Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теплофизика. Учебное пособие-1
.pdf
ГЛАВА 5
T
Tсq
p
конв
Tc
p
gradTTсq
p
i
С
iiii
gradCDCm
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН И МАССООБМЕН
5.1. Задача расчета конвективной тепло- и массоотдачи
Конвективные теплообмен и массообмен происходят в результате дви-
жения жидкости (или газа) и всегда тесно связаны с соответствующими про-
цессами молекулярного переноса (теплопроводностью и диффузией)
В зависимости от причины, вызывающей движение жидкости, различают вынужденную и естественную конвекцию. В случае вынужденной конвекции движение вызвано внешними по отношению к рассматриваемому
процессу теплообмена или массообмена причинами, например, действием
насоса или компрессора. Во втором случае движение жидкости вызвано силами, возникающими вследствие неоднородности поля плотности, которое
вызвано неоднородностью поля температур (при теплообмене) или концен-
траций (при массообмене).
Характеристики процессов теплообмена и массообмена зависят от параметров, характеризующих движение жидкости. Пусть в данной точке жидкость характеризуется вектором скорости
, плотностью
и температурой
, тогда плотность конвективного потока определяется выражением:
В этом выражении
представляет собой плотность потока массы, то
(Вт/м2). (5.1)
есть массу жидкости, проходящей через единицу поверхности за единицу
времени, а произведение
определяет энтальпию.
Одновременно в движущейся жидкости происходит перенос тепла теплопроводностью, при котором плотность теплового потока определяется законом Фурье, следовательно, суммарная плотность теплового потока записы-
вается в виде:
. (5.2)
Аналогично для массы необходимо суммировать плотность конвективного потока и плотность потока, обусловленного молекулярной диффузией.
Как правило, рассматривается поток массы смеси, состоящей из различных
компонент или примесей; при этом в килограмме смеси содержится
кило-
граммов рассматриваемого вещества.
Суммарная плотность потока массы определяется выражением
. (5.3)
В случае конвективной теплоотдачи, то есть конвективного теплообмена между движущейся жидкостью и поверхностью твердого тела плотность
потока на поверхности зависит от скорости и направления движения жидкости, а также от режима движения. На плотность потока также влияют темпе-
51
ратуры поверхности и жидкости, физические свойства жидкости, такие как
пов0
TTq
пов0 iii
ССm
0
T
пов
T
0i
С
повi
С
i
i
S
SdSqQ
S
dSmM
0
T
пов
T
0n
n
T
q
0n
TTTq
пов0
коэффициент теплопроводности, а также форма и качество поверхности
твердого тела. При рассмотрении массоотдачи к указанным факторам добав-
ляются концентрации переносимого вещества в жидкости и на поверхности.
Процесс теплоотдачи описывается формулой
. (5.4)
Процесс массоотдачи описывается аналогично:
В этих формулах
массоотдачи,
концентрации
индекс
будет опускаться.
– коэффициент теплоотдачи, – коэффициент
и
– температуры жидкости и поверхности,
-го компонента смеси в жидкости и на поверхности. Далее
. (5.5)
и
–
Суммарные потоки тепла и массы через произвольную поверхность
выразятся соотношениями
Содержащиеся в записанных выражениях коэффициенты
и
.
и зави-
сят от всех названных выше факторов, поэтому нахождение коэффициентов
является основной трудностью расчета процессов тепло- и массоотдачи.
В большинстве случаев значения коэффициентов теплоотдачи и массоотдачи
определяют с помощью эмпирических формул, полученных путем обработки
экспериментальных данных, однако указанные величины также находят аналитически (как правило, приближенно), что позволяет лучше выявить физи-
ческий смысл рассматриваемых процессов.
5.2. Уравнения конвективного теплообмена и массообмена
а) уравнения теплоотдачи и массоотдачи
Пусть вблизи поверхности тела произвольной формы движется жид-
кость (газ), имеющая температуру
, температуру поверхности в данной
точке обозначим
. Скорость жидкости на поверхности равна нулю.
Плотность теплового потока через тонкий неподвижный слой жидкости
q определяется законом Фурье
, (5.6)
где n – координата, отсчитанная вдоль нормали к поверхности, для точки на
поверхности
; – теплопроводность жидкости.
Используем также формулу (5.4):
. (5.7)
Приравняем правые части (5.6) и (5.7). Получим дифференциальное
уравнение конвективной теплоотдачи:
52
0n
n
T
T
0n
n
T
T
0n
n
C
Dm
0n
n
C
DC
0n
n
C
C
D
tzyxT ,,,
tzyx ,,,
const
dV
, (5.8)
из которого получим формулу для расчета коэффициента теплоотдачи:
. (5.9)
Коэффициент считается положительной величиной.
Аналогично из постулата Фика
(5.10)
и выражения (5.5) выводится дифференциальное уравнение конвективной
массоотдачи:
. (5.11)
Выражение (5.11) позволяет определить коэффициент массоотдачи:
. (5.12)
Как и коэффициент теплоотдачи, он является положительной величиной.
б) Уравнения конвективного
теплопереноса и конвективной диффузии
Запишем теперь дифференциальные уравнения, которые в общем виде
описывают перенос тепла и массы в движущейся однофазной жидкой или газообразной среде. Путем решения таких уравнений можно получить распре-
деление температуры и концентрации в потоке жидкости.
Пусть жидкость характеризуется распределением температуры
и скорости
есть плотность
, тогда работой расширения можно пренебречь;
. Считаем, что жидкость несжимаема, то
скорость движения жидкости не слишком велика, в связи с чем можно не
учитывать потери теплоты на вязкое трение; в жидкости нет внутренних ис-
точников теплоты и она имеет постоянные теплофизические свойства.
В жидкости рассмотрим элементарный объем
, и на основании за-
кона сохранения энергии приравняем разность количества теплоты, посту-
пившего и вышедшего из этого объема к изменению энтальпии в нем.
Процесс переноса тепла через элементарный объем осуществляется
двумя способами: переносом за счет молекулярной теплопроводности и конвективным переносом, обусловленным перемещением тепла вместе с дви-
жущейся жидкостью.
Совместно используя закон сохранения энергии, закон сохранения массы в виде уравнения неразрывности и уравнение Фурье, можно получить
53
дифференциальное уравнение конвективного теплопереноса, которое также
Ta
td
dT
2
p
ca
td
Td
tT
2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
T
CD
td
dС
2
называют уравнением энергии:
, (5.13)
– коэффициент температуропроводности.
Стоящая в левой части уравнения производная от температуры
включает: изменение температуры в данной точке по времени
(локальная производная
) и изменение температуры во времени, обу-
словленное перемещением этой точки в поле переменной температуры
вместе с движущейся жидкостью (конвективная производная). Такая про-
изводная получила название субстанциальной производной температуры
по времени.
Правая часть уравнения содержит квадрат оператора Гамильтона, ко-
торый более полно записывают в виде:
. (5.14)
Уравнение конвективного теплопереноса позволяет при использовании
соответствующих краевых условий и при известном распределении вектора
скорости рассчитать распределение температуры в потоке жидкости и,
в частности, вблизи поверхности твердого тела, что дает возможность опре-
делить коэффициент теплоотдачи и, следовательно, рассчитать процесс кон-
вективной теплоотдачи.
Вывод уравнения переноса массы примеси в движущейся жидкости
аналогичен выводу уравнения конвективного теплопереноса. При этом жидкость считается несжимаемой, коэффициент диффузии постоянным, а влиянием теплообмена на перенос массы пренебрегают точно так же, как прене-
брегают влиянием массообмена на перенос теплоты.
В результате использования уравнения Фика и закона сохранения массы можно получить уравнение переноса массы примеси в движущейся жид-
кости (уравнение конвективной диффузии):
. (5.15)
Записанное уравнение имеет ту же форму, что и уравнение для тепло-
переноса. Решая это уравнение, можно найти распределение концентрации
в потоке жидкости и коэффициент массоотдачи.
54
Рис. 5.1
5.3. Конвективная тепло- и массоотдача
0
T
пов
T
т
пов
T
0
T
с
пов
С
0
С
к
a
к
Pr
при вынужденном движении в случае ламинарного
и турбулентного пограничных слоев
а) Тепловой и диффузионный пограничные слои
Понятия теплового и диффузионного пограничных слоев аналогичны
понятию гидродинамического пограничного слоя.
Рассмотрим пограничный стационарный ламинарный поток, направленный вдоль плоской поверхности, как на рис. 5.1. Температура до передней кромки пластины постоянна и равна
(температура
невозмущенного потока), –
температура на поверхности
пластины постоянна по ее
длине и равна
.
Вследствие теплообмена
между слоем жидкости, распо-
ложенным вблизи поверхности
пластины и самой поверхностью температура указанных слоев изменяется.
На поверхности пластины температура жидкости равна температуре поверхности (аналогично условию прилипания). На протяжении расстояния
тем-
пература жидкости изменяется от
до
. Это расстояние представляет со-
бой толщину теплового пограничного слоя.
По мере удаления от передней кромки пластины толщина этого слоя
растет, так как охлаждающее (или нагревающее) влияние поверхности распространяется вследствие теплопроводности на все новые и новые слои
жидкости.
Аналогичный смысл имеет понятие диффузионного пограничного слоя,
по толщине
верхности до
которого изменяется концентрация примеси от
на внешней границе пограничного слоя (рис. 5.1).
на по-
Соотношение толщины гидродинамического и теплового пограничного
слоев зависит от соотношения соответствующих коэффициентов переноса:
коэффициента температуропроводности a, характеризующего скорость распространения теплового возмущения, и кинематического коэффициента вязкости
, характеризующего скорость переноса количества движения.
Отношение указанных величин называют числом, или критерием
Прандтля:
. (5.16)
Для жидкости критерий зависит от температуры, для газа практически
не зависит ни от температуры, ни от давления
55
Соотношение толщины диффузионного и гидродинамического погра-
к
D
D
Sc
0
t
T
z
0
z
T
2
2
2
2
y
T
x
T
a
y
T
v
x
T
u
2
2
2
2
y
T
x
T
2
2
y
T
a
y
T
v
x
T
u
y
q
cy
T
v
x
T
u
y
p
1
ничного слоя определяется отношением кинематического коэффициента вязкости
и коэффициента диффузии
. Соответствующая безразмерная ве-
личина получила название критерия Шмидта:
. (5.17)
Критерий Прандтля и критерий Шмидта являются физическими пара-
метрами вещества.
б) Уравнения теплового и диффузионного пограничных слоев
Понятия теплового и диффузионного пограничных слоев позволяют
упростить и решить уравнения конвективного теплопереноса и конвективной
диффузии.
Вначале рассмотрим ламинарный режим движения и опишем тепловой
и диффузионный пограничные слои на плоской поверхности. При таком
движении имеем стационарное двумерное температурное поле в несжимае-
мой жидкости.
В уравнении конвективного теплопереноса (5.13) в рассматриваемом
случае получаем
никаких изменений вдоль этой оси не происходит и поэтому
; поскольку пластина бесконечна в направлении оси
.
,
С учетом этого можно записать:
. (5.18)
В связи с малой толщиной пограничного слоя все величины в нем изменяются по его толщине значительно быстрее, чем по длине, поэтому
и в правой части уравнения остается только одно слагаемое.
Таким образом, (5.13) в рассматриваемом частном случае принимает
вид:
C учетом постулата Фурье уравнение конвективного теплопереноса
преобразуется к виду
. (5.19)
56
Это уравнение решают при известном заранее распределении скорости
0y
пов
TT
т
y
0
TT
2
2
y
C
D
y
С
v
x
С
u
y
m
y
С
v
x
С
u
y
1
0y
пов
CC
с
y
0
CC
TTT
Tvcq
ycy
T
v
x
T
u
py
p
1
Cvm
yy
C
v
x
C
u
y
1
y
q
y
m
в пограничном слое. При этом граничные условия имеют вид: для
(температура жидкости на поверхности пластины равна температуре
:
пластины); для
:
(на внешней границе пограничного слоя темпе-
ратура жидкости равна температуре невозмущенного потока). В процессе
решения получают распределение температуры в пограничном слое и находят плотность теплового потока на поверхности, то есть рассчитывают теп-
лоотдачу.
Так же как в случае конвективного теплопереноса, из уравнения кон-
вективной диффузии (5.15) для стационарного двумерного движения полу-
чают уравнение для пограничного слоя:
.
Или с учетом постулата Фика
. (5.20)
Граничные условия записываются для концентрации и имеют такую же
форму, как в предыдущем случае – для
:
, для
:
.
В процессе решения уравнения получают распределение концентрации
примеси в пограничном слое и рассчитывают массоотдачу.
Для решения применяются и численные и аналитические методы.
В отличие от ламинарного режима, при турбулентном течении для пограничного слоя в уравнениях (5.19) и (5.20) будут содержаться переменные
другого типа. При турбулентном течении жидкости компоненты скорости,
температура и концентрация примеси являются сложными пульсирующими
функциями времени, которые могут быть представлены в виде суммы усредненных по времени и пульсационных значений соответствующих величин.
Например,
Для квазистационарного турбулентного режима все усредненные величины не изменяются по времени, а усредненные значения пульсаций равны
нулю. В результате уравнение конвективного теплопереноса принимает вид
тока массы, обусловленных молекулярным переносом тепла и вещества. По
. (5.21)
Аналогично записывается уравнение конвективной диффузии
. (5.22)
В этих уравнениях
и
означают плотности теплового потока и по-
57
сравнению с уравнениями для ламинарного режима в правые части (5.21)
Tvcq
py
т
Cvm
y
т
Tvcq
ycy
T
v
x
T
u
py
p
1
Cvm
yy
C
v
x
C
u
y
1
yy
qq
т
yy
mm
т
тy
q
тy
m
y
u
y
u
l
u
кт
2
2
т
y
u
l
uкт
и (5.22) входят новые величины, учитывающие молярный или турбулентный
перенос, обусловленный пульсационным движением турбулентных молей.
Эти величины называются соответственно: плотность турбулентного тепло-
вого потока
;
плотность турбулентного потока вещества
.
Данные обозначения позволяют записать (5.21) и (5.22) в виде
, (5.23)
. (5.24)
Для турбулентного слоя молярный перенос интенсивнее молекулярно-
го вследствие чего
и
. В ламинарном слое преобладают
молекулярный механизм и выполняются противоположные неравенства.
Появление в уравнениях для турбулентного движения дополнитель-
ных неизвестных
и
делает неразрешимыми тепловую и диффузион-
ную задачи, так как в каждом из этих уравнений имеется две неизвестных
функции: усредненная температура и плотность турбулентного теплового
потока или усредненная концентрация и плотность турбулентного потока
вещества. Для решения таких задач необходимы дополнительные соотношения, которые получают с помощью полуэмпирической теории турб у-
лентности Прандтля.
в) Полуэмпирическая теории турбулентности Прандтля
для переноса тепла и массы примеси
Теория турбулентности для переноса тепла и массы примеси в целом
аналогична теории турбулентности в гидродинамике и использует получен-
ные Прандтлем соотношения.
В теории гидродинамического пограничного слоя формула Прандтля
для касательного турбулентного напряжения трения записывается в виде
вязкости:
58
.
В данную формулу входит кинематический коэффициент турбулентной
. (5.25)
Для плотности турбулентного теплового потока в теории Прандтля по-
y
T
y
u
llcq
py
тuт
u
l
Т
l
y
C
y
u
llm
cuy
т
с
l
y
T
acq
py
тт
y
u
lla
тuт
y
C
Dm
y
Тт
y
u
llD
cu
т
лучается выражение:
Здесь
– путь смещения для переноса импульса и
для переноса тепла.
Плотность турбулентного потока вещества определяется выражением:
где
– путь смещения для переноса тепла.
Совместное использование постулата Фурье и формулы (5.26) приво-
дит к выражению
В данном выражении фигурирует коэффициент турбулентной темпера-
туропроводности:
, (5.26)
– путь смещения
, (5.27)
. (5.28)
. (5.29)
Аналогичное объединение закона Фика и формулы (5.28) позволяет
выразить плотность турбулентного потока вещества в виде:
, (5.30)
Записанное выражение включает коэффициент турбулентной диф-
фузии:
. (5.31)
Выражения (5.25), (5.29) и (5.31) определяют коэффициенты турбулентного переноса, которые являются параметрами движения, зависящими от
распределения усредненной скорости в потоке, от пути смещения, но не от
природы вещества. Данные коэффициенты отличаются от коэффициентов,
характерных для молекулярного переноса (коэффициенты кинематической
вязкости, температуропроводности и диффузии в том случае являются физическими параметрами вещества).
Для турбулентного случая, как и для молекулярного переноса, используют критерии Прандтля и Шмидта, которые характеризуют соотношение
интенсивностей различных процессов переноса.
Отношение турбулентных кинематической вязкости и температуропроводности называется турбулентным критерием Прандтля:
59
Т
кТ
Т
a
Pr
Т
кТ
Т
D
Sc
т
т
Pr
l
l
u
c
u
l
l
Sc
т
1Prт
1тSc
75,0Pr
т
т
l
l
u
u
l
Т
l
c
l
Критерий Шмидта равен отношению турбулентного кинематического
коэффициента вязкости
.
и турбулентного коэффициента диффузии:
.
Критерии выражаются через пути смещения:
турбулентный критерий Прандтля
турбулентный критерий Шмидта
,
.
Экспериментальные исследования показывают, что тепло и вещество
переносятся в турбулентном потоке с большей интенсивностью, чем количество движения, то есть
и
. Что касается процессов турбулентно-
го переноса тепла и вещества, то интенсивности этих процессов совпадают,
они имеют один и тот же механизм. Установлено также числовое значение
указанных критериев. Турбулентные числа Прандтля и Шмидта являются
практически постоянными величинами и не зависят от особенностей турбу-
лентного потока:
.
Таким образом, если известна эмпирическая константа, связывающая
– путь смещения для переноса импульса с координатой, величины
и
легко найти.
Итак, при решении уравнений (5.19) и (5.20) с учетом (5.26) и (5.27)
при заданных граничных условиях производится расчет процессов теплоот-
дачи и массоотдачи в турбулентном пограничном слое.
г) Уравнения теплового потока и потока массы примеси
для пограничного слоя (метод Кружилина)
Для расчета процессов конвективной теплоотдачи и массоотдачи как
при ламинарном, так и при турбулентном движении в пограничном слое не
обязательно решать уравнения конвективного теплопереноса и конвективной
диффузии, достаточно воспользоваться приближенными методами – метода-
ми теории пограничного слоя. Идея методов состоит в том, что с помощью
приближенного описания распределения температуры или концентрации по
толщине пограничного слоя, используя простые соотношения в виде закона
сохранения тепла или массы примеси, находят толщину соответствующего
пограничного слоя (теплового или диффузионного) и потом определяют ко-
эффициенты тепло- и массоотдачи.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]