Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика. Кинематика. Динамика
.pdf
МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ 131
Числом степеней свободы механической системы называется число
независимых вариаций ее обобщенных координат δq
. Для механической
i
системы с голономными связями число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат.
В случае неголономных связей число степеней свободы меньше, чем
число обобщенных координат. Например, положение диска радиуса R,катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости и поворачивающегося
при этом вокруг вертикали, определяется четырьмя обобщенными координатами — x
, yC, ϑ и ϕ (ϕ — угол поворота при качении). Так как вариации
C
координат связаны соотношениями:
δx
= Rδϕcos ϑ, δyC= Rδϕsin ϑ,
C
то из четырех вариаций обобщенных координат δx
, δyC, δϑ и δϕ незави-
C
симыми остаются две. Значит число степеней свободы равно двум.
Для эллиптического маятника, на который наложены голономные связи, число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат.
Независимые виртуальные перемещения могут быть изображены, если задать следующие значения вариаций обобщенных координат:
Обобщенными скоростями называются производные обобщенных координат по времени ˙q
, ˙q2, ..., ˙qs.
1
132 ЛЕКЦИЯ 21
Скорости всех точек системы могут быть выражены через обобщенные
скорости соотношениями:
s
dr
v
k
=
k
dt
∂r
=
∂q
j=1
k
j
˙qj+
∂r
∂t
k
.
В случае стационарных связей
s
dr
k
=
v
k
dt
∂r
k
∂q
˙qj.
j
=
j=1
Обобщенные силы и способы их вычисления
Рассмотрим систему, имеющую s степеней свободы, на которую наложены стационарные и голономные связи.
Для введения понятия обобщенной силы рассмотрим сумму виртуальных работ активных сил, действующих на точки данной механической
системы:
функция обобщенных координат r
главной части приращения функции многих переменных δr
∂r
+
∂q
выражения работы активных сил:
n
k=1
где Q
стоящие при соответствующих вариациях обобщенных координат в формуле для вычисления суммы виртуальных работ активных сил, действующих
на точки данной механической системы.
ную силу можно искать в виде
n
k=1
δA
акт
k
n
=
k=1
F
· δrk.
k
Для систем со стационарными связями радиус-вектор k-й точки —
= rk(q1,q2, ..., qs). По определению
k
δq2+ ... +
2
акт
δA
=
k
n
=
j
F
k=1
n
k=1
k
k
∂r
k
δqs. Подставим данное выражение в формулу для
∂q
s
s
∂r
·
F
k
∂r
k
·
∂q
j
k
δqj=
∂q
j
j=1
, j =1, 2, ..., s — обобщенные силы — величины,
s
j=1
n
k=1
F
∂r
k
∂q
δq
j
j
·
k
∂r
k
=
s
j=1
δq1+
∂q
1
Qjδqj,
k
=
Способы вычисления обобщенных сил.
1. Используя формулу вычисления скалярного произведения, обобщен-
n
Q
=
j
k=1
∂x
k
F
kx
∂q
j
+ F
ky
∂y
∂q
k
j
+ F
kz
∂z
∂q
k
.
j
МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ 133
2. Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат независимы, и обобщенную силу можно найти, задавая изменение лишь одной
координаты, а вариации остальных полагать равными нулю. Тогда, вычисляя виртуальную работу активных сил на изменении этой координаты, находим
δA
δA
= Qjδqj,Qj=
j
δq
j
.
j
3. Если система консервативная, то обобщенная сила равна частной
производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной
координате, взятой со знаком минус. Так как
= −
n
k=1
∂Π
,Fky= −
∂x
k
∂Π
∂x
k
∂x
∂q
k
j
F
kx
= −
Q
j
∂Π
,Fkz= −
∂y
k
∂y
k
∂Π
+
∂y
k
∂q
∂Π
+
∂z
j
∂Π
, то
∂z
k
∂z
k
∂q
k
j
= −
∂Π
∂q
.
j
Условие равновесия в обобщенных координатах
Согласно принципу виртуальных перемещений, условие
n
· δrk=0
F
k
k=1
является необходимым и достаточным для равновесия системы с идеальными и стационарными связями. Переходя к обобщенным координатам,
находим
n
·δrk=
F
k
k=1
Пусть связи, наложенные на систему, являются голономными. В силу
независимости вариаций обобщенных координат равенство нулю возможно
только в том случае, когда все коэффициенты при вариациях обобщенных
координат равны нулю. Т.е.
Для равновесия механической системы с идеальными, стационарными
и голономными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные
силы были равны нулю
n
k=1
δA
акт
k
s
=
Qjδqj=⇒ Q1δq1+Q2δq2+ ...+Qsδqs=0.
j=1
Q
=0,Q2=0,...,Qs=0.
1
134 ЛЕКЦИЯ 21
Для консервативных механических систем необходимым и достаточным условием равновесия является
∂Π
=0, j =1, ..., s.
∂q
j
Литература:
[1, § 142–144];
[3, § 119–122];
[4, п. 18.6, 18.7].
ЛЕКЦИЯ 22
Дифференциальные уравнения
движения механической системы
в обобщенных координатах
1. Тождества Лагранжа.
2. Уравнения Лагранжа второго рода.
3. Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем.
4. Уравнение движения машины.
Тождества Лагранжа
Рассмотрим механическую систему с голономными, идеальными и ста-
ционарными связями, состоящую из n материальных точек и имеющую
s степеней свободы. Обобщенные координаты, задающие положение точек
системы, — q
Для стационарных связей радиус-вектор k-й точки — функция обоб-
щенных координат: r
Вычисляя скорость этой точки, находим
1,q2
, ..., qs.
= rk(q1,q2, ..., qs).
k
v
=˙kr =
k
Тогда
∂v
∂ ˙q
∂r
k
=
∂q
j
С другой стороны:
∂v
k
=
∂q
d
dt
∂r
∂q
∂q1∂q
j
k
j
∂r
∂q
k
— первое тождество Лагранжа.
j
2
r
∂
k
˙q1+
j
2
∂
r
=
k
∂qj∂q
k
1
1
˙q1+
∂q2∂q
˙q1+
∂r
2
∂
∂q
r
∂qj∂q
k
˙q2+ ... +
2
k
˙q2+ ... +
j
2
r
∂
k
2
˙q2+ ... +
∂r
k
∂q
s
2
r
∂
∂qs∂q
∂qj∂q
˙qs.
∂
k
˙qs,
j
2
r
k
˙qs.
s
136 ЛЕКЦИЯ 22
Сравнивая правые части, находим:
dt
∂r
d
∂q
∂v
k
j
k
=
— второе тождество Лагранжа.
∂q
j
Уравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа второго рода — это дифференциальные уравнения
движения механической системы в обобщенных координатах. Как и раньше,
считаем, что связи, наложенные на систему, — голономные, стационарные
и идеальные.
Для получения уравнений движения воспользуемся общим уравнением
динамики:
Для системы со стационарными связями виртуальное перемещение k-й
точки выражается через обобщенные координаты соотношением
Подстановка его в общее уравнение динамики дает:
n
k=1
F
k
− mka
n
k=1
δr
=0.
k
k
s
∂r
j=1
dt
k
δqj.
∂q
j
s
j=1
∂r
∂q
k
δqj=0.
j
k
=
δr
k
− m
dv
k
F
k
Поменяем порядок суммирования
s
j=1
По определению
n
k=1
k=1
∂r
k
F
n
−
k
∂q
j
k=1
∂r
k
F
= Qj— обобщенная сила.
k
∂q
j
m
dv
k
dt
n
∂r
k
k
δq
=0.
∂q
j
j
Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат δq
независимы. Следовательно, выражения в скобках равны нулю и
n
Q
−
j
m
k=1
∂r
dv
k
k
k
dt
=0,j=1, 2,..., s. (∗)
∂q
j
j
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ . . . 137
Так как
dv
dt
Лагранжа имеем:
dv
∂r
k
k
∂q
=
j
dt
k
dt
∂r
k
∂q
j
d
v
d
=
dt
∂v
k
k
∂ ˙q
j
Подставляя (∗∗) в равенство (∗),вносяm
v
−v
∂r
k
∂q
k
j
∂v
∂q
− v
k
j
k
∂r
d
k
k
dt
d
=
dt
,тосучетомтождеств
∂q
j
2
∂(v
/2)
k
∂ ˙q
j
под знак производной и ме-
k
2
∂(v
/2)
k
−
∂q
. (∗∗)
j
няя порядок суммирования и дифференцирования, получаем
или
⎡
n
∂
⎣
k=1
d
−
Q
dt
j
dt
d
∂T
∂ ˙q
∂ ˙q
∂T
−
∂q
j
⎤
2
mkv
k
⎦
2
j
= Qj,j=1, 2, ..., s
j
n
mkv
∂
+
k=1
∂q
2
j
2
k
=0
— дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода).
Разность полной производной по времени от частной производной от
кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от
кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.
Если связи, наложенные на систему, неидеальные, то при составле-
нии уравнений движения следует реакции неидеальных связей отнести к
активным силам.
Уравнения Лагранжа имеют место и для нестационарных связей.
Уравнения Лагранжа для консервативных
механических систем
Для консервативной системы обобщенные силы определяются через
∂Π
потенциальную энергию системы соотношениями: Q
нения Лагранжа перепишутся в виде
dt
∂T
d
∂ ˙q
∂T
−
∂q
j
j
= −
∂Π
,j=1, 2, ..., s.
∂q
j
j
= −
Введем функцию Лагранжа L соотношением: L = T − Π .Учиты-
вая, что потенциальная энергия есть функция только обобщенных координат Π = Π(q
, ..., qs), имеем
1,q2
dt
d
∂L
∂ ˙q
∂L
−
j
=0,j=1, 2,..., s.
∂q
j
. Тогда урав-
∂q
j
138 ЛЕКЦИЯ 22
Если в функцию Лагранжа не входят явно k обобщенных координат
(k<s), то возможно частичное интегрирование дифференциальных урав-
нений движения механической системы. Соответствующие обобщенные координаты называются циклическими. Для них
∂L(˙q
Тогда
d
dt
, ..., ˙qs,q
1
∂L
=0,откуда
∂ ˙q
j
∂q
k+1
j
, ..., qs)
∂L
∂ ˙q
=0,j=1, 2,..., k.
=const, j =1, 2, ..., k.
j
В итоге получаем k циклических интегралов. Примерами таких меха-
нических систем являются системы, для которых, в частности, выполняется
закон сохранения количества движения.
Уравнение движения машины
Машиной называют совокупность твердых тел (звеньев), соединенных
между собой так, что положение и движение любого звена полностью определяется положением и движением одного звена, называемого ведущим.
Составим общее уравнение движения машины, состоящей из ведущего
звена и еще n звеньев, пользуясь уравнением Лагранжа второго рода.
При составлении выражения кинетической энергии предположим, что
за ведущее звено выбрано вращающееся тело (ведущий кривошип). Обозначим через ϕ угол поворота ведущего кривошипа, тогда его кинетическая
энергия
1
T
=
0
— момент инерции ведущего кривошипа относительно оси вращения.
где J
0
Из определения машины угловая скорость k-го звена ω
центра масс v
(k)
определяются угловой скоростью ведущего кривошипа и
C
отношения
ω
k
˙ϕ
˙ϕ2,
J
0
2
и скорость его
k
(k)
v
C
и
˙ϕ
— известные функции угла ϕ.
Кинетическая энергия k-го звена определяется по теореме Кенига
⎡
2
(k)
1
T
=
k
2
2
ω
J
+
k
C
(k)2
1
v
m
k
2
1
⎣
=
C
2
ω
(k)
J
k
C
˙ϕ
+ m
(k)
v
C
k
˙ϕ
⎤
2
2
⎦
,
˙ϕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ . . . 139
(k)
где J
его центр масс параллельно вектору ω
— момент инерции k-го звена относительно оси, проходящей через
C
, mk— масса k-го звена.
k
Кинетическая энергия машины определяется суммой
T = T
n
+
0
Tk=
k=1
⎧
⎨
1
J
0
2
⎩
⎡
n
+
k=1
2
ω
(k)
⎣
J
k
C
˙ϕ
+ m
k
⎤
(k)
2
v
C
⎦
˙ϕ
Величина, стоящая в скобках, называется моментом инерции машины,
приведенным к оси вращения ведущего звена (обозначается J
1
T =
2
J
пр
(ϕ)˙ϕ2.
). Тогда
пр
⎫
⎬
⎭
2
.
˙ϕ
Для вычисления обобщенной силы найдем виртуальную работу сил,
действующих на машину. ПустьM
приложенной к k-му звену машины (i =1, 2, ..., n
(k)
обозначает момент i-й пары сил,
i
i
),аF
(k)
обозначает
j
силу, приложенную в j-й точке k-го звена машины (j =1, 2, ..., n
n
δA =
k=0
Вектор скорости v
и отношение
⎛
n
i
⎝
i=1
M
(k)
i
· ωk+
j=1
=
(k)
j-й точки k-го звена может быть выражен через ˙ϕ
(k)
v
j
˙ϕ
j
является функцией угла ϕ.
n
k
n
k=0
(k)
F
j
⎛
⎝
n
i=1
·v
i
M
(k)
j
i
(k)
⎞
⎠
δt =
ω
·
j
(k)
(k)
v
j
·
˙ϕ
n
k
k
˙ϕ
F
+
j=1
Обобщенная сила Q — это множитель при вариации обобщенной коор-
динаты ϕ в выражении виртуальной работы. Т.е.
⎞
(k)
v
j
⎠
·
.
˙ϕ
Q =
n
k=0
⎛
⎝
n
i=1
i
(k)
·
M
i
n
k
ω
k
+
˙ϕ
j=1
(k)
F
j
Полученное выражение называется вращающим моментом, приведен-
ным к оси вращения ведущего кривошипа (обозначается m
).
пр
).Тогда
k
⎞
⎠
δϕ.
140 ЛЕКЦИЯ 22
Подставляя найденную кинетическую энергию в уравнение Лагранжа
второго рода
dt
∂T
d
∂ ˙ϕ
∂T
−
= Q,
∂ϕ
получаем общее уравнение движения машины
1
J
пр
(ϕ)¨ϕ +
(ϕ)˙ϕ2= mпр.
J
пр
2
Здесь дифференцирование приведенного момента инерции осуществляется
Литература:
[1, § 45];
[3, § 125–128];
[4, п. 19.2, 19.3].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]