Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теплофизика. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Манометром измеряется разность полного и статического давления

ghpp

м0









0

dtd



pgradK









pp 

dzgdp 

zgpp 

(динамическое давление)

, здесь ρм – плотность жидкости, ис-

пользуемой в манометре. Для скорости потока жидкости получаем:

. (1.16)

1.7. Уравнение Эйлера для неподвижной жидкости

Для неподвижной жидкости (или для жидкости, движущейся с постоян-

ной скоростью)

, поэтому уравнение Эйлера для статики принимает вид:

(1.17)

Данное уравнение выражает условие равновесия: в неподвижной жид-

кости: внешние массовые силы уравновешиваются силами давления.

Наиболее часто внешняя массовая сила – это сила тяжести. Если она

действует в отрицательном направлении оси z, уравнение (1.17) можно записать в виде:

. (1.18)

Это обыкновенное дифференциальное уравнение относительно пере-

менной p (давления). Рассмотрим два случая решения этого уравнения: для несжимаемой и для сжимаемой жидкости.

Неподвижная жидкость находится в поле силы тяжести и занимает та-

кой большой объем, что краевые эффекты (на стенках сосуда) можно не учи-

тывать.

Положительное направление оси z совпадает с направлением действия силы тяжести, начало отсчета оси z = 0 расположено на свободной поверхности жидкости, где р = р

. Уравнение (1.18) примет вид:

После интегрирования и использования граничного условия p(0) = p0 (давление на уровне z = 0) находим постоянную интегрирования и в итоге получаем зависимость:

. (1.19)

Давление линейно увеличивается с глубиной.

Рассмотрим случай, когда плотность жидкости зависит от давления (то есть среда газообразная) и ее плотность уменьшается по высоте в связи

с уменьшением давления. Такой случай приблизительно соответствует зависимости давления атмосферного воздуха от высоты.

Ось z направим вертикально вверх, для z = 0 давление p = p

dzgdp 









p 





plnC 

epp







   

hghp





(1.18) для выбранного направления оси примет вид

. Уравнение

Для идеального газа при постоянной температуре плотность пропорци-

ональна давлению

, и получим:

После интегрирования запишем:

Далее используем граничное условие p(z = 0) = p0 для нахождения кон-

станты интегрирования и получим

; затем пропотенцируем. Оконча-

тельный результат имеет вид:

. (1.20)

Полученное выражение известно как распределение Больцмана и поз-

воляет рассчитать давление в неподвижном газе на высоте z над поверхностью Земли.

Теперь получим выражение для давления газа внутри некоторого огра-

ниченного объема, например, в рабочем пространстве печи. Пространство заполнено высокотемпературными газами, плотность которых pг значительно меньше, чем плотность окружающего воздуха p

. Если высота печи невелика,

изменение плотности газа по высоте можно не учитывать.

На уровне основания печи поддерживается давление p

, равное давле-

нию в окружающей среде. Проинтегрировав уравнение (1.18) с использованием граничных условий выразим давление внутри печи: pг = p0 – pг gz и давление за пределами печи: pв = p0 – pв gz.

Поскольку плотность газа меньше плотности воздуха, давление внутри

печи убывает с высотой медленнее, чем снаружи. Разность давлений под

сводом печи:

Итак, если в верхней части печи есть отверстия в кладке, через них

происходит выбивание газа из печи.

Теперь рассмотрим печь, которая соединяется дымовым каналом с дымовой трубой (рис. 1.4). На уровне основания печи, откуда производится отбор продуктов сгорания, поддерживается давление, равное давлению в окружающей среде, то есть ρa. Такое же давление у основания трубы. На уровне выхода из трубы давление равно ρ

. Направим ось z вниз, ее начало совме-

стим с выходом из трубы. Плотность

Рис. 1.4

продуктов сгорания, заполняющих трубу, ρ

значительно меньше, чем плот-

ность окружающего воздуха ρв. Изменение плотности газа с высотой при высоте трубы около 100 м составляет примерно 1 процент, поэтому не будем его учитывать.

Аналогично (1.19) получим, что

давление внутри трубы равно

pг = p0 + pг g z;

давление за пределами трубы

pв = p0 + pв g z.

Таким образом, в плоскости основания трубы создается разрежение:

Δp = (ρв – ρг)gН. Под действием этого разрежения продукты сгорания отво- дятся из печи в дымовой канал, а затем в трубу. Разрежение, создаваемое тру-

бой, тем больше, чем больше ее высота и чем меньше плотность продуктов сго-

рания, то есть чем выше их температура.

1.8. Задачи для практического занятия

1.1. По трубе радиусом 1,5 см течет углекислый газ (плотность

7,5 кг/м

). Определить скорость его течения, если за 20 мин через поперечное

сечение трубы протекает 950 г газа. Ответ: 0,15 м/с.

1.2. Площадь поршня, вставленного в горизонтально расположенный налитый водой цилиндр, равна 1,5 см2, площадь отверстия 0,8 мм2. Пренебрегая трением и вязкостью, определить время, за которое вытечет вода из цилиндра, если на поршень действовать постоянной силой 5 Н, ход поршня

5 см. Ответ: 1,15 с.

1.3. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость воды в широкой части трубы 20 см/с. Определить скорость воды в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше, чем диаметр

широкой части. Ответ: 0,45 м/с.

1.4. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр 20 см. В нем движется со скоростью 1 м/с поршень, выталкивая воду через отверстие диамет-

ром 2 см. С какой скоростью будет вытекать вода из отверстия? Ответ: 100 м/с.

1.5. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью 2 м/с. Определить скорость нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой части равна 6,65 кПа. Плотность нефти 800 кг/м

. Ответ: 4,33 м/с.

1.6. В горизонтально расположенной трубе с площадью поперечного сечения 20 см

течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение, в кото-

ром площадь сечения равна 12 см2. Разность давлений в двух манометрических трубках, установленных в широкой и узкой части трубы, равна 9 см.

Определить объемный расход жидкости. Ответ: 1,88 л/с.

1.7. К поршню шприца, расположенного горизонтально, приложена сила 15 Н. Определить скорость истечения воды из шприца, если площадь поршня равна 12 см

. Ответ: 5 м/с.

1.8. Давление ветра на стену равно 200 Па. Определить скорость ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность воздуха 1,29 кг/м3. Ответ:

8,8 м/с.

1.9. Струя воды диаметром 2 см, движущаяся со скоростью 10 м/с, уда-

ряется в неподвижную плоскую поверхность, перпендикулярную направлению струи. Найти силу давления струи на поверхность, считая, что после

удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю. Ответ: 31,4 Н.

1.10. Обсерватория расположена на высоте 3250 м над уровнем моря. Найдите давление воздуха на этой высоте. Температура воздуха постоянна

и равна 5° С. Давление воздуха на уровне моря 101300 Па. Ответ: 67900 Па.

1.11. Найдите плотность воздуха на высоте 4 км над поверхностью

земли. Температура воздуха постоянна и равна 0° С. Давление воздуха у по-

верхности Земли 100 кПа. Ответ: 0,762 кг/м

1.12. Насколько уменьшится атмосферное давление 100 кПа при подъеме над поверхностью земли на 100 м? Считать, что температура не меняется

с высотой и равна 290 К. Ответ: 1,2 кПа.

1.13. На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление в два раза меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура не ме-

няется с высотой и равна 290 К. Ответ 5,8 км.

1.14. Найдите изменение высоты, соответствующее изменению давле-

ния на 100 Па, в двух случаях: а) вблизи поверхности Земли, где температура 290 К и давление 100 кПа; б) на некоторой высоте, где температура 220 К

и давление 25 кПа. Ответ: а) 8,31 м; б) 25 м.

ГЛАВА 2



du

МЕХАНИКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

2.1. Ламинарный и турбулентный режимы. Число Рейнольдса

Движение реальной жидкости отличается от движения идеальной наличием сил внутреннего трения; в зависимости от соотношения между этими силами и силами инерции течение реальной жидкости будет являться

либо ламинарным, либо турбулентным.

В первом случае, для ламинарного течения, жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят один относительно другого без перемешивания. При турбулентном течении скорость частиц в каждой точке потока все время изменяется беспорядочным образом. Изменение скорости жидкости

в турбулентном потоке носит характер нерегулярных, хаотических колеба-

ний (или пульсаций) скорости вокруг некоторого среднего значения. Эту

усредненную скорость называют скоростью турбулентного потока.

При ламинарном течении все процессы переноса в направлении, перпендикулярном направлению движения, осуществляются только за счет молекулярных механизмов. При турбулентном режиме происходит перемеши-

вание потока – за счет поперечных пульсаций скорости крупные объемы жидкости – турбулентные вихри, называемые также турбулентными молями, – перемещаются в направлении, перпендикулярном направлению движения. Такой перенос называют молярным.

Переход от одного вида течения к другому осуществляется при определенных условиях, сформулировать которые можно при рассмотрении соот-

ношения между силами внутреннего трения и силами инерции.

Сила внутреннего трения играет роль консервативной силы, способствующей устойчивости ламинарного режима. Чем она больше, тем сильнее взаимодействие между слоями и тем интенсивнее происходит рассеяние ме-

ханической энергии в теплоту.

Увеличение силы инерции приводит к тому, что имеющиеся в потоке

и проникающие в него из окружающей среды возмущения (пульсации расхода,

вызванные работой транспортирующих устройств, влияние шероховатости поверхности и тому подобное) быстро нарастают по амплитуде и приводят к по-

тере устойчивости ламинарного режима и переходе его в турбулентный.

Безразмерная величина, которая приближенно характеризует отношение сил инерции к силам внутреннего трения в потоке называется числом

Рейнольдса:

. (2.1)

В это выражение входят характерное значение скорости u и характерный размер потока d. Значения этих величин в зависимости от вида потока определяются по-разному. При течении жидкости в трубе или канале характерным

значением скорости является средняя по сечению скорость, а характерным раз-







Re

2300Reкр

мером потока – размер сечения, например, диаметр круглой трубы. При внешнем обтекании тела характерная скорость u – это скорость потока вдали от тела, а характерный размер потока d – некоторый размер обтекаемого тела.

В выражение для числа Рейнольдса входят также плотность жидкости ρ

и коэффициент динамической вязкости жидкости μ. Отношение

пред-

ставляет собой кинематическую вязкость, поэтому число Рейнольдса может

быть записано также в виде

. (2.2)

Чем выше скорость течения и больше размер потока, тем больше сила инерции. Увеличение коэффициента вязкости, напротив, приводит к возрастанию силы трения. Таким образом, число Рейнольдса характеризует соотношение названных сил. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение; при больших значениях числа течение приобретает

турбулентный характер.

Значение числа Рейнольдса, при котором осуществляется переход от ламинарного режима к турбулентному, называется критическим. Конкретное значение критического числа зависит от вида потока, например при течении

жидкости в трубе переход к турбулентному режиму происходит при

2.2. Уравнение Бернулли для потока

реальной жидкости в трубе и в канале

В инженерных расчетах движения реальной жидкости по трубам и каналам, так же как и для идеальной жидкости, используют уравнение Бернулли. Для записи этого уравнения применительно к реальной жидкости необхо-

димо учесть следующие обстоятельства: во-первых, распределение скорости

в поперечном сечении трубы не является однородным, поскольку на стенках скорость равна нулю; неоднородными вследствие конечного размера сечения

являются также распределения статического и динамического давления; и во-

вторых, у реальной жидкости часть механической энергии теряется за счет

перехода в теплоту вследствие трения.

Рассмотрим течение реальной несжимаемой жидкости в произвольно ориентированной трубе. Для любого сечения трубы полная энергия потока, отнесенная к единице объема, равна сумме статического, динамического

и геометрического давлений (сумме объемных плотностей кинетической

энергии, потенциальной энергии давления и потенциальной энергии положения). Поскольку все эти величины изменяются по сечению трубы, необходи-

мо использовать усредненные значения.

Среднее по площади сечения S динамическое давление:







u 







пот22

2 2

211

ppgz

pgz











Рис. 2.1

, (2.3)

здесь u – локальное значение скорости в любой точке сечения трубы.

На практике обычно известна средняя по сечению скорость

. Ди-

намическое давление, найденное по величине средней скорости, не равно

среднему динамическому давлению.

Выражение для динамического давления записывается в виде

. (2.4)

Входящий в это выражение коэф-

фициент α называется коэффициентом

Кориолиса и представляет собой отношение среднего динамического давления

к динамическому давлению, найденному

по средней скорости; он зависит от формы

поперечного профиля скорости.

В случае реальной жидкости, движущейся в произвольно ориентированной трубе (рис. 2.1), для двух любых сечений 1 и 2 уравнение Бернулли можно записать в виде:

. (2.5)

Так как жидкость реальная, в ней имеются потери энергии, и полная механическая энергия в сечении 1 будет больше соответствующей величины в сечении 2 на величину этих потерь. Величины z1 и z2 в (2.5) обозначают высоту расположения геометрического центра данного сечения относительно

некоторой плоскости отсчета.

Потери энергии в данном уравнении выражаются в единицах объемной плотности энергии, то есть в единицах давления и их часто называют поте-

рями давления.

2.3. Потери давления на трение и на местные сопротивления

Потери реальной жидкости при движении в трубах или каналах можно разделить на потери на трение и потери на местные сопротивления; в общем

случае эти виды суммируются.

Потери давления на трение

Такие потери возникают при движении реальной жидкости по прямолинейным участкам труб при отсутствии изменений поперечного сечения

трубы, они связаны только с действием силы трения и представляют собой

тр

Kp

тр

K





работу этой силы, отнесенную к единице объема жидкости.

При практических расчетах потери давления на трение:

. (2.6)

В данную формулу входит безразмерный коэффициент пропорцио-

нальности K

, называемый коэффициентом сопротивления трения. Этот ко-

тр

эффициент должен быть тем больше, чем больше длина участка трубы, на котором определяются потери и тем меньше, чем больше размер поперечного сечения трубы. Так, при увеличении длины возрастает работа сил трения,

а следовательно, и коэффициент сопротивления. Увеличение размера сечения

трубы приводит к уменьшению удельной, то есть отнесенной к единице объема поверхности контакта между стенкой трубы и движущейся жидкостью,

что приводит к уменьшению коэффициента. Таким образом:

, (2.7)

здесь L – длина участка трубы, dг – гидравлический диаметр трубы (он равен

отношению учетверенной площади поперечного сечения трубы к ее пери-

метру), для круглых труб это просто диаметр. Коэффициент λ называется гидравлическим коэффициентом трения и определяется по-разному для двух режимов движения жидкости.

При ламинарном течении для круглой трубы коэффициент обратно

пропорционален числу Рейнольдса [4]:

. (2.8)

Это связано с тем, что увеличение числа Рейнольдса означает умень-

шение относительной роли трения по сравнению с силой инерции, что при-

водит к уменьшению потерь на трение.

Для турбулентного режима возможны два случая, это связано с особенностями турбулентного потока в трубах и каналах: не все сечение потока занято турбулентно движущейся жидкостью. Вблизи стенки трубы, где скорость резко падает до нуля на самой стенке и абсолютные значения скорости оказываются малыми, а потому малой является и сила инерции; сила трения в этой узкой зоне потока велика в связи с резким изменением скорости и, следовательно, с большой разностью скоростей между соседними слоями жидкости. Таким образом, вблизи стенки трубы существует тонкий слой движущейся жидкости, в котором силы трения велики по сравнению с силами инерции. Значит, при турбулентном режиме движения в ядре потока

вблизи стенок трубы существует ламинарный слой.

Полуэмпирические расчеты толщины такого слоя приводят к выра-

жению

875,0

подсл лам

Re4,68



 r



-0,25

Re316,0



74,1lg2









 











с м

см





, (2.9)

где r – радиус поперечного сечения трубы.

Если абсолютная шероховатость стенки трубы

(высота выступов

шероховатости) меньше толщины ламинарного слоя, происходит течение

в гидравлически гладкой трубе. В этом случае коэффициент трения определяется по формуле Блаузиуса [4]:

. (2.10)

В противоположном случае, при большой шероховатости, выступы шероховатости проникают в турбулентное ядро потока, гидравлический коэффициент трения не зависит от числа Рейнольдса и определяется относительной шероховатостью трубы, то есть отношением выступов шероховато-

сти к радиусу трубы

. При этом λ не зависит от скорости, и потери давле-

ния на трение пропорциональны квадрату скорости. Указанный режим назы-

вается течением в шероховатых трубах. Для расчета λ в таком режиме используют, например, формулу Никурадзе [4]:

. (2.11)

Потери давления на местное сопротивление

Такие потери возникают, когда на пути движения жидкости изменяется размер или форма поперечного сечения трубы, когда имеет место изгиб тру-

бы на некоторый угол, или когда в сечении трубы располагаются какие-то

посторонние элементы, например, измерительные приборы. Эти потери связаны: 1) с изменением величины и направления скорости, то есть действием сил инерции; 2) с наличием в потоке зон, в которых скорости малы, а давление возрастает в направлении движения. Наличие этих зон приводит к изменению направления движения жидкости на обратное, то есть образованию

зон вихревого движения – зон отрыва потока от стенки. В этих зонах энергия интенсивно рассеивается в тепло.

Потери давления на местное сопротивление, так же как и потери на

трение, определяются как некоторая доля динамического давления, то есть

по формуле

, (2.12)

где u – средняя по сечению скорость, Kмс – коэффициент местного сопротивления.

Коэффициент местного сопротивления обычно находится эксперимен-

тально и его значения приводятся в справочниках. В одном важном случае – внезапного расширения – потери давления и коэффициент можно приближенно найти теоретически.

Пусть вначале в узком сечении

121

Su

222

Su

222121

SuSu 

1122222121

SpSpSuSu 

112

upp 

2211

SuSu 

 

21212

uuupp 





2 21

2/2/ pupu

 

2 2

112

uupp 



 

см





Рис. 2.2

трубы S1 скорость равна u1 и давление

. Затем труба расширяется до сечения

, в этом сечении скорость равна u2

и давление p2 (рис. 2.2). Изменение дав-

ления между сечениями 1 и 2 обусловлено измерением скорости (во втором

сечении скорость и кинетическая энергия меньше, поэтому объемная плотность потенциальной энергии давления должна быть больше); а также потерями энергии, происходящими при переходе от первого сечения ко второму.

Найдем изменение давления, используя закон сохранения импульса. Результирующий поток импульса через некоторую замкнутую поверхность, выделенную в потоке жидкости, то есть геометрическая сумма всех потоков импульса, проходящих через эту поверхность, равен равнодействующей

внешних сил, приложенных к этой поверхности.

Для контрольной поверхности в виде параллелепипеда закон запишем

в скалярной форме, рассматривая проекции всех векторов на ось x. Плотность потока массы в левом сечении равна ρu на u результат на площадь сечения S

, получим плотность потока импульса в этом сечении. Далее, умножая

, найдем поток импульса в левом сечении

. Если умножить эту величину

, то есть импульс, поступающий в контрольный объем через его левое

сечение за единицу времени. Аналогично, для правого сечения контрольного объема получим

Результирующий поток импульса через поверхность контрольного объема равен

давления на правом и левом сечениях:

Найдем отсюда

Поскольку

. Приравняем этот поток к равнодействующей сил

, получим

Определим давление во втором сечении при отсутствии потерь, (как для идеальной жидкости) для чего запишем уравнение Бернулли:

Вычтем из

и выразим

величину

и найдем потери энергии на трение, вы-

званные внезапным расширением:

. (2.13)

Получили теорему Борда: потери давления при внезапном расширении

равны динамическому давлению потерянной скорости.

Можно исключить одну из скоростей и представить результат в виде:

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]