Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика. Кинематика. Динамика
.pdf
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 31
n
Fkx=0 XA+ P =0,
k=1
n
Fky=0 YA+ YB=0,
k=1
n
F
=0
A
k
−P · CE + YB· 3AE =0.
Отсюда Y
m
k=1
=10кН, YA= −10кН, XA= −30кН.
B
Определивреакциивт.A ивт.B, рассмотрим последовательно равно-
весие каждого узла, мысленно отбросив сходящиеся в них стержни и заменив их действия реакциями (усилиями). Полагая, что стержни растянуты,
направим их усилия от узлов.
Покажем каждый узел в отдельности и составим уравнения их равно-
весия:
ит.д.
n
Fkx=0 XA+ S1cos 45◦+ S2=0,
k=1
n
Fky=0 YA+ S1sin 45◦=0,
k=1
n
Fkx=0 P −S
k=1
n
Fky=0 −S
k=1
cos 45◦+ S4=0,
1
cos 45◦− S3=0,
1
S
= S1,
1
Для иллюстрации метода Риттера рассечем ферму по 4, 5 и 6 стержню и
рассмотрим равновесие правой части. Действие отброшенной части фермы
заменяется соответствующими реакциями.
32 ЛЕКЦИЯ 5
n
Fky=0 −S5sin 45◦+ YB=0,
k=1
n
k=1
n
k=1
m
m
F
=0
D
k
F
E
k
YB· FB − S6· FD =0,
=0
YB· 2FB + S4· FD =0.
Получаем:
S
=10√2 кН,S6=10кН,S4= −20кН.
5
Знак минус означает, что соответствующий стержень работает на сжа-
тие. При определении усилий в стержнях по методу сечений составляются
уравнения равновесия, в каждое из которых входит по одной неизвестной.
Равновесие при наличии трения скольжения. Законы
Амонтона– Кулона
При стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила реакции, которая имеет две составляющие — нормальную и си-
лу трения скольжения.
В результате экспериментальных исследований
были установлены: Законы Амонтона
1. Сила трения скольжения при равновесии тела принимает значения
от нуля до максимального значения.
2. Максимальное значение силы трения скольжения не зависит от площади контакта, а определяется величиной нормальной реакции, материалом
и состоянием контактирующих поверхностей. F
max
= fN,гдеf — коэф-
mp
фициент трения скольжения.
Конус трения — поверхность, образован-
ная линией действия максимальной реакции при
стремлении сдвинуть тело в различных направ-
лениях: tg ϕ =
max
F
mp
N
fN
=
= f,
N
1
– Кулона2:
tg ϕ = f .
1
Амонтон Гийом (31.08.1663–11.10.1705) — франц. механик и физик, член Француз-
ской АН. Работы по теории трения и термометрии.
2
Кулон Шарль Огюстен (14.07.1736–13.08.1806) — франц. физик, механик, инженер, член
Французской АН. Исследования по строительной механике, гидравлике, теории трения, сопротивлению материалов, один из основателей электростатики.
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 33
Рассмотрим равновесие тела на шероховатой
поверхности под действием силы P.
n
Fkx=0 P sin α − Fmp=0,
k=1
n
Fky=0 −P cosα + N =0.
k=1
Следовательно,
tg α =
F
tg α tg ϕ,
mp
N
F
mp
= f =tgϕ,
N
α ϕ.
max
Никакая сила, лежащая внутри конуса трения, не может вывести тело
из состояния покоя.
Равновесие при наличии трения качения
Трением качения называется сопротивление, возникающее при каче-
нии одного тела по поверхности другого.
Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль площадки AB и имеем распределенную систему сил реакции, которая может быть
заменена силой и парой. Сила раскладывается на две составляющие — нормальную и силу трения скольжения. При равновесии тела момент сопротивления качению определяется из условий равновесия системы сил. При этом
установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до
максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления,
соответствующее началу качения, определяется равенством
M
c max
= Nδ,
где δ — коэффициент трения качения (по аналогии с трением скольжения).
34 ЛЕКЦИЯ 5
Коэффициент трения качения имеет размерность длины, зависит от
материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.
Литература:
[1, § 18, 22, 23–25, 27];
[2, § 35, 36, 39];
[4, п. 5.4, 5.8, 6.1–6.2].
ЛЕКЦИЯ 6
Инварианты статики
1. Инварианты статики.
2. Частные случаи приведения произвольной системы сил.
3. Теорема Вариньона.
Инварианты статики
Инварианты статики — характеристики системы сил, не зависящие
от выбора центра приведения.
Первый инвариант статики — главный вектор системы сил (по опре-
делению).
Второй инвариант статики — скалярное произведение главного век-
тора и главного момента.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Главный момент зависит от выбора центра при-
ведения. Рассмотрим произвольную систему сил
F
,F2, ...,F
1
относительно центра O:M
n
=
rk×Fk, главный момент относительно нового
k=1
центра приведения O
M
O
M
O
. Главный момент системы сил
n
:
1
n
=
1
k=1
=
1
k=1
−−→
=
O
n
1
m
−−→
O
O ×
O
1
O + r
1
k=1
F
k
k
n
F
k
n
O
n
k=1
F
==
k
−−→
=
O1O + rk. Тогда
k
−−→
O ×Fk+
O
1
−−→
O1O ×R +MOи
n
rk×Fk=
k=1
=
k=1
n
r
k
m
×Fk, где r
O
=
k=1
×F
=
k
n
+
rk×Fk=
k=1
36 ЛЕКЦИЯ 6
M
O
1
=MO+ m
R
O
1
— главный момент системы сил относительно нового центра приведения
равен сумме главного момента относительно старого центра приведения
и момента главного вектора, приложенного в старом центре приведения,
относительно нового центра.
Умножив скалярно обе части последнего равен-
ства на главный вектор, получим
O ×R·R;
1
O ×R ⊥R,
1
следовательно,M
·R =MO·R +O
M
O
·R =MO·R,т.е.MO·R =const— второй инвариант
O
1
1
O
O ×R·R =0, так как O
1
статики. Утверждение доказано.
M
·R = MOR cos α, MOcos α =const.Изэтогоследует,чтоинва-
O
риантом является и проекция главного момента на направление главного
вектора.
Частные случаи приведения произвольной системы сил
По инвариантам статики можно судить о возможных частных случаях
приведения исходной системы сил.
1.R =0,M
действующей, при этом линия действия равнодействующей проходит через
центр приведения.
2.R =0,M
силами, образующими пару сил.
3.R =0,M
центра приведения на расстоянии, равном отношению главного момента к
главному вектору.
=0. Система сил приводится к одной силе — равно-
O
=0. Исходную систему сил можно заменить двумя
O
=0. Система сил приводится к силе и паре.
O
а)R ·MO=0,т.е.R ⊥MO— пара и сила
лежат в одной плоскости. Выбирая силы, составляющие пару
ее плечо: hR = M
СилыR иR
стему сил. В результате исходная система сил приводится к равнодействующей
которая проходит через точку O
R
,R
, h =
0
образуют уравновешенную си-
,R
= −R=R,находим
M
O
.
R
R,
R
,R
,отстоящуюот
1
∼
R
,
ИНВАРИАНТЫ СТАТИКИ 37
С учетом зависимости главного момента от выбора центра приведе-
O
=M
нияM
ствия равнодействующей имеет вид:M
+ r ×R,ноM
O
1
=0, и векторное уравнение линии дей-
O
1
−r ×R =0, или в координатной
O
форме:
M
− (yRz− zRy)=0,
O
x
M
− (zRx− xRz)=0,
O
y
− (xRy− yRx)=0.
M
O
z
б)R ·MO=0— система сил приводится к силе и паре, не лежащих
в одной плоскости.
Разложим главный момент так, чтобыMO=
=M
+M2,M1⊥R. Для составляющейM1про-
1
водим аналогичные предыдущему случаю рассуждения. Тогда: hR = M
, h =
1
M
MOsin α
1
=
R
R
и в центре O1имеем силу и пару, лежащую в плоскости, перпендикулярной силе, которые образуют силовой (динамический) винт. Момент этой
пары равен проекции главного момента на направление главного вектора (не зависит от выбора
центра приведения) M
RxMx+ RyMy+ RzM
или M
=
2
= m
2
R
При перемене центра приведенияM
=M
M
= kR,гдеk =
+ r ×R,ноM
O
1
=MO− r ×R.ТаккакM2R,тоM2=
2
M
R
2
=
2
R
=M2, следовательно
O
1
MOcos α
R
F,
= M
F
z
.
O
cos α
O
=
. Тогда векторное уравнение центральной
винтовой оси (линии в точках которой заданная система сил приводится к
динамическому винту) имеет вид:
M
cos α
M
− (yRz− zRy)
O
x
O
R
R =M
R
x
−r ×R, или в координатной форме:
O
− (zRx− xRz)
M
O
y
=
R
y
=
4.R =0,MO=0— уравновешенная система сил.
M
− (xRy− yRx)
O
z
R
z
.
38 ЛЕКЦИЯ 6
Теорема Вариньона
1
Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент
относительно любого центра (или оси) равен сумме моментов всех сил
системы относительно того же центра (или оси).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
нии действия равнодействующей. Как было доказано:
M
В проекции на ось, проходящую через центр O,
Теорема доказана.
[1, § 12, 13, 28, 29];
[2, § 41, 42, 44–47];
[4, п. 7.1–7.2].
m
m
O
O
x
∼R,пустьO
n
R,ноM
n
R=
k=1
n
R=
k=1
—точканали-
1
=0,следовательно,
O
1
F
m
m
.
O
k
F
.
x
k
,F2, ...,F
F
1
O
=M
+ m
O
1
Литература:
1
Вариньон Пьер (1654–22.12.1722) — франц. математик и механик, член Французской АН.
Труды по геометрии и статике.
ЛЕКЦИЯ 7
Центр параллельных сил и центр
тяжести
1. Центр параллельных сил.
2. Центр тяжести твердого тела.
Центр параллельных сил
Рассмотрим систему параллельных
сил
,F2, ...,F
F
1
.
n
При повороте всех сил системы на
один и тот же угол линия действия равнодействующей системы параллельных сил
повернется в ту же сторону на тот же угол
вокруг некоторой точки. Эта точка называется центром параллельных сил.Для
определения координат центра параллельных сил воспользуемся теоремой Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси. Относительно оси x:
n
R=
R = −
=
C
k=1
k=1
n
k=1
k=1
n
m
n
ykF
F
x
k
ykFkи
k
.
F
k
,
m
−y
x
C
y
40 ЛЕКЦИЯ 7
Относительно оси y: m
n
xkF
n
k=1
k
. Чтобы определить координату zCповернем все силы на 90◦так,
F
k
k=1
=
y
R=
n
k=1
m
F
, x
y
k
C
R =
n
xkFkили xC=
k=1
чтобы они стали параллельны оси y.Тогда
n
m
z
R=
n
k=1
m
n
F
,z
z
k
C
R =
zkFkи zC=
k=1
k=1
k=1
zkF
n
Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра па-
раллельных сил принимает вид
n
Fkr
rC=
k=1
n
k=1
k
.
F
k
Центр тяжести твердого тела
Центр тяжести твердого тела —
это центр параллельных сил тяжести
частиц данного тела.
n
Pkr
k
.
P
центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
γ — удельный вес однородного тела, P
эти значения в формулу для определения r
n
ΔVkr
k=1
rC=
V
k=1
r
=
C
Для однородного тела положение
= γΔVk, P = γV . Подставив
k
, имеем
C
k
.
k
.
F
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]