Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теплофизика. Учебное пособие-1
.pdf
При рассмотрении баланса теплоты для некоторого элементарного объ-
p
пов
0
0
с
т
q
dyTT
dx
d
0
0
0
т
y
y
T
adyTT
dx
d
пов
0
0
т
m
dyCC
dx
d
0
0
0
т
y
y
C
DdyCC
dx
d
2
0
2
1
2
3
yy
u
u
u
0
u
0
T
ема, выделенного в пограничном слое, записывают уравнение теплового по-
тока для пограничного слоя:
. (5.32)
Это уравнение справедливо и для ламинарного, и для турбулентного
пограничного слоя, для турбулентного все величины здесь усредненные по
времени.
При помощи уравнения Фурье уравнение (5.32) для ламинарного слоя
может быть преобразовано к следующему виду:
. (5.33)
Уравнение потока массы для пограничного слоя имеет вид
. (5.34)
Преобразование уравнения (5.34) при помощи закона Фика в случае
ламинарного слоя приводит к выражению
. (5.35)
Далее при помощи уравнений (5.32) и (5.34) будут определены толщи-
ны теплового и диффузионного слоев соответственно и затем найдены коэф-
фициенты теплоотдачи и массоотдачи.
д) Расчеты тепло- и массоотдачи в случае ламинарного погранич-
ного слоя при вынужденном движении
Вначале рассмотрим процесс теплоотдачи в ламинарном пограничном
слое на плоской пластине. Задача состоит в определении связи коэффициента
теплоотдачи
с основными параметрами процесса.
Определим толщину теплового пограничного слоя путем решения
уравнения (5.33) при известном распределении скорости и температуры по
толщине теплового пограничного слоя.
Распределение скорости было получено ранее в данном пособии при
рассмотрении гидродинамического пограничного слоя:
здесь
и
– скорость жидкости в слое и за пределами слоя соответственно.
, (5.36)
При изучении распределения температуры в слое удобнее использовать
новую переменную – избыточную температуру
. Если
– температура не-
61
возмущенного потока, а
пов
T
0
TT
0y
т
y
TTT
пов
0
TTT
пов
0
3
dycybya
0y
0
0
2
2
y
т
y
0
0
y
2
тт0
2
1
2
3
yy
3
1
Pr
T
1
T
1Pr
1Pr6,0
1
T
1Pr
x
– температура на поверхности пластины, для
точки внутри слоя
ности пластины, то есть при
то есть при
она будет равна
. Эта переменная обращается в ноль на поверх-
; на границе теплового пограничного слоя,
. Разность
называется температурным напором.
Форма уравнения теплового потока для переменной
совпадает
с формой уравнения (5.33), а его решение аппроксимируют полиномом третьей степени, как и в гидродинамике:
.
Постоянные коэффициенты в полиноме определяются граничными
условиями для распределения температуры:
Для
Для
:
:
и
и
.
.
Зависимость температуры от координаты имеет вид такой же, как
(5.36):
. (5.37)
При решении уравнения теплового потока получают выражение
. (5.38)
Кратко остановимся на области применения записанных результатов.
Последние получены при условии, что
или
. Это условие выпол-
няется для неэлектропроводных жидкостей. Для газов число Прандтля за-
ключено в пределах
и условие
строго не выполняется. Од-
нако, для газов даже при минимальном значении числа Прандтля, ошибка,
связанная с нарушением указанного условия, невелика, и полученные ре-
зультаты можно считать справедливыми [4].
Результаты совершенно неприменимы в случае движения жидких металлов, у которых вследствие электронной проводимости высокие значения
коэффициента теплопроводности, а следовательно, и температуропроводности. Для жидких металлов
.
Зависимость толщины гидродинамического пограничного слоя от координаты вдоль пластины
, найденная ранее, имеет вид
62
xx
x
x
Re
5
Re
1
64,4
3
Pr
1
Re
1
64,4
x
T
x
x
к
x
xu
0
Re
x
т
23
3
PrRe332,0
x
x1~
3
3320 PrRe,Nuxx
,
и для толщины теплового пограничного слоя получаем выражение:
. (5.39)
В числе Рейнольдса роль характерного размера играет текущее рассто-
яние от передней кромки пластины
:
. (5.40)
В соответствии с (5.39) наблюдаются следующие зависимости: а) толщи-
на теплового слоя растет вдоль поверхности пропорционально
, что объясняется проникновением по мере продвижения вдоль поверхности теплового
воздействия стенки все дальше и дальше в невозмущенный поток вследствие
поперечного переноса теплоты; б) толщина тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности жидкости, так как увеличение коэффициента
означает увеличение интенсивности поперечного переноса теплоты за счет молекулярной теплопроводности; в) толщина уменьшается при увеличении скорости невозмущенного потока, что объясняется интенсификацией конвективного,
продольного переноса теплоты, приводящей к более интенсивному проникно-
вению невозмущенного потока в пограничный слой.
Коэффициент теплоотдачи
связан с толщиной теплового граничного
слоя выражением
, где
– коэффициент теплопроводности жидко-
сти. В связи с этим для изменения коэффициента теплоотдачи по длине пла-
стины получается выражение:
Так как число Рейнольдса также зависит от x, получаем
. (5.41)
. Та-
кой результат объясняется тем, что по мере удаления от переднего края пластины толщина теплового слоя увеличивается, в то же время разность температур (температурный напор) по толщине пограничного слоя остается постоянным. Вследствие этого градиент температуры в пограничном слое, а значит, и на поверхности, уменьшается, что приводит к уменьшению коэффици-
ента теплоотдачи.
В безразмерном виде коэффициент теплоотдачи представляет собой
число Нуссельта:
. (5.42)
Процессы теплоотдачи, описанный выше, и процесс массоотдачи опи-
сываются аналогичными соотношениями.
63
Отношение толщины диффузионного пограничного слоя к толщине
D
Sc
к
3
1
Sc
С
3
1
Re
1
64,4Scx
x
С
3
Re332,0 Sc
x
D
3
PrRe332,0
x
Sh
L
гидродинамического пограничного слоя выразится через критерий Шмидта
(отношение кинематического коэффициента вязкости и коэффициен-
та диффузии):
. (5.43)
Для толщины диффузионного пограничного слоя при ламинарном
движении вблизи плоской поверхности можно записать
И затем для коэффициента массоотдачи
, (5.44)
можно получить
. (5.45)
В безразмерном виде коэффициент массоотдачи представляет собой
число Шервуда:
. (5.46)
Полученные для теплоотдачи и массоотдачи результаты аналогичны.
Полное сходство получается только в том случае, когда можно пренебречь
взаимным влиянием процессов переноса тепла и массы, а также влиянием
массообмена на граничные условия соответствующих задач. В противном
случае аналогия носит лишь приближенный характер.
Вместе с тем полученные результаты имеют большое значение, так как
они справедливы не только для выбранной формы поверхности и для данной
картины движения жидкости.
Идентичность расчетных формул для теплоотдачи и массоотдачи имеет
большое практическое значение. Исследование процессов теплообмена проводились гораздо более длительное время и было получено большое количество теоретических и эмпирических формул, описывающих почти все встре-
чающиеся на практике случаи конвективной теплоотдачи [3, 4]. Процессы
массоотдачи изучены в меньшей степени, но отмеченная выше аналогия позволяет использовать записанные формулы при приближенных расчетах мас-
сообменных процессов.
Для практических инженерных расчетов необходимо сделать одно
уточнение: чаще всего при их проведении имеют дело не с локальными, а со
средними по поверхности значениями величин. Для случая безграничной
в направлении оси x пластины средние по поверхности значения любой ве-
личины определяются путем усреднения по длине пластины
.
Например, средний коэффициент теплоотдачи определяется формулой
64
L
dxx
L
0
1
x1~
3
6640 PrRe,uNL
3
6640 PrRe,hSL
L
uN
D
L
hS
Lu
Re
L
0
г
u
PrPr1uuPrPr
1
Pr
т0тт0
пов
u
c
p
Sc1uuSc
1
т0тт0
пов
ScScScu
т
Sc
75,0PrттSc
г
u
Pr
0
пов
u
c
p
,
Поскольку
, получаем, что среднее по длине значение коэф-
фициентов равно удвоенному локальному значению коэффициентов в конце
этой длины. Итак, для плоской поверхности средние коэффициенты (в без-
размерном виде) описываются соотношениями:
,
,
Если физические параметры в этих формулах зависят от температуры,
можно брать их значения для средней по толщине пограничного слоя темпе-
ратуры.
е) Процесс тепло- и массоотдачи в случае турбулентного
пограничного слоя при вынужденном движении
При рассмотрении процессов тепло- и массоотдачи в турбулентном
слое используется двухслойная схема течения: турбулентный слой считается
состоящим из собственно турбулентной зоны и ламинарного подслоя, приле-
гающего к поверхности тела.
В более простом способе описания задачи используется аналогия меж-
ду процессами турбулентного переноса количества движения и тепла (или
массы) и применяются формулы, полученные в теории Прандтля.
Для турбулентного режима вводится в рассмотрение
– скорость на
границе между ламинарным подслоем и турбулентной зоной и для коэффици-
ента теплоотдачи в турбулентном режиме движения получается выражение:
. (5.47)
Коэффициент массоотдачи записывается в виде
Здесь
– турбулентный критерий Шмидта; он равен турбулентному
критерию Прандтля:
.
. (5.48)
Записанные результаты достаточно сложны, и для их использования
нужно знать
. Однако, в случае газов, у которых физическое число Пранд-
тля равно турбулентному числу Прандтля, для коэффициента теплоотдачи
можно получить
.
65
Рис. 5.1
Для смесей, у которых физическое число Шмидта близко к турбулент-
Scu
0
пов
x
x
8,0
Re0296,0
L
L
8,0
Re037,0
L
80
02960
,
x
Re,Nu
80
0370
,
L
Re,uN
xDRe,
,x80
02960
LRe,
,
L
80
0370
80
02960
,
x
Re,Sh
80
0370
,
L
Re,hS
ному, коэффициент массоотдачи определится выражением
.
При использовании полученных в гидродинамике выражений для касательного напряжения трения можно получить формулу для локального ко-
эффициента теплоотдачи:
,
и для среднего по длине значения коэффициента теплоотдачи:
Умножив формулы на линейный размер (первую на x, вторую на
.
),
а затем разделив на , получим соотношения в безразмерном виде:
и
.
Для коэффициентов массоотдачи получатся выражения:
и
и
.
5.4. Конвективная теплоотдача
и массоотдача при свободном движении
Ранее были рассмотрены процессы конвективной теплоотдачи и массоотдачи в условиях вынужденного движения жидкости. Такое движение рассматривалось как заданное, не зависящее от самого процесса теплоотдачи
и массоотдачи.
Свободная, или естественная конвекция тепла или
массы также обусловлена движением жидкости, но в этом
вследствие процессов теплообмена или массообмена.
Для аналитического исследования процессов теплоотдачи и массоотдачи в условиях свободного движения
можно воспользоваться теми же приближенными методами теории пограничного слоя, которые применялись
при изучении вынужденной конвекции [3]. На рис. 5.1
показано, как образуется пограничный слой при свободном конвективном движении жидкости вблизи нагретой
вертикальной плоской поверхности.
Особенность такого пограничного слоя в том, что
скорость на его внешней границе равна нулю. На самой
поверхности скорость тоже равна нулю, а в пределах пограничного слоя имеется некоторое максимальное значение скорости. Что касается распределения
температуры (и концентрации), то оно принципиально не отличается от слу-
66
чая вынужденного движения: на поверхности температура равна
пов
T
0
T
пов0
0
пов
0
u
0
0
l
2
тр
и
f
ff
ArA
0
2
3
0
к
gl
Ar
V
23
0 кV
lTgGr
0пов
TTT
, а за
пределами пограничного слоя составляет
.
В условиях свободной конвекции сохраняется зависимость чисел Нуссельта и Шервуда от критериев Прандтля и Шмидта, так как процессы молекулярного переноса импульса и тепла (или массы) являются и в этом случае
важнейшими процессами, определяющими интенсивность теплои массоотдачи. Что касается числа Рейнольдса, то в случае свободной кон-
векции оно не может характеризовать движение жидкости, так как помимо
сил инерции и внутреннего трения в э том случае весьма существенную роль
играют подъемные силы. В данном случае нужно найти критерий, определя-
ющий движение жидкости при свободной конвекции.
Пусть в жидкости имеется элементарный объем, плотность среды в котором меньше плотности окружающей жидкости на величину
, где
– плотность за пределами пограничного слоя,
, например
–
плотность на поверхности. В случае теплообмена эта разность обусловлена
тем, что температура жидкости в выделенном объеме выше температуры
окружающей среды, а в случае массообмена – повышенным содержанием в
этом объеме легкой примеси или пониженным содержанием тяжелой. На
этот элементарный объем будет действовать сила Архимеда. В качестве порядка скорости выбирают
, в качестве порядка плотности
, в качестве
порядка координаты – характерный размер потока
.
Критерий Архимеда выражается через объемные плотности подъемной
силы, силы инерции и силы внутреннего трения:
,
и для него получится следующее выражение:
. (5.49)
Для свободноконвективного теплообмена, при котором изменение
плотности жидкости или газа обусловлено термическим расширением, критерий Архимеда приобретает специфическую форму. Термическое расширение характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения
. Если он остается постоянным, критерий Архимеда можно записать в дру-
гой форме:
. (5.50)
В этом случае он носит название критерия Грасгофа, здесь
.
Этот критерий определяет движение жидкости при свободной конвек-
ции в случае теплообмена. Итак, для свободной конвекции
67
Pr,GrNuNu
ScArShSh ,
пов
T
0
T
Ta
z
T
w
y
T
v
x
T
u
2
0n
пов0
n
T
TT
пов
0 TT
0
TT
пов0
TT
PrRe
00
a
lv
Pe
к
к
0
l
Nu
PrRe,NuNu
и
.
Расчетные формулы для теплообмена приведены в справочниках, мас-
сообмен рассматривают по аналогии с теплообменом.
5.5. Применение теории подобия для исследования
процессов конвективной тепло- и массоотдачи
Рассмотрим конвективную теплоотдачу при вынужденном движении
жидкости вблизи поверхности с помощью теории подобия. При этом считаем, что вид распределения скорости и давления в потоке известен. Будем
считать, что выделение тепла за счет трения мало и параметры жидкости не
зависят от температуры.
Решение задачи заключается в получении распределения температуры
в потоке жидкости и определении значения коэффициента теплоотдачи, ко-
торый в общем случае изменяется по поверхности.
Заданными величинами являются
– температура поверхности и
–
температура жидкости вдали от поверхности, а также коэффициенты теплопроводности и температуропроводности, компоненты вектора скорости счи-
таются известными функциями координат.
Исходными для данной задачи являются уравнение конвективного теп-
лопереноса и уравнение теплоотдачи с граничными условиями.
и
.
Второе из граничных условий может задаваться не только на бесконеч-
ном удалении от поверхности, но и на границе теплового пограничного слоя.
Переменные приводятся к безразмерному виду, причем в качестве
масштаба температуры используется температурный напор (разность
на переднем крае поверхности). В итоге в уравнении конвективного теплопе-
реноса получают безразмерную величину – число Пекле
.
В уравнении теплоотдачи получают критерий Нуссельта в виде
.
Если речь идет об определении среднего коэффициента теплоотдачи,
безразмерные координаты исключаются из полученных формул и получается:
. Именно в этом виде ранее были получены результаты
приближенного решения задачи конвективного теплообмена.
68
Итак, подобие процессов конвективного теплообмена, то есть равен-
Nu
idemRe
idemPr
idemRe
idemSc
ScRe,ShSh
6
1006,15
0259,0
Км Вт
7,0Pr
Км
2
Вт
Км
2
Вт
6
10006,1
599,0
Км Вт
02,7Pr
Км
2
Вт
Км
2
Вт
6
1095,17
0283,0
Км Вт
7,0Pr
Км
2
Вт
Км
2
Вт
Км
2
Вт
553,Pr , 6480,
КмВт
Км
2
Вт
6
10587 ,
108,0
Км Вт
111Pr
8
1080,6a
4
105,49
c
сПа
4
104,89
ж
сПа
Км
2
Вт
ство значений безразмерной избыточной температуры в сходственных точках
потока жидкости и значений безразмерного коэффициента теплоотдачи
в сходственных точках поверхности осуществляется для геометрически по-
добных систем при выполнении условия
и
.
Процессы конвективного массообмена при движении несжимаемой
жидкости вблизи твердой поверхности для геометрически подобных систем
будут подобными при выполнении условий
и
, а форму-
лы для безразмерного коэффициента массоотдачи – критерия Шервуда –
должны иметь вид
.
5.6. Задачи для практического занятия
5.1. Пластину, имеющую температуру 10° С, омывает поток воздуха,
имеющий скорость 5 м/с и температуру 30° С. Определите толщину теплово-
го пограничного слоя и коэффициент теплоотдачи для точки с координатой
1 м. Определите средний коэффициент теплоотдачи на участке длиной 1 м.
Для воздуха при 20° С
м
2
/с,
,
.
Ответ: 9,8 мм, 4,4
, 8,8
5.2. Вода омывает пластину, находящуюся при температуре 10° С. Ско-
рость воды 0,1 м/с, ее температура 30° С. Определите толщину теплового по-
граничного слоя и коэффициент теплоотдачи для точки с координатой 1 м.
Для воды при 20° С
вет: 8,25 мм, 120
, 240
м
2
/с,
,
. От-
.
5.3. Пластину обтекает поток воздуха, имеющий температуру 50° С
и скорость 2 м/с. Для точек с координатами 0,2 м и 0,3 м определите локаль-
ный коэффициент теплоотдачи. Для длины 0,5 м найдите средний коэффици-
ент теплоотдачи. Для воздуха при 50° С
,
. Ответ: 6,23
, 5,08
2
м
/с,
, 7,88
5.4. В трубе диаметром 14 мм и длиной 4 м движется вода. Ее средняя
температура 50° С, число Рейнольдса 1500. Вычислите значение среднего ко-
эффициента теплоотдачи. Физические свойства воды считайте постоянными
и равными
. Ответ: 170
5.5. Рассчитайте средний коэффициент теплоотдачи при течении
трансформаторного масла по трубе диаметром 8 мм и длиной 1,2 м. Темпера-
тура стенки 60° С, температура жидкости 40° С. Скорость течения масла 0,6
м/с. Вязкость масла 50° С равна
водности
, число Прандтля
2
м
/с, коэффициент теплопро-
,
м
2
/с, ди-
.
намическая вязкость при 60° С
. Ответ: 176
, при 40° С
.
69
ГЛАВА 6
gradTq
q
Tgrad
Вещество
Температура, K
Коэффициент
теплопроводности,
)Км(Вт
Серебро
273
420
Медь
273
395
Алюминий
273
207
Сталь 20
273
77
Вода (состояние насыщения)
273
0,683
Масло трансформаторное
273
0,112
Воздух
273
0,0244
Бетон сухой
273
0,84
Кирпич красный
273
0,70
10~T
4
10~
)( КмВт
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
6.1. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности
Основываясь на результатах наблюдений, Фурье сформулировал закон:
плотность теплового потока в данной точке изотропного тела пропорцио-
нальна градиенту температуры в той же точке.
Знак «минус» в законе объясняется тем, что векторы
. (6.1)
и
направлены в противоположные стороны. Входящий в закон коэффициент
пропорциональности
называется коэффициентом теплопроводности, или
просто теплопроводностью. Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, который характеризует интенсивность процесса теплопроводности в веществе и численно равен плотности теплового по-
тока при градиенте температуры, равном единице.
Коэффициент теплопроводности, как правило, находится эксперимен-
тально, либо рассчитывается методами молекулярно-кинетической теории,
статистической и квантовой физики.
Коэффициенты теплопроводности газов, жидкостей и твердых тел отличаются во много раз. Так, в таблице приведены для сравнения коэффициентов теплопроводности воздуха, масла, воды, металлов и некоторых мате-
риалов при обычных условиях.
Коэффициенты теплопроводности некоторых материалов [3]
Помимо рода вещества и его состояния, теплопроводность зависит от
температуры. При сверхнизких (криогенных) температурах теплопроводность некоторых металлов может достигать очень больших значений.
Например, для чистой меди при
На теплопроводность стали, помимо ее состава, температуры, наличия
примесей и других показателей оказывает влияние тепловое старение, кото-
70
К
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]