Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика. Кинематика. Динамика
.pdf
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 41
Откуда, проектируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты
центра тяжести однородного объема:
V
V
1
V
1
1
xdV,
(V )
ydV,
(V )
zdV.
(V )
x
C
y
C
z
C
= lim
ΔVk→0
= lim
ΔVk→0
= lim
ΔVk→0
1
V
1
V
1
V
n
ΔVkxk=
k=1
n
ΔVkyk=
k=1
n
ΔVkzk=
k=1
Аналогично для координат центра тя-
жести однородной поверхности:
1
xdS,
S
(S)
1
ydS,
S
(S)
1
zdS;
S
(S)
x
C
y
C
z
C
= lim
ΔSk→0
= lim
ΔSk→0
= lim
ΔSk→0
1
S
1
S
1
S
n
ΔSkxk=
k=1
n
ΔSkyk=
k=1
n
ΔSkzk=
k=1
и координат центра тяжести однородной
линии:
1
xdl,
L
(L)
1
ydl,
L
(L)
1
zdl.
L
(L)
x
C
y
C
z
C
= lim
Δlk→0
= lim
Δlk→0
= lim
Δlk→0
1
L
1
L
1
L
n
k=1
n
k=1
n
k=1
Δlkxk=
Δlkyk=
Δlkzk=
Способы нахождения координат центра тяжести:
1. Аналитический (интегрированием).
42 ЛЕКЦИЯ 7
2. Метод симметрии
• Если тело имеет плоскость или ось симметрии, то центр тяжести
лежит на этой плоскости или оси.
• Если тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит
в точке пересечения этих осей.
3. Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4. Метод разбиения на части.
Разновидность метода разбиения на части — метод отрицательных пло-
щадей и объемов (для тел с полостями).
Центры тяжести простейших фигур:
1. Треугольник.
Центр тяжести площади треугольника совпа-
дает с точкой пересечения его медиан.
DM = MB, CM =
1
AM.
3
2. Дуга окружности.
Дуга имеет ось симметрии. Центр тяжести ле-
жит на этой оси, т.е. y
=0. xC=
C
1
L
(L)
элемент дуги, dl = Rdϕ, R — радиус окружности,
x = R cos ϕ, L =2αR,
α
1
=
x
C
2αR
R cos ϕR dϕ =
−α
R
2αR
2
sin ϕ
α
−α
Следовательно:
xc= R
sin α
α
.
3. Круговой сектор.
Рассмотрим круговой сектор радиуса R сцен-
тральным углом 2α. Сектор имеет ось симметрии Ox,
на которой находится центр тяжести. Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных
секторов располагаются на дуге окружности радиу-
2
са
R. Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB.
3
2
xc=
sin α
R
3
.
α
xdl, dl —
sin α
= R
α
.
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 43
4. Конус.
Рассмотрим однородный конус с радиусом основания R ивысотойH.Поместим начало координат в центр основания
конуса и ось z совместим с осью конуса.
Оси x и y лежат в плоскости основания конуса и из соображений симметрии
x
=0, yC=0.
C
Координату z
чески
z
C
определяем аналити-
C
1
=
V
zdV.
(V )
Разбиваем конус горизонтальными плоскостями на элементарные объемы, которые в пределе, при увеличении количества элементов разбиения,
можно принять за диски толщины dz. Выделим элементарный диск на расстоянии z от основания конуса. Радиус элементарного диска (из подобия
треугольников) r =
R(H −z)
dV = πr
H
, а его объем
2
2
dz = π
R
(H −z)
2
H
2
dz.
Тогда
H
1
=
z
C
V
Так как V =
R
zπ
0
1
πR2H,то
3
2
(H −z)
2
H
=
dz =
1
V
−
2
2z2
πR
zC=
2πR
3H
H
.
4
2z3
πR
+
4H
2z4
2
H
=
0
5. Шаровой сектор.
Рассмотрим однородный шаровой сектор радиуса R сугломα между
образующей и осью симметрии.
Поместим начало координат в центр шара и направим ось z по оси
симметрии. Из соображений симметрии x
=0, yC=0.
C
πR
2H2
12V
.
44 ЛЕКЦИЯ 7
Координату zCопределяем аналитиче-
ски
1
=
z
C
V
zdV.
(V )
Переходя к сферическим координатам (z =
= r cos θ, dV = r
2π
1
z
=
C
dϕ
V
0
где V =
Откуда
=
z
C
В частности, для центра тяжести полушара
3
zC=
R.
8
Литература:
[1, § 31–35];
[2, § 53–60];
[4, п. 8.1–8.4].
2
sin θdϕdθdr),находим
α
R
dθ
r3cos θ sin θdr,
0
0
2
3
(1 − cos α).
πR
3
3
R(1 + cos α).
8
ЛЕКЦИЯ 8
Кинематика точки
1. Задачи кинематики точки.
2. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета.
3. Скорость точки.
4. Ускорение точки.
5. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе
задания движения.
Задачи кинематики точки
1. Описание способов задания движения точки.
2. Определение кинематических характеристик движения точки (ско-
рости, ускорения) по заданному закону движения.
Задать движение — это дать способ, с помощью которого можно опре-
делить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета.
Способы задания движения точки в заданной системе
отсчета
1. Векторный способ задания движения.
Положение точки определяется ради-
ус-вектором, проведенным из неподвижной
точки в выбранной системе отсчета.
r = r(t)
— векторное уравнение движения точки.
46 ЛЕКЦИЯ 8
2. Координатный способ задания движения.
В этом случае задаются координаты
точки как функции времени:
x = f1(t),
y = f
2
z = f
3
— уравнения движения
(t),
точки в координатной
(t)
форме.
Это и параметрические уравнения тра-
ектории движущейся точки, в которых
роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме,
надо исключить из них t. Например, в случае плоской траектории
x = f
y = f
1
2
(t),
(t),
исключив t,получим:
F (x, y)=0 или y = ϕ(x).
Для задания движения точки могут быть использованы другие системы
координат — цилиндрическая, сферическая, полярная и т.д.
3. Естественный способ задания движения.
Задаются:
• Траектория точки.
• Начало отсчета на траектории с указанием по-
ложительного направления отсчета.
• Закон изменения дуговой координаты:
s = f(t).
Этим способом удобно пользоваться в том случае, когда траектория точки
заранее известна.
Скорость точки
Рассмотрим перемещение точки за
малый промежуток времени Δt :Δr =
= r(t +Δt) −r(t).Тогдаv
средняя скорость точки за промежуток
времени Δt. Скорость точки в данный
момент времени
Δt→0
Δr
Δt
v = lim
=Δr/Δt —
ср
dr
=
dt
.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 47
Скорость точки — это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета
dr
v =
dt
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону
движения.
Ускорение точки
Среднее ускорение aср=
ризует изменение вектора скорости за ма-
Δv
Δt
характе-
лый промежуток времени Δt. Ускорение точки
Δv
dv
=
в данный момент времени a = lim
Δt→0
Δt
dt
.
Ускорение точки — это мера изменения
ее скорости, равная производной по времени
от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки
по времени. Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по
величине и направлению и направлено в сторону вогнутости траектории.
a =
dv
dt
2
r
d
.
=
2
dt
Определение скорости и ускорения точки при
координатном способе задания движения
Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением r =
= xi + yj + zk. Из определения скорости: v =
dr
=
dt
ны производным соответствующих координат
по времени
d
xi + yj + zk=
=
dt
dx
dt
i +
dy
dt
j +
dz
dt
k.
Проекции скорости на оси координат рав-
vx=˙x, vy=˙y, vz=˙z.
Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по
времени.
48 ЛЕКЦИЯ 8
Модуль и направление скорости определяются выражениями:
2
2
2
+ v
,
y
z
v
y
, cosv,k=
v
cosv,i=
|v| =
v
x
, cosv,j=
v
ν
+ v
x
Из определения ускорения:
v
z
.
v
a =
dv
dt
d
=
˙xy +˙yj +˙zk=¨xi +¨yj +¨zk.
dt
Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени:
ax=¨x, ay=¨y, az=¨z.
Модуль и направление ускорения определяются выражениями:
2
2
2
+ a
,
y
z
a
y
, cosa,k=
a
a
z
.
a
cosa,i=
|a| =
a
x
, cosa,j=
a
a
+ a
x
Литература:
[1, §36–40];
[2, §62–66, 68, 70, 71, 76];
[4, п. 9.1–9.6].
ЛЕКЦИЯ 9
Скорость и ускорение точки при
естественном способе задания движения
1. Естественные оси.
2. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе
задания движения.
Естественные оси
Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) — это
оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся
точке. Их положение определяется траекторией движения.
Касательная (с единичным векто-
ром τ) направлена по касательной в по-
ложительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку.
Через касательную проходит со-
прикасающаяся плоскость, которая
находится как предельное положение
плоскости π при стремлении точки M
кточкеM . Нормальная плоскость
перпендикулярна касательной. Линия
пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей — главная нормаль.
Единичный вектор главной нормали n
направлен в сторону вогнутости траектории.
Бинормаль с единичным векторомb направлена перпендикулярно ка-
сательной и главной нормали так, что орты τ , n иb образуют правую
систему координат.
1
50 ЛЕКЦИЯ 9
Координатные плоскости введенной подвижной системы координат
(соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный
трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как
твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.
Определение скорости и ускорения точки при
естественном способе задания движения
Из определения скорости точки
где lim
Δt→0
dr
v =
Δr
= τ , τ — единичный вектор касательной.
Δs
dt
= lim
Δt→0
Δr
Δt
= lim
Δt→0
Δr
ΔsΔsΔt
,
Тогда:
v =
ds
dt
τ,
v =˙sτ .
Алгебраическая скорость vτ=˙s — проекция вектора скорости на
касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если
производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.
Из определения ускорения
d
=
dt
˙sτ=¨sτ +˙s
dτ
dt
dτ
,
dt
dτ
=
dsdsdt
=˙s
dτ
. Производ-
ds
dv
a =
dt
τ — переменный по направлению вектор и
dτ
ная
точки, при этом
определяется только свойствами траектории в окрестности данной
ds
dτ
n
=
, n — единичный вектор главной нормали, ρ —
ρ
ds
радиус кривизны траектории в данной точке.
2
˙s
Таким образом a =¨sτ +
n, т. е. вектор ускорения раскладывается на
ρ
две составляющие — касательное и нормальное ускорения
a = aτ+ an, aτ=¨sτ =˙vττ , an=
2
v
n,
ρ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]