Теплофизика. Сборник задач
.pdfП. Н. БЕЛКИН С. Ю. ШАДРИН
ТЕПЛОФИЗИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
УДК53
ББК 31.31я73-4 Б433
Рецензенты:
Д. Е. Попов, кандидат физико-математических наук; С. А. Кусманов, кандидат технических наук
Белкин П. Н.
Б433 |
Теплофизика : сборник. |
задач / П. Н. Белкин, |
. — |
С. Ю. Шадрин |
Саратов: Издательство «Вузовское образование», 2013. — (Высшее образование). — 51с. — Док. опубл. не был. — Доступ с сайта ЭБС
IPRbooks.
Издание содержит задачи по стационарной, нестационарной теплопроводности, а также по теплоотдаче при кипении жидкости в большом объёме. Каждой теме предшествуют краткие теоретические сведения, в конце сборника даны справочные таблицы.
Для студентов и магистрантов физико-математических факультетов университетов и технических вузов.
2
© П. Н. Белкин, С. Ю. Шадрин, 2013
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Список основных обозначений.......................................................................... |
4 |
|
Введение.............................................................................................................. |
5 |
|
1. Стационарная теплопроводность.............................................................. |
6 |
|
1.1. Теплопроводность без внутренних источников тепла........................ |
6 |
|
1.2. Теплопроводность с внутренними источниками тепла.................... |
19 |
|
2. Нестационарная теплопроводность........................................................ |
23 |
|
3. Теплообмен при кипении жидкости в большом объёме ..................... |
33 |
|
Ответы............................................................................................................... |
37 |
|
Список литературы......................................................................................... |
42 |
|
Таблицы ............................................................................................................ |
43 |
|
1. Тепловыепостоянныевеществпри20 ºС, кромеоговорённыхслучаев..... |
43 |
|
2. |
Физические свойства воды на линии насыщения................................. |
44 |
3. |
Физические свойства воды и водяного пара на линии насыщения.... |
45 |
4. |
Физические свойства перегретого водяного пара................................ |
46 |
5. |
Гиперболические функции...................................................................... |
47 |
6. |
Тригонометрические и показательные функции.................................. |
48 |
7. |
Корни характеристических уравнений.................................................. |
49 |
8. |
Функции Бесселя нулевого и первого порядков................................... |
50 |
3
|
|
Список основных обозначений |
A |
|
коэффициент температуропроводности, м2/с |
B |
|
коэффициент |
Bi = |
αδ λ |
число Био |
/ |
|
|
c |
|
удельная теплоемкость, Дж/(кг К) |
C |
|
теплоёмкость тела, Дж/ К |
d |
|
диаметр, м |
Fo = at/L2 |
число Фурье |
|
J |
|
функции Бесселя |
l |
|
длина, м |
L |
|
характерный размер тела, м |
m |
|
темп регулярного режима, с-1 |
q |
|
плотность теплового потока, Вт/м2 |
ql |
|
линейная плотность теплового потока, Вт/м |
qv |
|
удельная мощность внутренних источников тепла, Вт/м3 |
Q |
|
тепловой поток, Вт |
r |
|
радиальная координата, м |
R |
|
радиус, м; |
S |
|
площадь поверхности, м2 |
t |
|
время, с |
T |
|
температура, °С |
u |
|
периметр, м |
U |
|
напряжение, В |
x |
|
координата, м |
y |
|
координата, м |
z |
|
координата, м |
αкоэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м2 К)
δтолщина, м
λкоэффициент теплопроводности, Вт/(м К)
µкорни характеристических уравнений
ρмассовая плотность, кг/м3
ψкоэффициент неравномерности распределения температуры
4
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемый сборник задач является вспомогательным учебным изданием по дисциплинам «Основы теплопроводности твёрдых тел» и «Теплообмен при кипении», предусмотренным учебным планом Костромского государственного университета имени Н. А. Некрасова в качестве регионального компонента для студентов, обучающихся по направлению подготовки 011200 «Физика». Программы данных дисциплин несколько отличаются от стандартных программ, принятых для энергетических специальностей технических вузов. Дисциплина «Основы теплопроводности твёрдых тел» преподается на 3-м курсе университета, после того как студенты уже изучили все разделы общей физики, кроме атомной и ядерной физики, а также методы математической физики и механику сплошных сред. «Теплообмен при кипении» изучается на 1-м году обучения в магистратуре, данный курс готовит базис для понимания теплофизической картины явления анодного электролитного нагрева, являющегося научным направлением физико-математического факультета КГУ им. Н. А. Некрасова. Основные разделы указанных дисциплин связаны с профилем подготовки «Физика конденсированного состояния вещества» и помогают комплексно понять особенности термической и химико-термической обработки материалов.
Сборник содержит 149 задач из следующих разделов теплофизики: стационарная и нестационарная теплопроводность, теплоотдача при пузырьковом и плёночном кипении жидкости в большом объеме. При составлении сборника предпочтение отдавалось не абстрактным, а реальным задачам, заимствованным из практики строительства, термической обработки, машиностроения. Для удобства и экономии времени учащихся в начале каждого раздела приводятся основные формулы по соответствующему материалу. Все формулы в тексте и ответах приводятся в стандартной системе единиц СИ, в конце сборника даны таблицы основных физических констант и вспомогательные математические таблицы.
5
1.СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
1.1.Теплопроводность без внутренних источников тепла
Температурное поле в плоской стенке при коэффициенте теплопроводности λ = const:
|
|
|
|
|
T (x) =T |
− |
Tw1 |
−Tw2 |
x , |
|
|
(1.1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Tw |
и Tw |
2 |
– температуры стенки толщиной δ на её краях. |
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность теплового потока через эту стенку: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q = λw (T |
−T |
|
|
) . |
|
|
|
|
(1.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
w |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Температурное поле в плоской стенке при λ = λ0 (1 + bT): |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T (x) = (T |
|
|
+ 1)2 − 2qx − |
1 , |
|
(1.3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
b |
|
|
λ0b |
b |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где плотность теплового потока: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
q = |
λср |
(T |
−T ) |
|
и |
λ |
= λ (1+b |
Tw1 +Tw2 |
) . |
(1.4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
δ |
w |
w |
|
|
|
ср |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Плотность теплового потока через стенку из n слоёв при конвектив- |
||||||||||||||||||||||||||
ном теплообмене на границах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
q = |
|
|
|
|
Tf1 −Tf2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
δi |
|
|
|
1 |
|
|
|
(1.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∑ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
α |
1 |
λ |
α |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Tf1 |
и Tf2 |
– температуры сред, контактирующих со стенкой, α1 и α2 – |
||||||||||||||||||||||||
коэффициенты теплоотдачи на границах стенки, δi – толщина каждого слоя, λi – коэффициент теплопроводности материала каждого слоя.
Эффективный коэффициент теплопроводности многослойной стенки:
|
N |
|
|
|
|
|
|
∑ δ i |
|
|
|
||
λ эф. = |
i =1 |
|
|
|
. |
(1.6) |
N |
δ |
i |
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
λi |
|
|
|
||
|
i =1 |
|
|
|
||
Температурное поле в цилиндрической стенке:
6
|
Tw |
−Tw |
2 |
|
r |
|
|
|
|
T (r) =Tw − |
1 |
|
ln |
|
|
, |
(1.7) |
||
ln(R / R ) |
R |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 1 |
|
1 |
|
|
|
||
где R1 и R2 – внутренний и наружный радиусы цилиндрической стенки, Tw1 и Tw2 – температуры внутренней и наружной поверхностей стенки.
Тепловой поток через цилиндрическую стенку длины l:
Q = |
2πlλw (Tw1 −Tw2 ) |
. |
(1.8) |
|
|||
|
ln(R2 / R1 ) |
|
|
Линейная плотность теплового потока через цилиндрическую стенку при конвективном теплообмене на границах:
ql = |
|
|
2π(Tf1 −Tf2 ) |
|
|
. |
|
|||||||
1 |
+ |
1 |
ln |
R2 |
+ |
|
1 |
|
(1.9) |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
α |
R |
λ |
w |
R |
α |
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
||
Критический диаметр цилиндрической стенки:
dкр = |
2λw |
. |
(1.10) |
α |
2 |
|
Температурное поле в шаровой стенке:
|
|
Tw |
1 |
− Tw |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
T (r ) = T |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
, |
(1.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
w1 |
1 / R1 |
−1 / |
R |
|
|
R1 |
|
r |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
где R1 и R2 – внутренний и наружный радиусы стенки.
Тепловой поток через шаровую стенку с конвективным теплообменом на границах:
Q = |
|
|
|
4π(Tf1 −Tf2 |
) |
|
|
. |
|||||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
||||||
|
+ |
− |
) + |
(1.12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|||
|
α1R12 |
|
λw |
R1 |
R2 |
α2 R22 |
|
||||||
Температурное поле в бесконечном стержне (ребре) с конвективным теплообменом на его боковой поверхности:
T (x)−Tf |
= exp(−mx), причём m = |
αu |
, |
(1.13) |
|
Tw −Tf |
λS |
||||
|
|
|
где Tw – температура торца стержня, u – периметр стержня, S – площадь его сечения.
Температурное поле в стержне длины l с теплоизолированным торцом:
T (x)−Tf |
= |
ch[m(l − x)] |
. |
(1.14) |
|
Tw −Tf |
ch(ml) |
||||
|
|
|
7
Температурное поле в прямом трапециевидном ребре при отсутствии теплообмена на свободном торце:
ϑ(x)= |
I0 |
(2 z )K1 |
(2 |
z2 |
)+ K0 |
(2 |
z )I1 |
(2 z2 |
) |
(1.15) |
||||||||||
I |
0 |
(2 |
z |
)K |
1 |
(2 |
z |
2 |
)+ K |
0 |
(2 |
z |
)I |
1 |
(2 z |
2 |
), |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
где I0 – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, K0 – модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка,
z = |
αx 1 + tg2ϕ |
, |
tgϕ = |
δ0 −δ1 |
, |
x = |
δ0 |
− x′, x′ – координата, отсчитываемая |
|
λtgϕ |
2L |
2tgϕ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
от основания ребра (см. рис.).
Tw
dx
δ1 δ0
x
2φ
L
Температурное поле в плоском круглом ребре для случая отсутствия теплообмена на свободном торце:
ϑ(x)= |
|
I0 (mr)K1 |
(mR2 )+ K0 |
(mr)I1 (mR2 ) |
(1.16) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
I |
0 |
(mR )K |
(mR |
)+ K |
0 |
(mR )I |
(mR ) |
|||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
||
где I0(mr) – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, K0(mr) – модифицированная функция Бесселя второго рода нуле-
вого порядка, m = |
2α . |
|
λδ |
Тепловой поток с поверхности бесконечного стержня:
Q = (Tw −Tf ) αλuS . |
(1.17) |
Тепловой поток через поверхность стержня длины l с теплоизолированным торцом:
Q = (Tw −Tf ) αλuS th(ml) . |
(1.18) |
Тепловой поток с поверхности ребра Q и коэффициент его эффективности E:
8
|
th( |
l |
2 Bi) |
|
||
|
|
|
|
|||
Q =αр (Tw −Tf )S рE и E = |
|
δ |
, |
(1.19) |
||
|
|
l |
|
2 Bi |
|
|
|
δ |
|
||||
где αр – коэффициент теплоотдачи с поверхности ребра, Tс и Tж – температуры стенки и среды, Sр = 2bl – площадь поверхности ребра; l – размер ребра поперёк стенки, b – размер ребра вдоль стенки, δ – толщина ребра.
1.1.Стенка опытной установки покрыта снаружи изоляционным слоем толщиной 260 мм. Она обогревается изнутри так, что на наружной поверхности изоляции поддерживается температура 35 ºС. Для изучения тепловых потерь в изоляцию на глубину 50 мм от наружной поверхности заделана термопара, которая показала 70 ºС. Определить температуру на поверхности контакта стенки и изоляции.
1.2.Определить плотность теплового потока через латунную стенку
толщиной 3 мм, если перепад температур в ней составляет 10 °С. Найти толщину стенок из меди и стали 45, обеспечивающих ту же плотность теплового потока при том же перепаде температур.
1.3.Найти плотность теплового потока через оконное стекло толщиной 2 мм, если температуры его поверхностей составляют 1 и –1 °С.
1.4.Оконная рама из двух слоев стекла (λ = 0,745 Вт/(м·К)) толщиной по 5 мм каждый. Между стеклами находится слой сухого неподвижного воздуха толщиной 6 мм со средней температурой 0 ºС. Площадь поверхности окна 4,5 м2. Определить потерю теплоты теплопроводностью через окно, если разность температур на внешних поверхностях стекол 25 ºС.
1.5.Определить коэффициент температуропроводности материала стенки толщиной 20 см с плотностью 1 700 кг/м3 и удельной теплоёмкостью 0,88 кДж/(кг/К), если плотность теплового потока через неё составля-
ет 200 Вт/м3 при перепаде температур 50 °С.
1.6. Лед на реке имеет толщину 300 мм и покрыт слоем снега (λ = 0,46 Вт/(м·К)) толщиной 200 мм. Температура на наружной поверхности снега –15 ºС, а на поверхности льда, обращённой к воде, 0 ºС. Найти плотность теплового потока через эти два слоя. Теплопроводность льда принять равной 2,22 Вт/(м·К).
9
1.7. Найти мощность электронагревателя, необходимого для обогрева склада без окон размерами 28 × 8 × 4,5 м, стены и плоская крыша которого сооружены из бетонных плит толщиной 30 см. Температуры внутренней и внешней поверхностей стен составляют 10 и –15 °С соответственно. Как изменятся тепловые потери, если склад изготовить из соснового бруса
25× 25 см, при неизменных граничных условиях?
1.8.Плоская поверхность устройства с температурой 250 °С изолирована асбестовым картоном. Найти толщину картона, если допустимая
температура его наружной поверхности составляет 50 °С, а тепловые потери не должны превышать 500 Вт/м2.
1.9.Найти плотность теплового потока через плоскую шамотную стенку толщиной 50 см и расстояние до точки с температурой 100 °С при внутренней температуре стенки 1 000 °С и наружной 0 °С.
1.10.Температуры на поверхностях шамотной стенки, толщина которой 200 мм, равны: внутренняя поверхность 1 000 ºС, внешняя – 200 ºС. Коэффициент теплопроводности шамота изменяется в зависимости от температуры согласно выражению λ = 0,813 + 0,000582·t. Показать, что плотность теплового потока в случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры может быть вычислена по формуле для постоянного коэффициента теплопроводности, взятого при средней температуре стенки. Найти ошибку в определении температуры в точках 57,5, 110 и 157,5 мм, если вычисления производятся по значению коэффициента теплопроводности, среднему для заданного интервала температур, и построить график распределения температуры в стенке.
1.11.Определить потери тепла через стену длиной 5 м, высотой 3 м и глубину её промерзания, состоящую из керамического кирпича толщиной 15 см (снаружи) и пенобетона толщиной 30 см. Температура стены снару-
жи –30 °С, внутри 20 °С.
1.12.К медному стержню диаметром 20 мм и длиной 200 мм с одного конца через торец подводится теплота. Другой конец охлаждается потоком воды, которая при расходе 0,0167 кг/с нагревается от стержня на 2 ºС. Найти перепад температур между концами стержня, приняв, что через боковую поверхность стержня тепловые потери отсутствуют.
1.13.Стена длиной 10 м и высотой 4 м изготовлена из железобетона толщиной 20 см с внутренним утеплением толщиной 30 см. Определить
10