл лишь для нестационарных
процессов, задаются распределения величин, подлежащих определению (тео-
ретическому или экспериментальному), в начальный момент времени.
Граничные условия описывают взаимодействие системы с окружающей средой. Например, в качестве граничных условий могут быть заданы
значения определяемых величин на границах системы. В случае движения
реальной жидкости в канале задаются распределения скорости и давления на
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]